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高中数学人教A版选修2-2课件:2.2.1 综合法和分析法


2.2

直接证明与间接证明

2.2.1

综合法和分析法

综合法
[提出问题]

阅读下列证明过程,回答问题. 求证:π 是函数
? π? f(x)=sin?2x+ 4 ?的一个周期. ? ?

? ? π? π? 证明:因为f(x+π)=sin?2?x+π?+4 ?=sin?2x+2π+4? = ? ? ? ? ? π? sin ?2x+4? =f(x),所以由周期函数的定义可知,π是函数f(x) ? ? ? π? =sin?2x+4 ?的一个周期. ? ?

问题 1:本题的条件和结论各是什么?

提示:条件为“f(x)=sin 一个周期”.

? π? ?2x+ ? 4? ?

”;结论为“π是f(x)的

问题2:本题的证明顺序是什么?

提示:从已知利用诱导公式到待证结论.

[导入新知]

1.综合法的定义 利用 已知条件 和某些数学 定义 、定理 、 公理 等,经过 一系列的 推理论证 ,最后推导出所要证明的 结论 成立,这 种证明方法叫作综合法. 2.综合法的框图表示 P?Q1 ―→ Q1?Q2 ―→ Q2?Q3 ―→?―→ Qn?Q (P表示 已知条件、已有的 定义、 定理、 公理 等,Q表示 所要 证明的结论 )

[化解疑难]

综合法的特点 (1)综合法的特点是从“已知”看“未知”, 其逐步推理 实际上是寻找已知条件的必要条件. (2)综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理和 运算法则,通过演绎推理,一步一步完成命题的证明.

分析法
[提出问题]
阅读下列证明过程,回答问题. 求证: 6+ 7≥2 2+ 5. 证明: 要证原不等式成立, 只需证( 6+ 7)2≥(2 2+ 5)2, 即证 2 42≥2 40,该式显然成立,因此原不等式成立. 问题 1:本题证明从哪里开始?

提示:从结论开始.
问题2:证明思路是什么?

提示:寻求每一步成立的充分条件.

[导入新知]

1.分析法的定义 从 要证明的结论 出发,逐步寻求使它成立的 充分条件 , 直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 ( 已知条件 、 定理 、 定义 、 公理 等)为止,这种证明方法叫 作分析法. 2.分析法的框图表示 得到一个明显 Q?P1 ―→ P1?P2 ―→ P2?P3 ―→?―→ 成立的条件

[化解疑难]
分析法的特点 (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠 拢“已知”,其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充 分条件. (2) 分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条 件,直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.

综合法的应用
[例 1] 已知 a,b,c 是不全相等的正数,求证:a(b2+c2) +b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
[证明] ∵a,b,c 是正数,∴b2+c2≥2bc, ∴a(b2+c2)≥2abc. ① 同理,b(c2+a2)≥2abc, ② c(a2+b2)≥2abc. ③ ∵a,b,c 不全相等, ∴b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab 三式中不能同时 取到“=”. ∴①②③式相加得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.

[类题通法] 综合法的证明步骤 (1)分析条件,选择方向:确定已知条件和结论间的 联系,合理选择相关定义、定理等; (2)转化条件,组织过程:将条件合理转化,书写出 严密的证明过程. 特别地, 根据题目特点选取合适的证法可以简化解题 过程.

[活学活用] 4 1 已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:a+b≥9.

证明:∵a>0,b>0,a+b=1, 4 1 4?a+b? a+b 4b a 4b a ∴a+b= a + b =4+ a +b+1=5+ a +b≥5+ 2 4b a 4b a a ×b =5+4=9.当且仅当 a = b ,即a=2b时

“=”成立.

分析法的应用
[例 2]
[证明]
2

设 a,b 为实数,求证

2 a +b ≥ (a+b). 2
2 2

当a+b≤0时,∵ a2+b2≥0,
2

2 ∴ a +b ≥ (a+b)成立. 2 当a+b>0时, 用分析法证明如下: 2 要证 a +b ≥ (a+b), 2
2 2

只需证( a +b )

2

2 2

? ≥? ? ?

? 2 ? ?a+b??2, 2 ?

1 2 即证a +b ≥ (a +b2+2ab),即证a2+b2≥2ab. 2
2 2

∵a2+b2≥2ab对一切实数恒成立, 2 ∴ a +b ≥ (a+b)成立. 2
2 2

综上所述,不等式得证.

[类题通法] 分析法的证明过程及书写形式 (1)证明过程:确定结论与已知条件间的联系,合理选择 相关定义、定理对结论进行转化,直到获得一个显而易见的 命题即可. (2)书写形式:要证??,只需证??,即证??,然后 得到一个明显成立的条件,所以结论成立.

[活学活用] 在锐角△ABC中,求证:tan Atan B>1.
sin Asin B 证明:要证tan Atan B>1,只需证 >1. cos Acos B ∵A,B均为锐角, ∴cos A>0,cos B>0. 即证sin Asin B>cos Acos B, 即cos Acos B-sin Asin B<0, 只需证cos(A+B)<0. ∵△ABC为锐角三角形, ∴90°<A+B<180°, ∴cos(A+B)<0,因此tan Atan B>1.

