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学案59 直线与圆综合二


2013 届高二文科基础复习资料(1)

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学案 59 直线与圆综合二
一、课前准备: 【自我检测】 1.过点 M (- 2, m) , N (m, 4) 的直线的斜率等于 1,则 m 的值为 .

2.过点 (- 1,3) 且垂直于直线 x - 2 y + 3 = 0 的直线方程为



3.直线 x ? y ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是 4.点 A(2, 2) 过于直线 x - y - 1 = 0 的对称点是 .



5.直线

3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为

? 3



6 . 已 知 直 线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平 行 , 则 k 得 值 是 .

二、课堂活动: 【例 1】填空题: ( 1 ) 直 线 2 x - y = 0 上 一 点 P , 使 P 到 A(1,3), B(2, 6) 距 离 之 和 最 小 , 则 点 P 的 坐 标 是 .

(2)点 P(2, 0) 到过点 A(1, 2) 的直线 l 的距离等于 1 ,则直线 l 的方程是



(3)若直线 y = k ( x + 1) 与曲线 y =

2 x - x 2 有公共点,则 k 的取值范围是



2 2 (4)圆 x + y - 4 x - 4 y - 10 = 0 上至少有三个不同的点到直线 y = kx 的距离为 2 2 ,

则k ?



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【例 2】已知直线 l : m x ? (m ? 1) y ? 3 .

(Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围;

(Ⅱ)若直线 l 被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 y - 8 ? 0 截得的弦长为 4,求直线 l 的方程.

【例 3】已知圆 O 的方程为 x2 +y2 =1, 直线 l1 过点 A(3 , 0), 且与圆 O 相切. (Ⅰ)求直线 l1 的方程; (Ⅱ)设圆 O 与 x 轴交与 P, Q 两点,M 是圆 O 上异于 P, Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂直 的直线为 l2,直线 PM 交直线 l2 于点 P′,直线 QM 交直线 l2 于点 Q′. 求证:以 P′Q′为直径的圆 C 总过定点,并求出定点坐标.

课堂小结

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三、课后作业 1.直线 x cos ? ? y ?1 ? 0 的倾斜角的范围是 .

2.直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 2 的位置关系是
2



3.以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是



4.过原点且倾斜角为 60? 的直线被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为




5. 设直线 l1 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 , 将直线 l1 绕原点按逆时针方向旋转 90 得到直线 l 2 , l 2 则
?

的方程是



6.若直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 x ? a(a ? 1) y ? (a2 ?1) ? 0 垂直,则 a 的值为



7.过点 P(1, 2) 且到点 A(2,3), B(0, - 5) 的距离相等的直线方程是

_____.

2 2 8. 由直线 x - y + 1 = 0 上的点 P 向圆 ( x - 3) + ( y + 2) = 1 引切线, 则切线长的最小值是 .

9.已知:以点 C (t, 为原点.

2 )(t∈ , t ≠ 0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A,与 y 轴交于点 O, B,其中 O R t

(1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y = –2x+4 与圆 C 交于点 M, N,若 OM = ON,求圆 C 的方程.

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10.已知圆 C: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 ,直线 l1 过定点 A (1,0). (Ⅰ)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ)若 l1 的倾斜角为 45° 1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求线段 PQ 的中点 M 的坐标; ,l (Ⅲ)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值, 并求此时直线 l1 的方程.
y

C

1 A O 1 x

四、纠错分析 题 号 错 题 卡 错 题 原 因 分 析

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参考答案: 一、课前准备: 【自我检测】 1.1.2. 2 x ? y ? 1 ? 0 .3. (0, 2 ?1) .4. (3,1) .5. 二、课堂活动: 【例 1】 (1) (

? .6.3 或 5. 3

? 18 56 3? , ). (2) 3x ? 4 y ? 11 ? 0或x ? 1. (3) ? 0, (4) ? 2 ? 3, 2 ? 3 ? . ?. ? ? 15 15 3 ? ?

【例 2】 (Ⅰ)斜率 k ?

m ,当 m ? 0 时, k ? 0 ; m ?1

当 m ? 0 时,一方面 k ? 0 ,

另一方面 k ?

