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2014年12月高中数学参数方程综合组卷(有答案)


2014 年 12 月高中数学参数方程综合组卷
一.选择题(共 10 小题) 1. (2014?南昌模拟)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程 为 ρcosθ=4 的直线与曲线 A.13 (t 为参数)相交于 A,B 两点,则|AB|=( B.14 C.15 ) D.16

2. (2014?房山区一模)参数方程

(θ 为参数)化为普通方程是(



A.(x﹣1)2+(y+3)2=1 B.(x+3)2+(y﹣1)2=4 C.(x﹣2)2+(y+2)2=4 D.x+y﹣2=0 3. (2014?海淀区模拟)参数方程 A .圆 B.直线 (θ 为参数)表示的曲线是( C.线段 ) D.射线

4. (2014?吉安二模)已知曲线 C1 的参数方程为
2

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ ﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0,设曲线 C1,C2 相交于两点 A,B,则过 AB 中 点且与直线 AB 垂直的直线的直角标方程为( ) A. B. C. D. y=﹣ x+1+ y= x+1+ y=﹣ x+1 y= x+1

5. (2014?红桥区一模)设 r>0,那么直线 xcosθ+ysinθ=r(θ 是常数)与圆 ( ) A.相交

(φ 是参数)的位置关系是

B.相切

C.相离

D.视 r 的大小而定

6. (2014?九江三模)曲线 C1 的参数方程为 建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 小值为( A. ) B.2 ρsin(θ+

(α 为参数) ,以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴

)=5.设点 P,Q 分别在曲线 C1 和 C2 上运动,则|PQ|的最

C .3

D.4

7. (2014?东城区二模)若直线 值为( ) A .1 或 5

(t 为参数)被圆

(α 为参数)所截的弦长为 2

,则 a 的

B.﹣1 或 5

C.1 或﹣5

D.﹣1 或﹣5

8. (2014?南昌模拟)设曲线 C 的参数方程为 极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为( A.ρcos2α﹣sinα=0 B.ρcosα﹣sinα=0

(t 为参数) ,若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为 ) C.ρcosα﹣sin2α=0 D.cos2α﹣ρsinα=0

9. (2014?黄山二模) 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 (θ 为参数) ,则曲线 C1 与 C2 的交点个数为( A .3 B.2 ) C .1

(t 为参数) 和

D.0

10. (2014?合肥三模)已知圆 C: 则|AB|=( A. ) B.

(φ 为参数)与直线 l:

(t 为参数) ,相交于 A、B 两点,

C.

D.

二.填空题(共 5 小题) 11. (2014?湖南)在平面直角坐标系中,倾斜角为 的直线 l 与曲线 C: , (α 为参数)交于 A,B 两

点,且|AB|=2,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极坐标方程是 _________ . 12. (2014?重庆)已知直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐

标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ﹣4cosθ=0 (ρ≥0, 0≤θ<2π) , 则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 ρ= _________ .

13. (2014?湖南)在平面直角坐标系中,曲线 C:

(t 为参数)的普通方程为 _________ .

14. (2014?嘉定区二模)已知点 P(4,m)在曲线 C: _________ . 15. (2014?宝鸡一模) (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 为极轴)中,曲线 C2 的方程为

, (t 为参数)上,则 P 到曲线 C 的焦点 F 的距离为

(α 为参数) ;在极坐标系(以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 ,则 C1 与 C2 两交点的距离为 _________ .

三.解答题(共 15 小题) 16. (2014?河南)已知曲线 C: + =1,直线 l: (t 为参数)

(Ⅰ )写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程.

(Ⅱ )过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值. 17. (2014?辽宁)将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (Ⅰ )写出 C 的参数方程; (Ⅱ )设直线 l:2x+y﹣2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.
2 2

18. (2014?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数) ,直线 l 与抛物线

y =4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

19. (2014?福建)已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,圆 C 的参数方程为

(θ 为常数) .

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 20. (2014?郑州模拟)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 C:ρsin θ=2acosθ
2

(a>0) ,已知过点 P(﹣2,﹣4)的直线 L 的参数方程为:

,直线 L 与曲线 C 分别交于 M,N.

(Ⅰ )写出曲线 C 和直线 L 的普通方程; (Ⅱ )若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 21. (2014?长春三模)已知曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数) ,在同一平面直角坐标系中,将曲线 C 上

的点按坐标变换

得到曲线 C′ .

(1)求曲线 C′ 的普通方程; (2)若点 A 在曲线 C′ 上,点 B(3,0) ,当点 A 在曲线 C′ 上运动时,求 AB 中点 P 的轨迹方程.

