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北京市延庆县2015届高三3月模拟数学试卷(文)及答案


延庆县 2014—2015 学年度高考模拟检测试卷
高三数学(文科)
2015.3 本试卷共 5 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1. 若集合 A ? {0,1, 2} , B ? {x | x2 ? 3} ,则 A ? B =( A. ? B. {?1, 0,1} C. {0,1, 2} ) D. {0,1} ) D. y ? ?

2. 下列函数中是奇函数,并且在定义域上是增函数的一个是( A. y ? ?

1 x

B. y ? ln x

C. y ? sin x

? x ? 1, x ? 0 ? x ? 1, x ? 0


3. 设 a ? sin393? , A. a ? b ? c C. b ? a ? c

b ? cos55? , c ? tan50? ,则 a , b , c 的大小关系为(
B. c ? b ? a D. a ? c ? b
开始

4. 执行右边的程序框图,若输入 a ? 1, b ? 1, 则输出的结果满足( A. 0 ? e ? 1, )

c ? ?1 ,

输入 a, b, c

d ? b2 ? 4ac

f ?1
e?

d ?0




B. ?1 ? e ? 0, 1 ? f ? 2 C. ?2 ? e ? ?1, D. 无解

0 ? f ?1

?b ? d 2a
?b ? d 2a

输出无解

f ?

输出 e,

f
F C E

5. 在边长为 2 的正方形 ABCD 中, E , F 分别为 BC 和

结束

D

DC 的中点,则 AE ? AF ? (
A.

) A
6 2

5 3 B. C. 4 D. 2 2 2 x 2 6. “ x ? 2 ”是“ 2 ? x ”的( )
A.充分不必要条件 C.充要条件 7. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B

4 一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的 体积为( ) A. 96 B. 120 C. 144 D. 180
主视图

4
侧视图

4

8. 有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是 a, b, c, d ,已知 a ? b ? c ? d , a ? d ? b ? c ,
俯视图 高三数学(文科)第 1 页(共 5 页)

(7 题图)

a ? c ? b 则这四个小球由重到轻的排列顺序是( ) d ? b ? a ? c b ? c ? d ? a d ? b ? c ?a A. B. C.

D. c ? a ? d ? b

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 复数 z ?

(1 ? i)(1 ? i) 在复平面上对应的点的坐标为 2i
,离心率是

. .

10. 双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 2 的焦点坐标是

11. 在 ?ABC 中, A ? 60?, AC ? 2, BC ? 3 ,则 ?ABC 的面积等于_______. 12. 已知 x ? 1,

y ? 0 ,集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 4} , B ? {( x, y) | x ? y ? t ? 0} ,
.

如果 A ? B ? ? ,则 t 的取值范围是

13. 已知直线 2 x ? y ? a ? 0 与圆心为 C 的圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 5 ? 0 相交于 A, B 两点,且 AC ? BC ,则 圆心的坐标为 ;实数 a 的值为 . 14. ABCD 是矩形, AB ? 4 , AD ? 3 ,沿 AC 将 ?ADC 折起到 ?AD ?C ,使平面 AD?C ? 平面 ?ABC , F 是 AD? 的中点, E 是线段 AC 上的一点,给出下列结论: ① 存在点 E ,使得 EF / / 平面 BCD? ② 存在点 E ,使得 EF ? 平面 ABD? ? D E ? ABC ③ 存在点 E ,使得 平面 ④ 存在点 E ,使得 AC ? 平面 BD ?E 其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a1 ? a2 ? 5, (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2 n ,求 {bn } 的前 n 项和 T n .
a

S4 ? 14 ,

16. (本小题满分 13 分) 直角坐标系 xoy 中,锐角 ? 的终边与单位圆的交点为 P ,将

y

OP 绕 O 逆时针旋转到 OQ ,使 ?POQ ? ? ,其中 Q 是 OQ 与
单位圆的交点,设 Q 的坐标为 ( x, y ) . (Ⅰ)若 P 的横坐标为 o

P

?
1

x

(Ⅱ)求 x ? y 的取值范围.

y 3 ,求 ; x 5

高三数学(文科)第 2 页(共 5 页)

17. (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 4 . E , F 分别在线段 BC 和 AD 上, EF ∥ AB ,将矩形 ABEF沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面 ECDF . (Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.

