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学案58 直线与圆综合一


2013 届高二文科基础复习资料(1)

1

学案 58 直线与圆综合一
一、课前准备: 【自我检测】 1.已知直线 l 的倾斜角 a 满足 sin a =

3 ,则直线 l 的斜率是 5



2.已知 P(4,9), Q(6,3) ,以线段 PQ 为直径的圆的方程是



轹 p 纟 3p p p 3.直线 l 的倾斜角 a ? 犏 , ÷? ? , ,则其斜率范围是 ÷ ? ÷ ? 犏 2? 2 4 4 臌



4.过点 P(3, 2) 且在两坐标轴上的距离相等的直线方程是



5.3 mx + (1- m) y = 3 与 (m - 1) x + (2m + 3) y - 2 = 0 垂直,则 m=



6.已知 M (2, - 3), N (- 3,- 2) ,直线过点 P 且与线段 MN 相交当 P 为 (1,1) 时,直线 l 的斜率 的范围是 二、课堂活动: 【例 1】填空题: (1)直线 y ? ? x ? m 与圆 x ? y ? 1在第一象限内有两个不同交点,则 m 的取值范围是
2 2





(2) x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的动点 Q 到直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 距离的最小值为 圆
2 2



2 2 (3) x + y - 2 x - 4 y + m = 0 被直线 x + 2 y - 4 = 0 截得的弦长为 圆

4 5 , m= 则 4

__.

(4) 直线 l 过 M (0,1) , 且它夹在 x - 3 y + 10 = 0 和 2 x + y - 8 = 0 之间的线段恰好被 M 平分, 则直线 l 的方程是 .

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2
l1 l2 C' B' B O D C

【 例 2 】 求 过 点 A(2,3) 且 被 两 直 线 l1 : 3x ? 4 y ? 7 ? 0 ,

y
A

l 2 : 3x ? 4 y ? 8 ? 0 所截得的线段长 3 2 的直线的方程.

x

【例 3】 已知圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 25 ,直线 l : ? 2m ? 1? x ? ? m ? 1? y ? 7m ? 4 ? 0 ? m ? R ?
2 2

⑴证明直线 l 恒与圆 C 相交. ⑵求直线 l 被圆 C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.

课堂小结

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3

三、课后作业 1.原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 .

2.直线 l 的斜率 k ? ? ? ?

骣 ? 桫 3,

3÷ ÷,则直线的倾斜角范围是 ÷ 3 ÷



3.直线 y = mx + 1- m 过定点



4.已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各点到 l 的距离的最小值
2 2





5 . 三 条 直 线 则 ax - 3 y - 5 = 0,3x - 4 y - 2 = 0, 2 x + y + 2 = 0 不 能 围 成 三 角 形 , 则 a 的值是 .

) 6 . 自 点 A(- 3 , 3发 出 的 光 线 l 射 到 x 轴 上 , 被 x 轴 反 射 , 其 反 射 光 线 与 圆

x2 + y 2 - 4x - 4 y + 7 = 0 相切,则光线 l 所在直线方程为



7.过点 P(-

3 ,0) 的直线 l 与圆 O : x2 + y 2 = 1 相交于两点 A, B 两点,若 ? AOB 3

120 ,则

直线 l 的方程是_________.
2 2 8. 已知圆 x + y = 4 上有且仅有四个点到直线 12 x - 5 y + c = 0 的距离为 1 , c ? 则

____.

9.已知直线 L : 2mx ? y ? 8m ? 3 ? 0 和圆 C : x ? y ? 6 x ? 12 y ? 20 ? 0 ;
2 2

(1) m ? R 时,证明 L 与 C 总相交。 (2) m 取何值时, L 被 C 截得弦长最短,求此弦长。

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10.已知过点 A(?1, 0) 的动直线 l 与圆 C: x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 相交于 P、Q 两点, M 是 PQ 中点,l 与直线 m:x+3y+6=0 相交于 N. (Ⅰ)求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C; (Ⅱ)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程;

四、纠错分析 题 号 错 题 卡 错 题 原 因 分 析

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参考答案: 一、课前准备: 【自我检测】 1.±

3 . ( x ? 5)2 ? ( y ? 6)2 ? 10 . ? ??, ?1? ? ?1, ??? . 2. 3. 4. 2 x ? 3 y ? 0或x ? y ? 5 ? 0 . 4

5. 1 或 3 .6. ? ??, ?4? ? ? , ?? ? . 二、课堂活动: 【例 1】填空题: (1) (? 2, 2) . (2) 2 . (3) 4__. (4) x + 4 y - 4 = 0 . 【例 2】 7 x ? y ? 17 ? 0或x ? 7 y ? 19 ? 0 【 例 3 】 (1) 直 线 化 为 : x ? y ? 4 ? m(2 x ? y ? 7) ? 0 故 直 线 是 经 过 x ? y ? 4 ? 0 和

?3 ?4

? ?

2 x ? y ? 7 ? 0 交点(3,1)的直线系,故过定点(3,1) ,因为 (3 ?1)2 ? (1 ? 2)2 ? 5 ? 25 所
以(3,1)为圆内的点。故直线 l 恒与圆 C 相交 (2)从(1)的结论和直线 l 过定点 M(3,1)且与过此点的圆 C 的半径垂直时,l 被圆所截 的弦长|AB|最短,由垂径定理得|AB|=2 r 2 ? CM 2 =2 25 ? [(3 ? 1) 2 ? (1 ? 2) 2 ] =4 5 . 此时,kl=1 k CM

,从而 kl=-

1 =2.∴l 的方程为 y-1=2(x-3),即 2x-y=5. 2 ?1 1? 3

三、课后作业 1.

轹p 轹 2p 5 .2. 觋 鼢 0, 鼢 ? 鼢 3 , p . 3 . (1,1) . 4 . 觋 6? 腚

2 . 5.

9 25 或- 或-6 . 6 . 4 6

4x+3 y+3 = 0或3x+4 y - 3 = 0 .7. 3x - y + 1 = 0或 3x + y + 1 = 0 .8. (- 13,13) .
9.已知直线 L : 2mx ? y ? 8m ? 3 ? 0 和圆 C : x ? y ? 6 x ? 12 y ? 20 ? 0 ;
2 2

(1) m ? R 时,证明 L 与 C 总相交。 (2) m 取何值时, L 被 C 截得弦长最短,求此弦长。 10. (Ⅰ) l 与 m 垂直, k m ? ? ∵ 且

1 0 , kl ? 3 , ∴ 故直线 l 方程为 y ? 3( x ? 1) , 3x ? y ?3 ? 即 3

∵圆心坐标 C(0,3)满足直线 l 方程,∴当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C (Ⅱ)①当直线 l 与 x 轴垂直时, 易知 x ? ?1 符合题意

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②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 , ∵ PQ ? 2 3 ,∴ CM ? 则由 CM ?

4 ? 3 ? 1,
4 , 3
∴直线 l : 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 .

| ?k ? 3 | k ?1
2

? 1 ,得 k ?

故直线 l 的方程为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0


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