22. (2014?南通一模)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 (t 为参数)平行的直线的普通方程.

(φ 为参数)的右焦点且与直线

23. (2014?福建模拟)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标

系,设直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)设曲线 C 与直线 l 相交于 P、Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该矩形的面积.

24. (2014?宁城县模拟)已知平面直角坐标系 xOy,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的 参数方程为 (φ 为参数) . 点 A, B 是曲线 C 上两点, 点 A, B 的极坐标分别为 (ρ1, ) , (ρ2, ) .

(Ⅰ )写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程; (Ⅱ )求|AB|的值. 25. (2014?呼伦贝尔一模)已知曲线 C1 的极坐标方程是 是参数) . (1)写出曲线 C1 的直角坐标方程和曲线 C2 的普通方程; (2)求 t 的取值范围,使得 C1,C2 没有公共点. ,曲线 C2 的参数方程是

26. (2014?太原二模)已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在极坐标系(与直角
2

坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ ﹣ 4ρcosθ+3=0. (1)求直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的取值范围. 27. (2014?河北模拟)在直角坐标系中,以原点 O 为极点,x 轴为正半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线 C: (α 为参数) ;直线 l:ρ(cosθ+sinθ)=4. (Ⅰ )写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ )求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离.

28. (2014?郑州一模)已知曲线 C1:

(t 为参数) ,C2:

(θ 为参数) .

(Ⅰ )化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ )过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为 的直线 l 交曲线 C1 于 A,B 两点,求|AB|.

29. (2014?开封模拟) (选做题)已知点 P(1+cosα,sinα) ,参数 a∈[0,π],点 Q 在曲线 上. (1)求点 P 的轨迹方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)求点 P 与点 Q 之间距离的最小值. 30. (2014?福建模拟)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方 程为 ρsin(θ+ )= a,曲线 C2 的参数方程为 , (θ 为参数,0≤θ≤π) .

(Ⅰ )求 C1 的直角坐标方程; (Ⅱ )当 C1 与 C2 有两个公共点时,求实数 a 的取值范围.

参考答案与试题解析
一.选择题(共 10 小题) 1. (2014?南昌模拟)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程 为 ρcosθ=4 的直线与曲线 A.13 考点: 专题: 分析: 解答: (t 为参数)相交于 A,B 两点,则|AB|=( B.14 C.15 ) D.16

参数方程化成普通方程. 坐标系和参数方程. 把直线的极坐标方程化为普通方程,代入到曲线的参数方程中,求出 A、B 两点的坐标,即可求出|AB|. 解:∵ 直线的极坐标方程为 ρcosθ=4, 化为普通方程是 x=4;
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把 x=4 代入曲线方程

(t 为参数)中,

解得 t=±2, ∴ y=±8; ∴ 点 A(4,8) ,B(4,﹣8) ; ∴ |AB|=|﹣8﹣8|=16. 故选:D. 点评: 本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题,解题时把直线的极坐标方程化为普通方程,再代入曲线的 参数方程中,即可容易的解答.

2. (2014?房山区一模)参数方程
2 2 2

(θ 为参数)化为普通方程是(
2 2 2



A.(x﹣1) +(y+3) =1 B.(x+3) +(y﹣1) =4 C.(x﹣2) +(y+2) =4 D.x+y﹣2=0 考点: 专题: 分析: 解答: 参数方程化成普通方程. 坐标系和参数方程. 直接消去参数,即可得到普通方程.
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解:由题意,2cosθ=x+3,2sinθ=y﹣1,消去参数 θ 得, (x+3) +(y﹣1) =4, 故选 B. 点评: 本题考查参数方程与普通方程的互化,基本知识的考查.

2

2

3. (2014?海淀区模拟)参数方程 A .圆 B.直线

(θ 为参数)表示的曲线是( C.线段

) D.射线

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 将参数方程中两式相减,即可得到 y=x+1,同时注意 x 的范围是[﹣1,1],即可得到结果. 解答: 解:参数方程 (θ 为参数) ,化为普通方程为:
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y=1+x(﹣1≤x≤1) ,

故表示的曲线为线段. 故选 C. 点评: 本题主要考查参数方程化为普通方程,注意等价性,即 x 的范围,是一道基础题.