图2 图1 18. (本小题满分 13 分) 某普通高中共有 36 个班,每班 40 名学生,每名学生都有且只有一部手机,为了解

该校学生对 A, B 两种品牌手机的持有率及满意度情况,校学生会随机抽取了该校 6 个班的学生进行统计, 得 到每班持有两种品牌手机人数的茎叶图以及这些学生对自己所持手机的满意度统计表如下:

(Ⅰ)随机选取 1 名该校学生,估计 概率;

A 9 8 8 5 3 7

0 1 2

B 5 5 7 8 5 0

满意度 品牌

满意

不满意

A B

80% 60%

20% 40%

该生持有 A 品牌手机的

(Ⅱ)随机选取 1 名该校学生,估计该生持有 A 或 B 品牌手机且感到满意的概率; (Ⅲ) A, B 两种品牌的手机哪种市场前景更好?(直接写出结果,不必证明)

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的离心率为

2 ,其短轴的两个 2
M

y A C o B N D x

1), B(0, ? 1) . 端点分别为 A(0,
(Ⅰ)求椭圆 G 的方程;

(Ⅱ)若 C , D 是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点,直线 AC , BD 与 x 轴分别 交于点 M , N .判断以 MN 为直径的圆是否过点 A ,并说明理由.

高三数学(文科)第 3 页(共 5 页)

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x . (Ⅰ)求过点 (0, 0) ,曲线 y ? f ( x) 的切线方程; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? f ( x) ? e x ,求证:函数 g ( x) 有且只有一个极值点; (Ⅲ)若 f ( x ) ? a( x ? 1) 恒成立,求 a 的值.

延庆县 2014—2015 学年度一模统一考试 高三数学(文科答案)
一、选择题: (5? ? 8 ? 40?) 1. D 2. D 3. A 4. C 5. C 6. D 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (0, ?1) ; 10. (? 3,0) , 三、解答题: (5? ? 6 ? 30?) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ S4 ? 14, 7. B 8. A 2015 年 3 月

6 ;11. 2

3 ;12. [?4, 2] ;13. (?1, 2), ?5 ;14. ① ③ . 2

a1 ? a2 ? 5 , ? a3 ? a4 ? 9

????????1 分 ????????3 分 ????????6 分

? 4d ? 4, d ? 1 ,

? a1 ? 2

? an ? a1 ? (n ?1)d ? n ? 1 .
(II)∵ bn ? 2
an

? 2n?1 ,
∵ b1 ? 0 , ?{bn } 是等比数列,???8 分 ????????10 分

?

bn?1 2n? 2 ? n?1 ? 2 , bn 2

b1 ? 4, q ? 2

高三数学(文科)第 4 页(共 5 页)

?Tn ?

b1 (1 ? q n ) 4(1 ? 2n ) ? ? 4(2n ? 1) ,????????13 分 1? q 1? 2
3 3 4 , ∴ cos ? ? , sin ? ? , 5 5 5
????????2 分

16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ) ∵ P 的横坐标为 ∴ tan ? ?

4 3

4 y 2 tan ? 3 ? ? 24 ????????6 分 ∴ ? tan 2? ? ? 2 4 x 1 ? tan ? 1 ? ( ) 2 7 3 3 3 4 法二:∵ P 的横坐标为 , ∴ cos ? ? , sin ? ? , 5 5 5 9 16 7 2 2 ? ? ? ,????????2 分 ∴ cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 25 25 25 4 3 24 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ? ? ????????4 分 5 5 25 y sin 2? 24 ?? ∴ ? ????????6 分 x cos 2? 7 2?
(Ⅱ) x ? y ? cos 2? ? sin 2? ,

? 2 sin(2? ? ), ? ? (0, ) , 4 2 ? ? 5? ), ∴ 2? ? (0, ? ) , 2? ? ? ( , 4 4 4
∴ sin(2? ? ∴

?

?

????????10 分

?
4

) ? (?

2 ,1] , 2

????????12 分

2 sin(2? ? ) ? (?1, 2] , 4
????????13 分

?

∴ x ? y 的取值范围是 (?1, 2]. 17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)法一:∵ EF // AB , ∴ MN //CD , ∴ MNCD 是平行四边形, ∴ NC // MD , ∴ NC // 平面 MFD , 法二: ∵ NE // MF , ∴ NE // 平面 MFD , ∵ EC // FD , ∴ EC // 平面 MFD , ∴平面 NEC // 平面 MFD , ∴ NC // 平面 MFD . ∴ EF //MN ,

EF //CD ,
????????2 分

????????3 分 ????????4 分 ????????1 分 ????????2 分 ????????3 分 ????????4 分

高三数学(文科)第 5 页(共 5 页)

(Ⅱ)∵ EC ? 3 ,

AB ? CD ? 3, ,

∴ ECDF 为正方形,

∴ FC ? ED , ????????5 分 又∵平面 MNEF ? 平面 ECDF , NE ? EF , ∴ NE ? 平面 EFDC , ∴ NE ? FC , ∴ FC ? 平面 NED , ∴ FC ? ND , (Ⅲ) 设 NE ? BE ? x ,则 EC ? 4 ? x , ????????6 分 ????????7 分 ????????8 分 ????????9 分

1 x(4 ? x) 2 1 1 1 VNFEC ? Sh ? ? x(4 ? x) ? 3 3 3 2 1 ? (4 x ? x 2 ) , x ? (0,4) 2 当x ? 2时 S ?NEC ?