1 m m 1 ? ? ,当且仅当 m ? 1 时取“=”,综上, k 的取值范围为 [ 0, ] . 2 m ?1 2 m 2
由 题 意 , 圆 心 (0, 1) 到 直 线 l 的 距 离

( Ⅱ ) 圆 的 标 准 方 程 为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 .

d ? 9 ? 22 ? 5 , 由
x ? 2y ? 3 ? 0

| ?m ? 1 ? 3 | m ? (m ? 1) 2

? 5 及 m ? 0 解得 m ? 1 ,∴直线 l 的方程为:

【例 3】 (Ⅰ)∵直线 l1 过点 A(3,0) ,且与圆 C: x ? y ? 1相切,
2 2

设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 0 , 则圆心 O (0, 0) 到直线 l1 的距离为 d ? ∴直线 l1 的方程为 y ? ?

| 3k | k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

2 , 4

2 2 ( x ? 3) ,即 y ? ? ( x ? 3) . 4 4

(Ⅱ)对于圆方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?1 ,即 P(?1,0), Q(1,0) . 又直线 l2 过点 A 且与 x 轴垂直, 设 M (s, t ) ,则直线 PM 方程为 y ? ∴直线 l2 方程为 x ? 3 ,

t ( x ? 1). s ?1
同理可得, Q' (3,

? x ? 3, 4t ? 解方程组 ? , 得 P' (3, ). t s ?1 ? y ? s ? 1 ( x ? 1) ?

2t ). s ?1

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∴ 以 P?Q? 为直径的圆 C ? 的方程为 ( x ? 3)( x ? 3) ? ( y ? 又 s 2 ? t 2 ? 1, ∴ 整理得 ( x2 + y 2 - 6x + 1) +

4t 2t )( y ? ) ? 0, s ?1 s ?1

6s - 2 y= 0, t

若圆 C′ 经过定点,只需令 y = 0 ,从而有 x 2 - 6 x + 1 = 0 ,解得 x ? 3 ? 2 2 , ∴ 圆 C′ 总经过定点的坐标为 (3 ? 2 2,0) . 课堂小结 三、课后作业 1. ?0,

25 ? ? ? ? 3? ? .4. 2 3 . 5.2 x ? y ? 2 ? 0 . ? ? , ? ? .2.相切.3.( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ? 4? ? 4 ? ?

3 .7. x ? 1或4 x ? y ? 2 ? 0 .8. 17 . 2 4 2 2 4 2 2 2 2 ? ? 9. (1) 圆C过原点O , OC ? t ? 2 . 设圆 C 的方程是 ( x ? t ) ? ( y ? ) ? t ? 2 t t t 4 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2t t 1 1 4 ? S ?OAB ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值. 2 2 t
6. 0或(2)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .

? k MN ? ?2,? k oc ? ?

1 1 ,? 直线 OC 的方程是 y ? x . 2 2

2 1 ? t ,解得: t ? 2或t ? ?2 t 2

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点. 当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

9 5

? 5,

9 5

? 5

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圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,

?t ? ?2 不符合题意舍去.

? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 .
10. (Ⅰ) ①若直线 l1 的斜率不存在,则直线 l1:x=1,符合题意. ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知, (3, 到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 圆心 4) 即: 所求直线 l1 的方程是 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . (Ⅱ) 直线 l1 方程为 y=x-1.
? y ? x ? 1, ∵? ? x ? y ? 7 ? 0, 3k ? 4 ? k k ?1
2

解之得 k ? ?2,

3 . 4

∵PQ⊥CM,
? x ? 4, ∴? ? y ? 3.

∴ CM 方程为 y-4=-(x-3), ∴ M 点的坐标为(4, 3).

即 x+y-7=0.

(Ⅲ) 直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0, 设直线方程为 kx ? y ? k ? 0 , 则圆心到直线 l1 的距离

d?

2k ? 4 1? k 2

又∵△CPQ 的面积 = 4d ? d
2 4

S?
2

1 d ?2 4?d2 ? d 4?d2 2
2

y l1 Q M

? ? (d ? 2) ? 4
C



当 d= 2 时,S 取得最大值 2.

∴d ?

2k ? 4 1? k 2

= 2

∴ k=1 或 k=7

P 1 A O 1 x

所求直线 l1 方程为 x-y-1=0 或 7x-y-7=0 .


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