4. (2014?吉安二模)已知曲线 C1 的参数方程为
2

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ ﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0,设曲线 C1,C2 相交于两点 A,B,则过 AB 中 点且与直线 AB 垂直的直线的直角标方程为( ) A. B. C. D. y=﹣ x+1+ y= x+1+ y=﹣ x+1 y= x+1

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: 将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,运用 x=ρcosθ,y=ρsinθ,将曲线 C2 的极坐标方程化为普通方程,求 出圆心,由过 AB 中点且与直线 AB 垂直的直线必过圆心,即可求出所求直线方程. 解答:
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解:曲线 C1 的参数方程为
2

(t 为参数) ,化为普通方程为 x﹣
2

﹣1=0,
2

曲线 C2 的极坐标方程为 ρ ﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0,化为直角坐标方程为 x +y ﹣2x﹣2y+1=0, 表示圆心为(1,1) ,半径为 1 的圆,过 AB 中点且与直线 AB 垂直的直线必经过圆心, 故所求方程为 y﹣1=﹣ (x﹣1) ,即 y=﹣ x+1+ .

故选 A. 点评: 本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与普通方程的互化,以及直线与圆的位置关系,两直线 的位置关系,属于基础题.

5. (2014?红桥区一模)设 r>0,那么直线 xcosθ+ysinθ=r(θ 是常数)与圆 ( ) A.相交

(φ 是参数)的位置关系是

B.相切

C.相离

D.视 r 的大小而定

考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 利用参数方程化为直角坐标方程,通过圆心与直线的距离与半径的关系,判断选项即可. 解答: 解:圆 的圆心为坐标原点,半径为 r.
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圆心到直线的距离为



所以直线与圆相切. 故选:B. 点评: 本题考查点到直线的距离,直线与圆位置关系.

6. (2014?九江三模)曲线 C1 的参数方程为 建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 小值为( A. ) B.2 ρsin(θ+

(α 为参数) ,以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴

)=5.设点 P,Q 分别在曲线 C1 和 C2 上运动,则|PQ|的最

C .3

D.4

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 曲线 C1 的普通方程为 x2+(y﹣1)2=2,曲线 C2 的普通方程为 x+y=5,由直线和圆的位置关系相离可得结 论. 解答: 解:∵ 可化为 ,
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整理可得 x +(y﹣1) =2,图象为圆,圆心为(0,1) ,半径 2 2 ∴ 曲线 C1 的普通方程为 x +(y﹣1) =2, ∵ ρsin(θ+ )=5 可化为 ρ( cosθ+ sinθ)=5

2

2

∴ ρsinθ+ρcosθ=5,即 x+y=5, ∴ 曲线 C2 的普通方程为 x+y=5,图象为直线, 由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距 d= =2 ,

∴ |PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径,即 d﹣ = 故选:A 点评: 本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的关系,属基础题.

7. (2014?东城区二模)若直线 值为( ) A .1 或 5

(t 为参数)被圆

(α 为参数)所截的弦长为 2

,则 a 的

B.﹣1 或 5

C.1 或﹣5

D.﹣1 或﹣5

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 把参数方程化为直角坐标方程,利用点到直线的距离公式、弦长公式求得 a 的值. 解答: 2 解:直线 (t 为参数)即 x+y﹣a﹣1=0,圆 (α 为参数) ,即 (x﹣2) +(y﹣2)
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2

=4, 表示以(2,2)为圆心、半径等于 2 的圆. 圆心到直线的距离为 d= = ,再根据弦长公式可得 + =4=r ,
2

求得 a=1,或 a=5, 故选:A. 点评: 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式的应用,直线和圆 的位置关系,属于基础题.

8. (2014?南昌模拟)设曲线 C 的参数方程为 极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为( A.ρcos2α﹣sinα=0 B.ρcosα﹣sinα=0

(t 为参数) ,若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为 ) C.ρcosα﹣sin2α=0 D.cos2α﹣ρsinα=0

考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 把曲线 C 的参数方程化为普通方程,再把普通方程化为极坐标方程即可. 解答: 2 解:把曲线 C 的参数方程 化为普通方程是 y=x ,
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把曲线 C 的普通方程化为极坐标方程是 ρsinθ=ρ cos θ, 2 即 ρcos θ﹣sinθ=0. 故选:A. 点评: 本题考查了参数方程与极坐标化为普通方程的问题,解题时应掌握参数方程与极坐标和普通方程的相互转 化问题,是基础题.

2

2

9. (2014?黄山二模) 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 (θ 为参数) ,则曲线 C1 与 C2 的交点个数为( A .3 B.2 ) C .1

(t 为参数) 和

D.0

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 由 得 x 的范围,从而画出曲线 C1;由
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得普通方程,从而画出 C2,观察图形即可得曲

线 C1 与 C2 的交点个数. 解答: 解:在 中,当 t>0 时,x≥ )≥ ,

当 t<0 时,﹣x=(﹣t)+(

,得 x≤﹣2,

原方程化为 y=2(x≥2,或 x≤﹣2) .…① 方程 的普通方程为 x +y =4.…②
2 2

将① 式中的 y=2 代入② 式中,得 x=0, 显然不满足① 式,即方程组 无实数解,

所以曲线 C1 与 C2 的交点个数为 0. 故选:D. 点评: 1.本题考查了直线与圆的参数方程化普通方程,两曲线的交点问题等.值得注意的是,应保证方程在转化 过程中的等价性,特别是参数的范围,这直接影响到 x 或 y 的值. 2.本题也可以用图象法:① 式表示同一直线上的两条射线,② 式表示以原点为圆心,2 为半径的圆,在同一 坐标系中作出 C1,C2,可知 C1 与 C2 的交点个数为 0.

