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2012年北京市高三各区数学一模试题分类汇编——函数导数与不等式


1

2012 年北京市高三各区数学一模试题分类汇编 函数与导数、不等式
〖核心知识与方法〗
(一)基本初等函数 1.牢固掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象及性质; 2.会判断或求解函数零点问题; 3.会利用函数的性质进行求值或比较大小.

〖模拟真题〗
一.选择题 1. (1204 西)若 a ? lo g 2 3 , b ? lo g 3 2 , c ? lo g 4 6 ,则下列结论正确的是( (A) b ? a ? c (B) a ? b ? c (C) c ? b ? a (D) b ? c ? a )

2. (1204 海) 已知函数 f ( x ) ? ?

? ? x 2 ? a x , x ? 1, ? a x ? 1, x ? 1,

若 ? x1 , x 2 ? R ,x1 ? x 2 , 使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 )

成立,则实数 a 的取值范围是 ( (A) a < 2 (B) a > 2

) (C) - 2 < a < 2 (D) a > 2 或 a < - 2

3 . 1204 朝 ) 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 的 x ? R , 都 有 ( .当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? x .若直线 y ? x ? a 与函数 y ? f ( x ) 的图象在 f ( x ? 2 )? f ( x )
2

[0 , 2 ] 内恰有两个不同的公共点,则实数 a 的值是


1 4

) 或?
1 2

(A) 0

(B) 0 或 ?

1 2

(C) ?

(D) 0 或 ?

1 4

4. (1204 丰)已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ,当 ? 1 ? x ? 1 时,
f ( x ) ? x .若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? lo g a | x | 恰有 6 个零点,则 (
3


1 1

A. a ? 5 或 a ?

1 5

B. a ? (0, ) ? [5, ? ? ) C. a ? [ , ] ? [5, 7 ] D. a ? [ , ) ? [5, 7 )
5
? x ? [ x ], x ? 0 ? f ( x ? 1), x ? 0

1

1 1

7 5

7 5

5.设函数 f ( x ) ? ?

,其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [ ? 1 .2 ] ? ? 2 , )

[1 .2 ] ? 1 , [1] ? 1 ,若 f ( x ) ? kx ? k 有三个不同的根,则实数 k 的取值范围是(

A. ( , ]
4 3

1 1

B. ( 0 , ]
4

1

C. [ , ) ? ( ? 1, ?
4 3
1

1 1

1 2

]

D. [ , ]
4 3

1 1

二.填空题
?x2, 0 ? x ? c, ? 1. (1204 西) 已知函数 f ( x ) ? ? 其中 c ? 0 . 那么 f ( x ) 的零点是 2 ? x ? x , ? 2 ? x ? 0, ?

_;

2

若 f ( x ) 的值域是 [ ?

1 4

, 2 ] ,则 c 的取值范围是_____.

? 1 x 3 ?( ) ? , 2. (1204 朝)已知函数 f ( x ) ? ? 2 4 ? lo g x , ? 2

x ? 2, 0 ? x ? 2.

若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? k 有两个不同

的零点,则实数 k 的取值范围是



3.若 y ? f ( x ) 是定义在 R 上周期为 2 的周期函数,且 f ( x ) 是偶函数,当 x ? [0,1] 时,
f ( x ) ? 2 ? 1 ,则函数 g ( x ) ? f ( x ) ? log
x

3

x 的零点个数为



? ? x ? a, x ? ? ? 4. (1204 石) 设函数 f ( x ) ? ? ? lo g x , x ? 2 ? ?

1 2 1 2

,

的最小值为 ? 1 , 则实数 a 的取值范围是



5. (1204 门)给出定义:若 m ?

1 2

? x? m?

1 2

(其中 m 为整数),则 m 叫离实数 x 最近的整

数,记作 ? x ? ? m ,已知 f ( x ) ? ? x ? ? x ,下列四个命题: ① 函数 f ( x ) 的定义域为 R ,值域为 ? 0 , ? ; 2
? ? ? 1?

② 函数 f ( x ) 是 R 上的增函数; ④ 函数 f ( x ) 是偶函数.

③ 函数 f ( x ) 是周期函数,最小正周期为 1; 其中正确的命题是 .

6.用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [1 .8] ? 1 .对以下关于函数 f ( x ) ? ( x ? [ x ]) 的四个
2

命题: ① 函数 y ? f ( x ) 的定义域为 R ,值域为 [0,1] ; ② 函数 y ? f ( x ) 的图象关于 y 轴对称; ③ 函数 y ? f ( x ) 是周期函数,最小正周期为 1 ; ④ 函数 y ? f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数. 其中正确命题的序号是 . (写出所有正确命题的序号)

〖核心知识与方法〗
(二)函数方程、不等式 1.掌握“四个二次”(二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数)之间的关 系,其中二次函数是四者的核心;

3

2.注意均值定理适用的条件:一正、二定、三相等,设 a、 b ? R ? ,则
2 1 a ? 1 b a?b 2 a ?b
2 2

m in ( a , b ) ?

