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10.9离散型随机变量的均值与方差


第十章

计数原理、概率、随机变量及其分布

§10.9 离散型随机变量的均 值与方差

1.离散型随机变量的均值 (1)若离散型随机变量 X 的概率分布列为 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

则称 E(X)=__________________为随机变量 X 的均值或数学 期望,它反映了离散型随机变量取值的____________. (2)若 Y=aX+b,其中 a,b 为常数,则 Y 也是随机变量,于 是 E(Y)=____________________. (3)①若 X 服从两点分布,则 E(X)=____________; ②若 X~B(n,p),则 E(X)=____________.

2.离散型随机变量的方差 (1)若离散型随机变量 X 的概率分布列为 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

则称 D(X) = __________ 为随机变量 X 的方差,其算术平方根 ________为随机变量 X 的标准差. (2)D(aX+b)=____________. (3)①若 X 服从两点分布,则 D(X)=_________; ②若 X~B(n,p),则 D(X)=____________. 方差反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度:D(X) 越小,X 取值越集中,D(X)越大,X 取值越分散.

自查自纠
1.(1)x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 平均水平 (2)aE(X)+b (3)①p ②np 2.(1) ? (xi-E(X))2pi
i=1 n

D(X) (2)a2D(X)

(3)①p(1-p) ②np(1-p)

(2013·温州五校联考)已知随机变量 X 的分布 列如下表,则 E(X)=( X P A.0.4 0 0.2 B.1.2 ) 1 0.2 C.1.6 3 y D.2

解:由 0.2+0.2+y=1 得 y=0.6,从而计算得 X 的期望为 2.故选 D.

(2015·辽宁模拟)已知离散型随机变量 X 的 分布列为 X P -1 2 7 0 2 7 ) 3 C. 7 5 D. 7 1 x

则 X 的数学期望 E(X)=( 2 1 A.- B. 7 7

2 2 3 解:依题意得: + +x=1,所以 x= . 7 7 7 2 2 3 1 E(X)=(-1)× +0× +1× = .故选 B. 7 7 7 7

(2015·福建模拟)已知随机变量 X 的分布列 1 为 P(X=k)= ,k=1,2,3,则 D(3X+5)=( ) 3 A.6 B .9 C.3 D.4
1 2 解:由 E(X)= (1+2+3)=2,得 D(X)= , 3 3 D(3X+5)=3 ×D(X)=6.故选 A.
2

有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,从中有 放回地任取 3 件,若 ξ 表示取到次品的个数,则 D(ξ)= __________.

1? 4 1 ? 解:由题知,次品率 p= = ,则 ξ~B 3,4 ,从而 16 4 ? ? 1 ? 1? 9 9 1 - D(ξ)=3× × = .故填 . 4 ? 4? 16 16

(2014·浙江)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,若 P(ξ= 1 0)= ,E(ξ)=1,则 D(ξ)=__________. 5
解:设 P(ξ=1)=p,则 ξ 的分布列如下: ξ P 0 1 5 1 p 2 4 -p 5

4 ? 3 ? - p 由 E(ξ)=1,得 p+2 5 ? ?=1,可得 p=5,

1 3 1 2 ∴D(ξ)=(0-1)2× +(1-1)2× +(2-1)2× = . 5 5 5 5 2 故填 . 5

类型一

摸球模型、抽签模型

一口袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球,每次从袋中任意摸 出一个球. (1)采取有放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率; (2)采取不放回抽样方式, 从中摸出两个球, 求摸得白球的个数的均值和方差.

解:(1)“有放回摸取”可看作独立重复试验,每次摸出一球是白球的 2 1 概率为 P= = . 6 3 4 记“有放回摸两次,颜色不同”为事件 A,其概率为 P(A)= . 9

(2)设摸得白球的个数为 X,则 X 的取值为 0,1,2, 4 3 2 4 2 2 4 8 P(X=0)= × = ,P(X=1)= × + × = , 6 5 5 6 5 6 5 15 2 1 1 P(X=2)= × = . 6 5 15 ∴X 的分布列为 1 2 8 1 P 15 15 2 8 1 2 E(X)=0× +1× +2× = , 5 15 15 3 2?2 2 ? 2?2 8 ? 2?2 1 16 ? D(X)= 0-3 × + 1-3 × + 2-3 × = . ? ? 5 ? ? 15 ? ? 15 45
【点拨】求离散型随机变量的分布列的关键在于确定随机变量及其 概率.就本题而言,弄清“放回”与“不放回”在概率计算上的区别是 正确解题的关键.均值与方差直接套用公式计算即可.

X

0 2 5

一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件, 其中有 2 件次品,用户先对产品进行抽检以决定是否接 收.抽检规则如下:一次取一件产品检查(取出的产品不 放回箱子),共抽查三次,若三次都没有抽查到次品,则 用户接收这箱产品,若抽查到次品就立即停止抽检,并 且用户拒绝接收这箱产品. (1)求这箱产品被用户接收的概率; (2)记抽检的产品件数为 X,求 X 的分布列和均值.