综合法和分析法的综合应用
[例 3] 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 为等差数列,且 a,

b,c 分别为角 A,B,C 的对边. 求证:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.
[证明] 法一


(分析法)
- -

要证(a+b) 1+(b+c) 1=3(a+b+c) 1, 1 1 3 即证 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c 只需证 + =3, a+b b+c

c a 化简,得 + =1, a+b b+c 即c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c), 所以只需证c2+a2=b2+ac. 因为△ABC的三个内角A,B,C成等差数列, 所以B=60°, a2+c2-b2 1 所以cos B= = , 2ac 2 即a2+c2-b2=ac成立. ∴(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1成立. 法二 (综合法) 因为△ABC的三内角A,B,C成等差数列,

所以B=60°. 由余弦定理,有b2=c2+a2-2accos 60°. 所以c2+a2=ac+b2, 两边加ab+bc,得 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 两边同时除以(a+b)(b+c),得 c a + =1, a + b b+ c
? c ? ? a ? ? ? ? ? 所以?a+b+1?+?b+c+1?=3, ? ? ? ?

1 1 3 即 + = , a+b b+c a+b+c 所以(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.

[类题通法] 综合法与分析法的适用范围 (1)综合法适用的范围: ①定义明确的题型,如证明函数的单调性、奇偶性,求 证无条件的等式或不等式问题等; ②已知条件明确, 且容易通过找已知条件的必要条件逼 近欲得结论的题型. (2)分析法适用的范围: 分析法的适用范围是已知条件不明确, 或已知条件简便 而结论式子较复杂的问题.

[活学活用] 设a,b∈(0,+∞),且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.

证明:法一

(分析法)

要证a3+b3>a2b+ab2成立, 即需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立. 又因a+b>0, 故只需证a2-ab+b2>ab成立, 即需证a2-2ab+b2>0成立, 即需证(a-b)2>0成立. 而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立. 由此命题得证.

法二

(综合法)

a≠b?a-b≠0?(a-b)2>0?a2-2ab+b2>0 ?a2-ab+b2>ab. ∵a>0,b>0,∴a+b>0, (a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b). ∴a3+b3>a2b+ab2.

4.综合法、分析法的综合应用
[典例] (12 分)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 若函数 y=f(x

+1)的图象与 f(x)的图象关于 y 轴对称, 求证:f
? 1? ?x+ ?为偶函数. 2? ?

[解题流程]

[活学活用] 1 1 已知a≥- ,b≥- ,a+b=1,求证: 2a+1 + 2b+1 2 2 ≤2 2.
证明:要证 2a+1 + 2b+1 ≤2 2 ,只需证2(a+b)+2+ 2 2a+1· 2b+1≤8. 因为a+b=1,即证 2a+1· 2b+1≤2. 1 1 因为a≥- ,b≥- ,所以2a+1≥0,2b+1≥0, 2 2 ?2a+1?+?2b+1? 2?a+b+1? 所以 2a+1· 2b+1≤ = =2. 2 2 即 2a+1· 2b+1≤2成立,因此原不等式成立.

[随堂即时演练]
1.“a,b,c 是不全相等的正数”,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a>b 与 a<b 及 a=b 中,至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. 其中正确判断的个数为 A.0 C.2 B.1 D.3 ( )

解析:由于a,b,c不全相等中含有a≠b≠c这种情 况,所以③错误,①②都正确. 答案:C

2.欲证不等式

3- 5<

6- 8成立,只需证

(

)

A.( 3- 5)2<( 6- 8)2 B.( 3- 6)2<( 5- 8)2 C.( 3+ 8)2<( 6+ 5)2 D.( 3- 5- 6)2<(- 8)2
解析:要证 3- 5< 6- 8成立,只需证 3+ 8

< 6+ 5成立,只需证( 3+ 8)2<( 6+ 5)2成立. 答案:C

3.已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,
?1 ??1 ??1 ? 求证:?a-1??b-1??c-1?≥8. ? ?? ?? ?

证明过程如下: ∵a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1, b+c a+ c a+b 1 1 1 ∴a-1= a >0,b-1= b >0,c -1= c >0,
?1 ??1 ??1 ? b+c a+c a+b 2 ∴?a-1??b-1??c-1?= a · b · c ≥ ? ?? ?? ?

bc· 2 ac· 2 ab abc

= 8, 当且仅当 a=b=c 时取等号,∴不等式成立. 这种证法是________(填“综合法”或“分析法”).

解析:本题从已知条件出发,不断地展开思考,去探索结 论,这种方法是综合法. 答案:综合法

a2+b2 4.将下面用分析法证明 ≥ab的步骤补充完整:要证 2 a2+b2 ≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证________,即证 2 ________,由于________显然成立,因此原不等式成立.
a2+b2 a2+b2 解析:用分析法证明 ≥ab的步骤为:要证 ≥ab 2 2 成立,只需证a2+b2≥2ab,也就是证a2+b2-2ab≥0,即证 (a-b)2≥0.由于(a-b)2≥0显然成立,所以原不等式成立. 答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0

a b 5.已知a>0,b>0,求证: + ≥ b a 法证明)
证明: 法一
? b=? ? ?

a+ b.(要求用两种方

a b (综合法)因为 a>0, b>0, 所以 + - a- b a

? ? b ? a-b b-a ? 1 a 1? ? ? ? ? ? - b? + ? - a ? = - + = (a - b)· ? b b a? b a ? ? a ? ? ?

? a- b?2? a+ b? = ≥0, ab a b 所以 + ≥ a+ b. b a

法二

a b (分析法)要证 + ≥ b a

a+ b, 只需证 a a+b b

≥a b+b a,即证(a-b)( a- b)≥0,因为 a>0,b>0, 所以 a-b 与 a- b符号相同,不等式(a-b)( a- b)≥0 成立,所以原不等式成立.

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