?

ab ?

?

2

? m a x ( a , b ) (当且仅当 a ? b 时取等号) .

〖模拟真题〗
1. (1204 东)已知函数 f ( x ) ? ?
? 2 ? x ? 1, ? f ( x ? 1), x ? 0, x ? 0.

若方程 f ( x ) ? x ? a 有且只有两个不相等

的实数根,则实数 a 的取值范围是 (A) ? ? ? ,1 ?



) (C) ? 0 ,1 ? (D) ? 0 , ? ? ?

(B) ? ? ? ,1 ?

2 . 已 知 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 为 f ?( x ) , 且 对 于 任 意 x ? R , 总 有
xf ? ( x ) ? f ( x ) ? 0 成立,那么

1 2 1 2

f (1) 与 f ( 2 ) 的大小关系为 f (1) ? f ( 2 )



) D.不确定

A.

1 2

f (1) ? f ( 2 )

B.

C.

1 2

f (1) ? f ( 2 )

3. 1204 房山) ( 已知函数 f ( x ) ? ? 下列不等式成立的是 ( (A) f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 (C) f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 )

? x 2 ? 2 x ? 1 , x ? 0, ? ? x ? 2 x ? 1, x ? 0. ?
2

则对任意 x 1 , x 2 ? R , 0 ? x1 ? x 2 , 若

(B) f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 (D) f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0

4. (1204 朝) 某工厂生产的 A 种产品进入某商场销售, 商场为吸引厂家第一年免收管理费, 因此第一 年 A 种产品定价为每件 70 元,年销售量为 11.8 万件. 从第二年开始,商场 对 A 种产品 征收销售额的 x % 的管理费(即销售 100 元要征收 x 元),于是该产品定价每 件比第一年 增加了
70 ? x% 1 ? x%

元,预计年销售量减少 x 万件,要使第二年商场在 A 种产品经 ) (D) 10

营中收取的管理费不少于 14 万元,则 x 的最大值为 ( (A) 2 (B) 6.5 (C) 8.8

5. (1204 密云) 若定义 [ ? 2 0 1 2, 2 0 1 2 ] 上的函数 f ( x ) 满足: 对于任意 x1 , x 2 ? [ ? 2 0 1 2, 2 0 1 2 ] 有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2011 ,且 x ? 0 时,有 f ( x ) ? 2 0 1 1 , f ( x ) 的最大值、最 小值分别为 M , N ,则 M ? N 的值为 ( (A)2011 (B)2012 ) (D)4024

(C) 4022

6.定义区间 ( a , b ) , [ a , b ) , ( a , b ] , [ a , b ] 的长度均为 d ? b ? a ,多个区间并集的长度 为各区间长度之和, 例如, (1, 2) ? [3, 5) 的长度 d ? (2 ? 1) ? (5 ? 3) ? 3 . 用 [ x ] 表示不超过
x 的最大整数,记 { x } ? x ? [ x ] ,其中 x ? R . 设 f ( x ) ? [ x ] ? { x } , g ( x ) ? x ? 1 ,若用

4

d 1 , d 2 , d 3 分别表示不等式 f ( x ) ? g ( x ) ,方程 f ( x ) ? g ( x ) ,不等式 f ( x ) ? g ( x ) 解集区间

的长度,则当 0

?

x ? 2011 时,有(

) (B) d 1 ? 1, d 2 ? 1, d 3 ? 2 0 0 9 (D) d 1 ? 2, d 2 ? 3, d 3 ? 2 0 0 6

(A) d 1 ? 1, d 2 ? 2, d 3 ? 2008 (C) d 1 ? 3, d 2 ? 5, d 3 ? 2003

7.若 a ? 0 , b ? 0 , ab ? a ? b ? 3 ,则 a b 的取值范围是



8. 定义区间 [ a , b ] 的长度为 b ? a , [ x ] 表示不超过 x 的最大整数. f ( x ) ? [ x ]( x ? [ x ]) , 用 设
g ( x ) ? x ? 1 ,则 0 ? x ? 2012 时,不等式 f ( x ) ? g ( x ) 的解集区间的长度为_________.