10. (2014?合肥三模)已知圆 C: 则|AB|=( A. ) B.

(φ 为参数)与直线 l:

(t 为参数) ,相交于 A、B 两点,

C.

D.

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: 运用同角三角函数的平方关系,将圆 C 化为普通方程,运用加减消元,化直线参数方程为普通方程,再由
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直线与圆相交的弦长公式:2
2 2

,即可求出答案.

解答: 解:圆 C 的普通方程为: (x﹣1) +y =1,直线 l 的普通方程为 x﹣2y+1=0, 则圆心到直线的距离为:d= ,故|AB|=2 = .

故选:A. 点评: 本题考查参数方程与普通方程的互化,考查直线与圆相交的弦长公式的运用,属于基础题. 二.填空题(共 5 小题) 11. (2014?湖南)在平面直角坐标系中,倾斜角为 的直线 l 与曲线 C: , (α 为参数)交于 A,B 两

点,且|AB|=2,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极坐标方程是 ρ(cosθ﹣sinθ) =1 . 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 由题意可得直线 l 的方程为 y=x+b,曲线方程化为直角坐标,表示一个圆,由于弦长正好等于直径,可得圆 心(2,1)在直线 l 上,由此求得 b 的值,可得直线的方程. 解答: 解:设倾斜角为 的直线 l 的方程为 y=x+b,
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曲线 C:

(α 为参数) ,即 (x﹣2) +(y﹣1) =1,表示以(2,1)为圆心、半径等于 1 的

2

2

圆. 由于弦长|AB|=2,正好等于直径,故圆心(2,1)在直线 l 上,故有 1=2+b,解得 b=﹣1, 故直线 l 的方程为 y=x﹣1,即 x﹣y﹣1=0. 再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得 ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0,即 ρ(cosθ﹣sinθ)=1 故答案为:ρ(cosθ﹣sinθ)=1. 点评: 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程,直线和圆的位置关系,属于基础题.

12. (2014?重庆)已知直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 .

标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ﹣4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ<2π) ,则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 ρ=

考点: 直线的参数方程. 专题: 选作题;坐标系和参数方程. 分析: 直线 l 的参数方程化为普通方程、曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,联立求出公共点的坐标,即可 求出极径.
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解答:

解:直线 l 的参数方程为
2

,普通方程为 y=x+1,
2

曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ﹣4cosθ=0 的直角坐标方程为 y =4x, 2 直线 l 与曲线 C 联立可得(x﹣1) =0, ∴ x=1,y=2, ∴ 直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 ρ= = .

故答案为: . 点评: 本题考查直线 l 的参数方程、曲线 C 的极坐标方程,考查学生的计算能力,属于中档题.

13. (2014?湖南)在平面直角坐标系中,曲线 C:

(t 为参数)的普通方程为 x﹣y﹣1=0 .

考点: 直线的参数方程. 专题: 选作题;坐标系和参数方程. 分析: 利用两式相减,消去 t,从而得到曲线 C 的普通方程. 解答:
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解:∵ 曲线 C:

(t 为参数) ,

∴ 两式相减可得 x﹣y﹣1=0. 故答案为:x﹣y﹣1=0. 点评: 本题考查参数方程化成普通方程,应掌握两者的互相转化.

14. (2014?嘉定区二模)已知点 P(4,m)在曲线 C: 5 .

, (t 为参数)上,则 P 到曲线 C 的焦点 F 的距离为

考点: 抛物运动轨迹的参数方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 先根据抛物线的参数方程得出抛物线的标准方程,再求得准线的方程,根据抛物线的定义求得答案. 解答: 2 解:抛物线 的普通方程为 y =4x,
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则其准线的方程为 x=﹣1, 由点 P 的横坐标为 4, 由抛物线的定义得|MF|=4﹣(﹣1)=5. 故答案为:5. 点评: 本题主要考查了抛物线的参数方程、抛物线的定义的运用.考查了学生对抛物线基础知识的掌握.属基础 题. 15. (2014?宝鸡一模) (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 为极轴)中,曲线 C2 的方程为 (α 为参数) ;在极坐标系(以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 ,则 C1 与 C2 两交点的距离为 .