8×7×6 7 解:(1)设“这箱产品被用户接收”为事件 A,P(A)= = . 10×9×8 15 7 即这箱产品被用户接收的概率为 . 15 2 1 (2)X 的可能取值为 1,2,3.P(X=1)= = , 10 5 8 2 8 8 7 ?6 2? 28 P(X=2)= × = ,P(X=3)= × × 8+8 = , 10 9 45 10 9 ? ? 45 ∴X 的概率分布列为 2 8 P 45 1 8 28 109 ∴E(X)= ×1+ ×2+ ×3= . 5 45 45 45 X 1 1 5 3 28 45

类型二

停止型问题

某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升 上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只 1 能参加 5 次测试. 假设某学生每次通过测试的概率都是 , 每次 3 测试通过与否相互独立.规定:若前 4 次都没有通过测试,则 不能参加第 5 次测试. (1)求该学生获得足够学分升上大学的概率; (2)如果获得足够学分升上大学或参加完 5 次测试就结束, 记该生参加测试的次数为 X,求变量 X 的分布列及均值 E(X).

解:(1)记“该生考上大学”为事件 A,其对立事件为 A, 3 2?4 64 16 112 1?1??2? ?2? ? 则 P(A)=C4 3 3 3 + 3 = + = . ? ?? ? ? ? ? ? 243 81 243 112 131 ∴P(A)=1-P(A)=1- = . 243 243 (2)该生参加测试次数 X 的可能取值为 2,3,4,5. 1?2 1 ? P(X=2)= 3 = , ? ? 9 1 2 1 4 P(X=3)=C1 , 2× × × = 3 3 3 27 2 2?4 4 16 28 1?1??2? ?1? ? P(X=4)=C3 3 3 3 + 3 = + = , ? ?? ? ? ? ? ? 27 81 81 3 2 32 1?1??2? ?1 P(X=5)=C4 3 3 3+3?= . ? ?? ? ? ? 81 故 X 的分布列为 4 28 P 81 1 4 28 32 326 ∴E(X)=2× +3× +4× +5× = . 9 27 81 81 81 X 2 1 9 3 4 27 5 32 81

【点拨】达到要求即合格,终止后 续测试.解决这类终止型问题,一定要 弄清楚终止的条件,根据终止条件确定 各种可能结果,再计算相应概率.

(2014·安徽)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直 接赢得比赛, 若赛完 5 局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛. 假 2 1 设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立. 3 3 (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数, 求 X 的分布列和均值(数学期望).

解:用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,Ak 表示 2 “第 k 局甲获胜”,Bk 表示“第 k 局乙获胜”,则 P(Ak) = , 3 1 P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5. 3 (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) 2?2 1 ?2?2 2 1 ?2?2 56 ? = 3 + × 3 + × × 3 = . ? ? 3 ? ? 3 3 ? ? 81

(2)X 的可能取值为 2,3,4,5. 5 P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= , 9 P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) 2 =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= , 9 P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) 10 =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)· P(B3)P(B4)= , 81 8 P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= . 81 故 X 的分布列为 4 10 P 81 5 2 10 8 224 E(X)=2× +3× +4× +5× = . 9 9 81 81 81 X 2 5 9 3 2 9 5 8 81

类型三

二项分布的均值与方差

(2013·福建)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、 2 乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中奖可以获得 2 分;方案乙的中 3 2 奖率为 ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖 5 机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得 分为 X,求 X≤3 的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问: 他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?

2 2 解:(1)由已知得:小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,两人中奖与否互不 3 5 影响,记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A,则 A 事件的对立事件为“X=5”, 2 2 4 11 ∵P(X=5)= × = ,∴P(A)=1-P(X=5)= . 3 5 15 15 11 ∴这两人的累计得分 X≤3 的概率为 . 15 (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计得 分的数学期望为 E(3X2). 2? 2? ? ? 2 , 2 , 由已知:X1~B ? 3?,X2~B? 5?, 2 4 2 4 ∴E(X1)=2× = ,E(X2)=2× = , 3 3 5 5 8 12 ∴E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= , 3 5 ∵E(2X1)>E(3X2),∴他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.

【点拨】n 次独立重复试验是重要的模型, 要牢记公式:当 X~B(n,p)时,E(X)=np,D(X) =npq, 其中 q=1-p.同时要掌握期望与方差的重 要 性 质 : E(aX + b) = aE(X) + b , D(aX + b) = a2D(X).

(2015·湖北模拟)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为可入 肺颗粒物,对人体健康和大气环境质量的影响很大.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限 值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米 之间空气质量为二级; 在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 某市环保局从 360 天的市区 PM2.5 监测数据中,随机抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). PM2.5 日均值(微克/立方米) 2 3 4 6 7 8 9 8 2 4 3 9 6 2 3 5 5 1 5 8 4 3

(1)从这 15 天的数据中任取 3 天的数据, 记 X 表示空气质量达到一级的天数,求 X 的分布列; (2)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计这 360 天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空气 质量达到一级.