〖核心知识与方法〗
(三)导数的应用及微积分初步 1.导数的应用主要体现在: ① 求函数的极值、最值; ② 求函数的单调区间、证明函数的单调性; ③ 三次函数或超越函数的切线问题; ④ 解决实际应用问题;

⑤ 构造函数,解决和不等式有关的问题等. 2.求积分或者曲边梯形的面积.

〖模拟真题〗
一.填空题
3 1. (1204 门)曲线 y ? x 与直线 x ? 1 及 x 轴所围成的图形的面积为



2.定积分 ? | 3 ? 2 x | d x ?
1

2


1 2

3.已知函数 f (1 ? x ) 是定义域为 R 的偶函数, f ( 2 ) ?
x x ? x ? R , f ? ( x ) ? e ,则不等式 f ( x ) ? e ?

, f ? ( x ) 是 f ( x ) 的导函数,若

1 2

( e ? 2 .7 1 8 ... )的解集为_____ __.

4. (1204 海)设某商品的需求函数为 Q = 100 - 5 P ,其中 Q , P 分别表示需求量和价格, 如果商品需求弹性
EQ EP

大于 1(其中

EQ EP

= -

Q' Q

P , Q ' 是 Q 的导数) ,则商品价格 P 的取

值范围是



5

5 . 1204 丰 ) 定 义 在 区 间 [ a , b ] 上 的 连 续 函 数 y ? f ( x ) , 如 果 ? ? ? [ a , b ] , 使 得 (
f ( b ) ? f ( a )? ?f ?( ) (b ?

, 下列函数: f ( x ) ? 3 x ? 2 ; ① a 则称 ? 为区间 [ a , b ] 上的“中值点”. )
1

② f ( x ) ? x 2 ? x ? 1 ;③ f ( x ) ? ln ( x ? 1) ;④ f ( x ) ? ( x ? ) 3 中,在区间 [0,1] 上“中值点”多于
2

一个的函数序号为

. (写出所有满足条件的函数的序号)

二.解答题 1. (1204 西)已知函数 f ( x ) ? e a x ? (
a x ? a ? 1) ,其中 a ? ? 1 .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间.

2. (1204 东)已知函数 f ( x ) ?

1 2

x ? 2 ex ? 3 e ln x ? b 在 ( x 0 , 0 ) 处的切线斜率为零.
2 2

(Ⅰ)求 x 0 和 b 的值; (Ⅱ)求证:在定义域内 f ( x ) ? 0 恒成立; (Ⅲ) 若函数 F ( x ) ? f ? ( x ) ?
a x

有最小值 m ,且 m ? 2 e ,求实数 a 的取值范围.

3. (1204 海)已知函数 f ( x ) ? e

? kx

(x ? x ?
2

1 k

) (k ? 0) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得函数 f ( x ) 的极大值等于 3e 若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

?2



6

4. (1204 密云)已知函数 f ? x ? ? x e .
2 ax

(I)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 在 (1, f ? 1 ? ) 处的切线方程; (II)求函数 f ? x ? 的单调区间; (III)若 f ? x ? 在 (1, ? ? ) 单调递增,求 a 范围.

5. (1204 朝)设函数 f ( x ) ?

e
2

ax

x ?1

,a ? R .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (0, f (0 )) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 单调区间.

6. (1204 石)已知函数 f ( x ) ? x ? 2 a ln x .
2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 的图象在 ( 2, f ( 2 )) 处的切线斜率为 1 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 g ( x ) ?
2 x ? f ( x ) 在 [1, 2 ] 上是减函数,求实数 a 的取值范围.

7

7. (1204 房山)已知函数 f ( x ) ? ln( 1 ? x ) ? mx . (I)当 m ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (II)求函数 f ( x ) 的极值; (III)若函数 f ( x ) 在区间 ? 0, e 2 ? 1 ? 上恰有两个零点,求 m 的取值范围. ? ?

8. (1204 门)已知函数 f ( x ) ? ln x ? a x ? (Ⅰ)当 0 ? a ?
1 2

1? a x

?1.

时,讨论函数 f ( x ) 的单调性;
2

( Ⅱ ) 设 g ( x ) ? x ? 2 b x? 4 , 当 a ?

1 4

时 , 若 对 任 意 x1 ? (0, 2 ) , 当 x 2 ? [ 1 , 2 ]时 ,

f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 恒成立,求实数 b 的取值范围.

8

9. (1204 丰)已知函数 f ( x ) ? ax ? ( a ? 2) x ? ln x .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, e ] 上的最小值为 ? 2 ,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意 x1 , x 2 ? (0, ? ? ) , x1 ? x 2 ,且 f (x 1)+2 x 1 ? f ( x 2)+2 x 范围. 恒成立,求 a 的取值

2


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