考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 直线与圆. 分析: 根据同角三角函数关系消去参数 θ,即可求出曲线 C1 的普通方程,曲线 C2 的极坐标方程,根据极坐标公式 进行化简就可求出直角坐标方程,利用直角坐标方程的形式,先求出圆心(0,0)到直线的距离,最后结 合点到直线的距离公式弦 AB 的长度. 解答: 2 2 解:由 得 x +y =9,
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∴ 曲线 C1 的普通方程为得 x +y =9, ∵ ρ(cosθ﹣sinθ)+2=0, ∴ x﹣y+2=0, 曲线 C2 的方程为 ∴ 曲线 C2 的直角坐标方程为 x﹣y﹣2=0. ∵ 圆 C1 的圆心为(0,0) , ∵ 圆心(0,0)到直线 x﹣y﹣2=0 的距离 d= 又 r=2,所以弦长 AB=2 =2 = . , ,

2

2

则 C1 与 C2 两交点的距离为 . 故答案为: . 点评: 本题主要考查了圆的参数方程,以及简单曲线的极坐标方程,以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距 等基本方法,属于基础题. 三.解答题(共 15 小题) 16. (2014?河南)已知曲线 C: + =1,直线 l: (t 为参数)

(Ⅰ )写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程. (Ⅱ )过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值. 考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ )联想三角函数的平方关系可取 x=2cosθ、y=3sinθ 得曲线 C 的参数方程,直接消掉参数 t 得直线 l 的普 通方程; (Ⅱ )设曲线 C 上任意一点 P(2cosθ,3sinθ) .由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离,除以 sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值. 解答:
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解: (Ⅰ )对于曲线 C: 故曲线 C 的参数方程为

+

=1,可令 x=2cosθ、y=3sinθ, , (θ 为参数) .

对于直线 l:



由① 得:t=x﹣2,代入② 并整理得:2x+y﹣6=0; (Ⅱ )设曲线 C 上任意一点 P(2cosθ,3sinθ) . P 到直线 l 的距离为 .



,其中 α 为锐角. . .

当 sin(θ+α)=﹣1 时,|PA|取得最大值,最大值为 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为

点评: 本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题. 17. (2014?辽宁)将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (Ⅰ )写出 C 的参数方程; (Ⅱ )设直线 l:2x+y﹣2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 考点: 参数方程化成普通方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: 2 2 (Ⅰ )在曲线 C 上任意取一点(x,y) ,再根据点(x, )在圆 x +y =1 上,求出 C 的方程,化为参数方程.
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2

2

(Ⅱ )解方程组求得 P1、P2 的坐标,可得线段 P1P2 的中点坐标.再根据与 l 垂直的直线的斜率为 ,用点斜 式求得所求的直线的方程,再根据 x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程. 解答: 解: (Ⅰ )在曲线 C 上任意取一点(x,y) ,由题意可得点(x, )在圆 x +y =1 上,
2 2 2 2

∴ x+

=1,即曲线 C 的方程为 x +

=1,化为参数方程为

(0≤θ<2π,θ 为参数) .

(Ⅱ )由

,可得



,不妨设 P1(1,0) 、P2(0,2) ,

则线段 P1P2 的中点坐标为( ,1) , 再根据与 l 垂直的直线的斜率为 ,故所求的直线的方程为 y﹣1= (x﹣ ) ,即 x﹣2y+ =0. 再根据 x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为 ρcosα﹣2ρsinα+ =0, 即 ρ= .

点评: 本题主要考查求点的轨迹方程的方法,极坐标和直角坐标的互化,用点斜式求直线的方程,属于中档题.

18. (2014?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数) ,直线 l 与抛物线

y =4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 考点: 直线的参数方程. 专题: 计算题;坐标系和参数方程. 分析: 直线 l 的参数方程化为普通方程,与抛物线 y2=4x 联立,求出 A,B 的坐标,即可求线段 AB 的长.
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解答: 解:直线 l 的参数方程为
2 2

,化为普通方程为 x+y=3,

与抛物线 y =4x 联立,可得 x ﹣10x+9=0, ∴ 交点 A(1,2) ,B(9,﹣6) , ∴ |AB|= =8 .

点评: 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系:相交关系的应用,考查学生的计算能力,属于基础题.

19. (2014?福建)已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,圆 C 的参数方程为

(θ 为常数) .

