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高中数学选修4-1(人教B版)第三讲圆锥曲线性质的探讨3.3知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修4-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三讲 圆锥曲线性质的探讨 三 平面与圆锥面的截线

一、知识清单
圆锥曲线性质的探讨

二、知识讲解
1.圆锥曲线性质的探讨 描述: 平行投影与圆柱面的平面截线 如果直线l 与α相交 ,过一个图形F 上任一点M 作直线平行于l ,交平面α于点M ′ ,则点M ′ 叫做点 M 在平面α内关于直线l 的平行投影(或象).如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线l 的平行 投影构成图形F ′ ,则F ′ 叫做图形F 在α内关于直线l 的平行投影.平面α叫做投射面,l 叫做投射 线.

平行投影具有下述性质(直线与投影线不平行): ①直线或线段的平行投影仍是直线或线段; ②平行直线的平行投影是平行或重合的直线; ③平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长; ④与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等; ⑤在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比. 圆柱面的平面截线 如果一个平面垂直于圆柱的轴,截圆柱所得的截线为一圆.如果一个平面与圆柱的轴所成角为锐 角,截圆柱所得的截线的形状是椭圆.

球的切线与切平面 与球只有唯一公共点的直线叫做球的切线.球的切线垂直于过切点的半径.如果球的切线通过一

A

PA

点P ,切点为A ,则称线段P A 的长为从点P 引的球的切线长.从球外任一点引该球的所有切线长 相等.

与球只有唯一公共点的平面叫做球的切平面.一个球的切平面,垂直于过切点的半径.

圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线 在圆柱面的轴上任取一点C ,过C 作垂直于轴的平面α,则平面α在圆柱面上的截线是⊙(C , r). 以C 为球心,r 为半径作球,则⊙(C ,r) 也是球与圆柱面所有公共点的集合.在⊙(C , r)任取一点 H ,则CH 与过点H 的母线垂直.过球半径的外端与该球半径垂直的直线,都是球的切线,于是 圆柱面的每一条母线都与球相切,所有切点的结合是半径为r 的圆,此圆称做切点圆.圆柱面与球 面相切,该球叫做圆柱面的内切球 .

如果平面α与圆柱面的轴线垂直,则平面α截圆柱面所得的截线是一个圆,此时称α平面为圆柱面 的直截面. 如果平面α与圆柱面的轴线所成的角为锐角,此时称平面α为斜截面. 圆锥面 ①一条直线绕着与它相交成定焦θ (0 < θ <

面.这条直线叫做圆锥面的母线,另一条直线叫做圆锥面的轴.母线与轴的交点叫做圆锥面的顶 点,顶点为S 的圆锥面通常记做圆锥面S .通过圆锥面的轴的平面叫做圆锥面的轴截面.

π )的另一条直线旋转一周,形成的曲面叫做圆锥 2

②圆锥面的内切球及性质

设圆锥面S 的母线与轴线的夹角α,在圆锥面S 的轴线上任取一个与顶点S 不同的点O ,设SA 为任 一条母线,作OH ⊥ SA于点H 则OH = SO sin α.点O 到圆锥面S 的母线的距离都相等.圆锥面 S 的每一条母线与球O 相切的切点的轨迹是一个圆.这个圆通常称做切点圆,球O 叫做圆锥面S 的 内切球.

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