解:(1)由题意知 N=15,M=6,n=3,X 的可能取值为 0,1,2, 3-k Ck 6·C9 3,其分布列为 P(X=k)= (k=0,1,2,3), C3 15 0 3 2 C6C9 12 C1 6C9 216 所以 P(X=0)= 3 = ,P(X=1)= 3 = , C15 65 C15 455 1 0 C2 C3 4 6C9 27 6C9 P(X=2)= 3 = ,P(X=3)= 3 = , C15 91 C15 91 所以 X 的分布列是: X P 0 12 65 1 216 455 2 27 91 3 4 91

6 2 = ,一年 15 5 2? 2 ? 中空气质量达到一级的天数为 Y,则 Y~B 360,5 ,所以 E(Y)=360× 5 ? ? (2)依题意知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 =144,所以这 360 天的空气质量达到一级的天数大约有 144 天.

类型四

综合运用

(2013·成都二诊)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频 率分布直方图都受到不同程度的破坏,如下所示:

试根据图表中的信息解答下列问题: (1)求全班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数; (2)为快速了解学生的答题情况, 老师按分层抽样的方法从位于[70, 80), [80, 90)和[90,100]分数段的试卷中抽取 8 份进行分析,再从中任选 3 人进行交流,求 交流的学生中,成绩位于[70,80)分数段的人数 X 的分布列和数学期望.

解:(1)由茎叶图可知,分数在[50,60)上的频数为 4,频率为 0.008×10=0.08,故全班的学 4 生人数为 =50. 0.08 分数在[70,80)之间的频数等于 50-(4+14+8+4)=20. (2)按分层抽样原理,三个分数段抽样数之比等于相应人数之比.又[70,80),[80,90)和[90, 100]分数段人数之比等于 5∶2∶1,由此可得抽出的样本中分数在[70,80)之间的有 5 人,分数在 [80,90)之间的有 2 人,分数在[90,100]之间的有 1 人. 从中任取 3 人,共有 C3 8=56 种不同的结果. 被抽中的成绩位于[70,80)分数段的学生人数 X 的可能取值为 0,1, 2,3.对应的概率分别是: 3 1 2 C3 1 C5C3 15 P(X=0)= = ,P(X=1)= = , 56 56 56 56 1 C2 15 C3 5 5C3 30 5 10 P(X=2)= = = ,P(X=3)= = = . 56 56 28 56 56 28 ∴X 的分布列为 3 5 P 28 1 15 15 5 105 15 ∴X 的数学期望为 E(X)=0× +1× +2× +3× = = . 56 56 28 28 56 8 X 0 1 56 1 15 56 2 15 28

【点拨】①第(1)问用茎叶图与频率分布直方图的概念 性质直接求解;第(2)问再结合分层抽样的概念即将问题转 化为普通的分布列问题.②本例考查了茎叶图、频率分布 直方图、抽样方法、古典概型、离散型随机变量的期望等, 是概率统计知识的“大阅兵”,精彩非常.考查离散型随 机变量的分布列与期望的题目大多与实际生活结合紧密, 且能综合考查学生的多项能力, 因此像本例这样信息量大、 综合性强、创新味足的题目,在今后的高考中极有可能越 来越多,越来越新.

(2014·四川)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘 游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现 音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两 次音乐获得 20 分, 出现三次音乐获得 100 分, 没有出现音乐则 1 扣除 200 分(即获得-200 分). 设每次击鼓出现音乐的概率为 , 2 且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初 的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相 关知识分析分数减少的原因.

解:(1)X 可能的取值为:10,20,100,-200,根据题意, 有
1 2 1 1 ? ? ×?1- ? =3, ?2? ? 2? 8 2 1 1 1 ? ? ×?1- ? =3, P(X=20)=C2 × 3 ?2? ? 2? 8 3 0 1 1 ? ? ×?1- ? =1, P(X=100)=C3 × 3 ?2? ? 2? 8 0 3 1 1 ? ? ×?1- ? =1. P(X=-200)=C0 × 3 ?2? ? 2? 8

P(X=10)=C1 3×

所以 X 的分布列为 X P 10 3 8 20 3 8 100 1 8 -200 1 8

(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3), 1 则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= . 8 ∴“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 3 1 1 511 ? ? 1-P(A1A2A3)=1- 8 =1- = . 512 512 ? ? 511 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 . 512 (3)X 的数学期望为 3 3 1 1 5 E(X)=10× +20× +100× -200× =- . 8 8 8 8 4 这表明,获得分数 X 的均值为负, 因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.

1.计算均值与方差的基本方法 (1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差,可直接用定义或公式求; (2)已知随机变量 X 的均值、方差,求 X 的线性函数 Y=aX+b 的均值、方差和标准 差,可直接用均值及方差的性质求; (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),则可直接利 用它们的均值、方差公式来求. 2.求均值与方差常用的结论 掌握下述有关结论,会给解题带来方便: (1)E(aX+b)=aE(X)+b; E(X+Y)=E(X)+E(Y); D(aX+b)=a2D(X). (2)若 X~B(n,p),则 E(X)=np,D(X)=np(1-p). 3.(1)在实际中经常用均值来比较平均水平,当平均水平相近时,再用方差比较稳 定程度; (2)注意离散型随机变量的均值、 方差与样本数据的平均数、 方差的区别与联系.


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