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 考点: 圆的参数方程;直线的参数方程. 专题: 选作题;坐标系和参数方程. 分析: (1)消去参数,把直线与圆的参数方程化为普通方程; (2)求出圆心到直线的距离 d,再根据直线 l 与圆 C 有公共点?d≤r 即可求出. 解答: 解: (1)直线 l 的参数方程为 ,消去 t 可得 2x﹣y﹣2a=0;
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圆 C 的参数方程为

,两式平方相加可得 x +y =16;

2

2

(2)圆心 C(0,0) ,半径 r=4. 由点到直线的距离公式可得圆心 C(0,0)到直线 L 的距离 d= ∵ 直线 L 与圆 C 有公共点,∴ d≤4,即 ≤4,解得﹣2 ≤a≤2 . .

点评: 熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键. 20. (2014?郑州模拟)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 C:ρsin θ=2acosθ
2

(a>0) ,已知过点 P(﹣2,﹣4)的直线 L 的参数方程为:

,直线 L 与曲线 C 分别交于 M,N.

(Ⅰ )写出曲线 C 和直线 L 的普通方程; (Ⅱ )若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 考点: 参数方程化成普通方程;等比数列的性质. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: (1)消去参数可得直线 l 的普通方程,曲线 C 的方程可化为 ρ sin θ=2aρcosθ,从而得到 y =2ax.
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(II)写出直线 l 的参数方程为

,代入 y =2ax 得到

2

,则



,由|BC| =|AB|,|AC|,代入可求 a 的值.

2

2 2 2 解答: 解: (Ⅰ )根据极坐标与直角坐标的转化可得,C:ρsin θ=2acosθ?ρ sin θ=2aρcosθ, 2 即 y =2ax,

直线 L 的参数方程为:

,消去参数 t 得:直线 L 的方程为 y+4=x+2 即 y=x﹣2(3 分)

(Ⅱ )直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,

代入 y =2ax 得到 则有 因为|MN| =|PM|?|PN|,所以
2

2

, …(8 分)

即:[2 (4+a)] ﹣4×8(4+a)=8(4+a) 解得 a=1…(10 分) 点评: 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线的参数方程中参数的几何意义,是一道基础题.

2

21. (2014?长春三模)已知曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数) ,在同一平面直角坐标系中,将曲线 C 上

的点按坐标变换

得到曲线 C′ .

(1)求曲线 C′ 的普通方程; (2)若点 A 在曲线 C′ 上,点 B(3,0) ,当点 A 在曲线 C′ 上运动时,求 AB 中点 P 的轨迹方程. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)利用坐标转移,代入参数方程,消去参数即可求曲线 C′ 的普通方程; (2)设 P(x,y) ,A(x0,y0) ,点 A 在曲线 C′ 上,点 B(3,0) ,点 A 在曲线 C′ 上,列出方程组,即可 求 AB 中点 P 的轨迹方程. 解答:
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解: (1)将

代入
2 2

,得 C'的参数方程为

∴ 曲线 C'的普通方程为 x +y =1. …(5 分) (2)设 P(x,y) ,A(x0,y0) ,又 B(3,0) ,且 AB 中点为 P 所以有:
2 2

又点 A 在曲线 C'上,∴ 代入 C'的普通方程 ∴ 动点 P 的轨迹方程为 .

得(2x﹣3) +(2y) =1 …(10 分)

点评: 本题考查参数方程和直角坐标的互化,利用直角坐标方程与参数方程间的关系,点到直线的距离公式的应

用,考查计算能力.

22. (2014?南通一模)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 (t 为参数)平行的直线的普通方程. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 计算题. 分析: 椭圆的普通方程为 方程即可. 解答: 解:椭圆的普通方程为 ,右焦点为(4,0) ,

(φ 为参数)的右焦点且与直线

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,右焦点为(4,0) ,直线普通方程为 2y﹣x=2,斜率为: ,利用点斜式求出

直线

(t 为参数)的普通方程为 2y﹣x=2,斜率为: ;

所求直线方程为: 点评: 本题考查参数方程与普通方程的转化.直线方程求解.属于基础题. 23. (2014?福建模拟)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标

系,设直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)设曲线 C 与直线 l 相交于 P、Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该矩形的面积. 考点: 参数方程化成普通方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 直线与圆. 分析: (1)利用公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ 即可把曲线 C 的极坐标方程化为普通方程;消去参数 t 即可得到直线 l 的 方程;
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(2)利用弦长|PQ|=2

和圆的内接矩形,得对角线是圆的直径即可求出圆的内接矩形的面积.
2 2 2

解答: 解: (1)对于 C:由 ρ=4cosθ,得 ρ =4ρcosθ,进而 x +y =4x;

对于 l:由

(t 为参数) ,



,即

. (5 分)

(2)由(1)可知 C 为圆,且圆心为(2,0) ,半径为 2, 则弦心距 ,

弦长



因此以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积 . (10 分) 点评: 本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化,参数方程向 普通方程转化,以及圆内几何图形的性质等. 24. (2014?宁城县模拟)已知平面直角坐标系 xOy,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的 参数方程为 (φ 为参数) . 点 A, B 是曲线 C 上两点, 点 A, B 的极坐标分别为 (ρ1, ) , (ρ2, ) .