????????10 分

????????12 分 ????????13 分 ????????14 分 ??????1 分 ??????4 分

VNFEC 达到最大值 2
18. (Ⅰ)设该生持有 A 品牌手机为事件 X , 则 P( X ) ?

80 1 ? 240 3

(Ⅱ)设该生持有 A 或 B 品牌手机且感到满意为事件 Y , ??????5 分 则 P(Y ) ?

80 ? 80% 60 ? 60% ? 240 240 64 ? 36 5 ? ? 240 12

??????9 分 ??????10 分 ??????13 分

(Ⅲ)A 品牌手机市场前景更好. 19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ) b ? 1 ,
2

c 2 2 2 , a ? 2c , ? a 2

y A C M o B N D x

∴ c ? 1 ,∴ a2 ? 2,
2

b2 ? 1 ,????3 分
????5 分

∴ 椭圆方程为

x ? y2 ? 1 2

(Ⅱ)设 C( x0 , y0 ) ,则 D(? x0 , y0 ) ,

k AC ?

y0 ? 1 , x0

k BD ?

y0 ? 1 , ? x0
????????7 分

AC : y ?

y0 ? 1 y ?1 x ? 1, BD : y ? 0 x ? 1, x0 ? x0

高三数学(文科)第 6 页(共 5 页)

令 y ? 0 ,则 xM ?

x0 ? x0 , xN ? , 1 ? y0 1 ? y0
AN ? (? x0 , ?1) , 1 ? y0

????????9 分

∴ AM ? (

x0 , ?1), 1 ? y0

????????11 分

? x02 ? x0 2 ? y0 2 ? 1 ∴ AM ? AN ? ?1= (1 ? y0 )(1 ? y0 ) 1 ? y0 2
x0 2 x0 2 2 2 ? y0 ? 1 ∴ 1 ? y0 ? ∵ , 2 2

x0 2 ? 2 ? ?1 ∴ AM ? AN ? x0 2 2
∴ AM 与 AN 不垂直, ∴ 以 MN 为直径的圆不过 A 点. 20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)设切点为 ( x0 ,ln x0 ) , ∵ f ?( x) ?

????????13 分

????????14 分

1 , x

f ?( x0 ) ?

1 x0 1 ( x ? x0 ) x0

????????1 分

∴切线方程为 y ? ln x0 ? ∵切线过 (0, 0) , ∴切线方程为 y ? 1 ?

????????2 分

∴ ? ln x0 ? ?1,

x0 ? e ,

????????3 分 ????????4 分

1 1 ( x ? e) ,即: y ? x . e e

(Ⅱ) g ?( x ) ?

1 x ?e x

????????5 分

当 x ? (0, ??) 时, ∴ g ?( x ) ?

1 x 是减函数, ? e 也是减函数, x
????????6 分 ????????7 分 ????????8 分

1 x ? e 在 (0, ??) 上是减函数, x

当 x ? 1 时, g ?( x) ? 1 ? e ? 0 , 当x?

1 时, g?( x) ? 2 ? e ? 0 , 2

∴ g ?( x ) 在 (0, ??) 上有且只有一个变号零点,

高三数学(文科)第 7 页(共 5 页)

∴ g ( x) 在定义域 (0, ??) 上有且只有一个极值点. ????????9 分 (Ⅲ)令 h( x) ? ln x ? a( x ? 1) ,则 h( x) ? 0 恒成立, h?( x) ?

1 ?a , x

①若 a ? 0 ,则 h?( x) ? 0 恒成立,∴ h( x) 在 (0, ??) 上是增函数, ∵当 x ? e 时, h(e) ? 1 ? a(e ? 1) ? 0 ,∴题设不成立. ②若 a ? 0 ,则 h?( x) ? ????10 分

1 1 ? ax ?a ? , x x 1 1 令 h?( x) ? 0, 则 x ? ; 令 h?( x) ? 0, 则 0 ? x ? ; a a 1 令 h?( x) ? 0, 则 x ? . a 1 1 1 1 ∴ h( x) 在 x ? 处达到极大值 h( ) ? ln ? a( ? 1) ? ? ln a ? a ? 1 a a a a ∴ ? ln a ? a ? 1 ? 0 恒成立,即: a ? 1 ? ln a 恒成立. ????11 分 1 令 F ( x) ? ( x ? 1) ? ln x ,则 F ?( x) ? 1 ? , x
当 x ? 1 时, F ?( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, F ?( x) ? 0 ; ∴ F ( x) 在 (0,1) 上是减函数;在 (1, ??) 上是增函数;在 x ? 1 处达到最小值.

() 1 恒成立,∴ ? ln a ? a ? 1 ? 0 ,即: a ? 1 ? ln a 恒成立.?12 分 ∴ F (a) ? F
∴ a ? 1= ln a 恒成立, ∴ a =1. ????????13 分

高三数学(文科)第 8 页(共 5 页)



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