(Ⅰ )写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程; (Ⅱ )求|AB|的值. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ )消去参数 φ,把曲线 C 的参数方程化为普通方程;
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由公式

,把曲线 C 的普通方程化为极坐标方程; ,判定 AB 为直径,求出|AB|;

(Ⅱ )方法 1:由 A、B 两点的极坐标,得出

方法 2:把 A、B 化为直角坐标的点的坐标,求出 A、B 两点间距离|AB|. 解答: 解: (Ⅰ )∵ 曲线 C 的参数方程为
2 2

, (φ 为参数) ,

消去参数 φ,化为普通方程是 x +(y﹣2) =4; 由 , (θ 为参数) ,
2 2

∴ 曲线 C 的普通方程 x +(y﹣2) =4 可化为 极坐标 ρ=4sinθ, (θ 为参数) ; (Ⅱ )方法 1:由 且知 ∴ AB 为直径, ∴ |AB|=4; 方法 2:由两点 A(ρ1, ) ,B(ρ2, ) , , 是圆 C 上的两点,

化为直角坐标中点的坐标是 A( ,3) ,B(﹣ ,1) , ∴ A、B 两点间距离为|AB|=4. 点评: 本题考查了参数方程与极坐标的应用问题,解题时应熟练地应用参数方程、极坐标与普通方程的互化公式, 是基础题. 25. (2014?呼伦贝尔一模)已知曲线 C1 的极坐标方程是 是参数) . (1)写出曲线 C1 的直角坐标方程和曲线 C2 的普通方程; (2)求 t 的取值范围,使得 C1,C2 没有公共点. 考点: 参数方程化成普通方程;点的极坐标和直角坐标的互化. ,曲线 C2 的参数方程是

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专题: 计算题. 2 2 分析: (1)把曲线 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程是 x +y =2,把曲线 C2 的参数方程化为普通方程是 .

(2)结合图象,根据直线和圆的位置关系可得,当且仅当

时,C1,C2 没有公共点,

由此求得 t 的取值范围. 2 2 解答: 解: (1)曲线 C1 的直角坐标方程是 x +y =2,表示以原点(0,0)为圆心,半径等于 曲线 C2 的普通方程是

的圆.

,表示一条垂直于 x 轴的线段,包括端点. …(5 分)

(2)结合图象,根据直线和圆的位置关系可得,当且仅当 解得 ,即 t 的取值范围为 (0, )∪ ( ,+∞) .…(10 分)

时,C1,C2 没有公共点,

点评: 本题主要考查把参数方程化为普通方程、把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系的 应用,属于基础题.

26. (2014?太原二模)已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在极坐标系(与直角
2

坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ ﹣ 4ρcosθ+3=0. (1)求直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的取值范围. 考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 直线与圆. 分析: (1)利用直角坐标与极坐标间的关系:ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得 C 的直角坐标方程, 将直线 l 的参数消去得出直线 l 的普通方程. (2)求出圆心到直线的距离 d,结合圆的性质即可求得点 P 到直线 l 的距离的取值范围. 2 2 2 解答: 解: (1)由 ρ ﹣4ρcosθ+3=0,化为直角坐标方程:x +y ﹣4x+3=0, 2 2 即曲线 C 的方程为 x +y ﹣4x+3=0,
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由直线 l 的参数方程为

(t 为参数)消去 t,得直线 l 的方程是:
2 2

x﹣y+3

=0…(4 分)

(2)曲线 C 的标准方程为 (x﹣2) +y =1,圆心 C(2,0) ,半径为 1.

∴ 圆心 C 到直线 l 的距离为:d= 所以点 P 到直线 l 的距离的取值范围是[

= ﹣1,

. …(6 分) +1].

点评: 本题考查曲线参数方程、点的极坐标和直角坐标的互化应用,考查数形结合思想,属于中档题. 27. (2014?河北模拟)在直角坐标系中,以原点 O 为极点,x 轴为正半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线 C: (α 为参数) ;直线 l:ρ(cosθ+sinθ)=4. (Ⅰ )写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ )求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离. 考点: 参数方程化成普通方程;点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 2 2 分析: (Ⅰ )先根据 sin α+cos α=1 消去 α 将 C 转化普通方程,然后利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,将 l 转化为直角坐标 方程即可; (Ⅱ ) 先在曲线 C 上任取一点, 然后利用点到直线的距离公式建立函数关系, 最后利用辅助角公式求出最值. 解答: 2 2 解: (Ⅰ )根据 sin α+cos α=1 将 C 转化普通方程为:
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利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,将 l 转化为直角坐标方程为:x+y﹣4=0 (Ⅱ )在 d= 上任取一点 A( = cosα,sinα) ,则点 A 到直线的距离为 ,

它的最大值为 3 . 点评: 本题主要考查了参数方程化成普通方程,以及点到直线的距离公式的应用,同时考查了计算能力,属于中 档题.

28. (2014?郑州一模)已知曲线 C1:

(t 为参数) ,C2:

(θ 为参数) .

(Ⅰ )化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ )过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为 的直线 l 交曲线 C1 于 A,B 两点,求|AB|.

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1) 把参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数, 化为普通方程, 从而得到它们分别表示什么曲线;
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(2)先求出过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为 求解的即可. 解答: 解: (1)∵ C1:

的直线 l 参数方程,然后代入曲线 C1,利用参数的应用进行

(t 为参数) ,C2:

(θ 为参数) ,

∴ 消去参数得 C1: (x+2) +(y﹣1) =1,C2:

2

2



曲线 C1 为圆心是(﹣2,1) ,半径是 1 的圆. 曲线 C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长轴长是 8,短轴长是 6 的椭圆.

(2)曲线 C2 的左顶点为(﹣4,0) ,则直线 l 的参数方程为 将其代入曲线 C1 整理可得:s ﹣3 则 s1+s2=3 ,s1s2=4, 所以|AB|=|s1﹣s2|=
2

(s 为参数)

s+4=0,设 A,B 对应参数分别为 s1,s2, = .

点评: 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,两点的距离公式的应用,同时考查了运算求解的能力,属 于中档题.

29. (2014?开封模拟) (选做题)已知点 P(1+cosα,sinα) ,参数 a∈[0,π],点 Q 在曲线 上. (1)求点 P 的轨迹方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)求点 P 与点 Q 之间距离的最小值. 考点: 参数方程化成普通方程;点到直线的距离公式;简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: (1) 先将 和由 消去参数或利用极坐标与直角坐标的关系化得点 P
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的轨迹方程和曲线 C 的直角坐标方程即可; (2)先求出半圆(x﹣1) +y =1(y≥0)的圆心(1,0)到直线 x+y=9 的距离 d,从而利用点 P 与点 Q 之 间距离的最小值为 d﹣r 即得. 解答: 解: (1)由 又由 得点 P 的轨迹方程(x﹣1) +y =1(y≥0) , 得 ,∴ ρsinθ+ρcosθ=9,
2 2 2 2

∴ 曲线 C 的直角坐标方程 x+y=9. (2)半圆(x﹣1) +y =1(y≥0)的圆心(1,0)到直线 x+y=9 的距离为 d=
2 2



∴ 点 P 与点 Q 之间距离的最小值=4 ﹣1. 点评: 本小题主要考查参数方程化成普通方程、点到直线的距离公式、简单曲线的极坐标方程等基础知识,考查 运算求解能力,考查转化思想.属于基础题. 30. (2014?福建模拟)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方 程为 ρsin(θ+ )= a,曲线 C2 的参数方程为 , (θ 为参数,0≤θ≤π) .

(Ⅰ )求 C1 的直角坐标方程; (Ⅱ )当 C1 与 C2 有两个公共点时,求实数 a 的取值范围. 考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ )利用极坐标方程的定义即可求得; (Ⅱ )数形结合:作出图象,根据图象即可求出有两交点时 a 的范围.
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解答:

解: (Ⅰ )曲线 C1 的极坐标方程为 ρ(

sinθ+

cosθ)=

a,

∴ 曲线 C1 的直角坐标方程为 x+y﹣a=0. 2 2 (Ⅱ )曲线 C2 的直角坐标方程为(x+1) +(y+1) =1(﹣1≤y≤0) ,为半圆弧, 如图所示,曲线 C1 为一族平行于直线 x+y=0 的直线, 当直线 C1 过点 P 时,利用 得 a=﹣2± ,

舍去 a=﹣2﹣ ,则 a=﹣2+ , 当直线 C1 过点 A、B 两点时,a=﹣1, ∴ 由图可知,当﹣1≤a<﹣2+ 时,曲线 C1 与曲线 C2 有两个公共点.

点评: 本题考查参数方程化普通方程及直线与圆的位置关系,属基础题.


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