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学案56 直线与圆的位置关系


2013 届高二文科基础复习资料(1)

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学案 56 直线与圆的位置关系
一、课前准备: 【自主梳理】 1.直线与圆的位置关系有







2.已知直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 由?

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 2 ?( x ? a ) ? ( y ? b) ? r

消元,得到的一元二次方程的判别式为 ? ,则

? 直线与圆相交;

? 直线与圆相切;

? 直线与圆相离

3. 已知直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 圆心 ( a, b) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离为 d ,则 ? 直线与圆相交;

? 直线与圆相切;

? 直线与圆相离

4.直线与圆相交时,圆心到直线的距离为 d ,圆的半径为 r ,则直线被圆截得的弦长为
2 2 2 直线 y ? kx ? b 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 相交于点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 AB ?

【自我检测】
2 2 1.直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : x ? y ? 2x ? 0 的位置关系是

2.过原点且与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 相切的直线方程是
2 2 2 2 3. 直线 3x ? y ? 6 ? 0 与圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 的交点坐标是

4. 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 截得的弦长是
2 2

5.过点 A(4,1) 的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程是 6.已知实数 x, y 满足方程 x ? y ? 4x ? 1 ? 0 ,则
2 2

y 的最大值是 x

最小值是

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二、课堂活动: 【例 1】填空题: (1)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? r 2 ,则经过圆 C 上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线方程是 (2)直线 ax ? by ? 1 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 1 相交,则点 P (a, b) 与圆 C 的位置关系是 (3)直线 6 x ? 8 y ? 5 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 截得的弦对应的劣弧所对的圆心角为 (4)已知 x, y 满足 ( x + 2)2 + ( y - 2)2 = 3 ,则 x - y 的最大值

【例 2】 已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 , P 坐标为 (2,?1) , 点 过点 P 作圆的切线, 切点为 A, B (1)求直线 PA, PB 的方程 (2)求过点 P 的圆的切线长

【例 3】直线 l 经过点 P(5,5) ,其斜率为 k , l 与圆 x ? y ? 25 相交,交点分别为 A, B
2 2

(1)若 AB ? 4 5 ,求 k 的值 (2)若 AB ? 2 7 ,求 k 的取值范围 (3)若 OA ? OB ( O 为坐标原点)求 k 的值;

课堂小结

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三、课后作业 1.若 P(2,?1) 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为

2. M (3,0) 是圆 x 2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 10 ? 0 内的一点,过点 M 最长的弦所在的直线方程 为

3.过 M (2,4) 点向圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1引切线,则切线方程是

4.已知 x, y 满足 ( x + 2)2 + ( y - 2)2 = 3 ,则 x 2 ? y 2 的最大值是

2 5.若直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 恰有一个公共点,则实数的取值范围是

2 2 2 2 6.点 ( a, b) 在圆 x + y = 1内部,则 ax + by - 2 = 0 与 x + y = 4 的位置关系是

2 2 7.过点 P(2, - 1) 引圆 ( x - 1) + ( y - 2) = 2 的切线 PA, PB , A, B 为切点,

则 sin ? APB

8.直线 l 过点 A(1, 0) 与圆 C : ( x - 3) + ( y - 4) = 4 相交于 P, Q 两点,当 D CPQ 面积的最大 时,直线 l 的方程为

2

2

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9.求与 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 的圆的方程。

10.已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点) , 求该圆的圆心坐标及半径.

四、纠错分析 题 号 错 题 卡 错 题 原 因 分 析

学案 56 直线与圆的位置关系

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一、课前准备: 【自主梳理】 1.相交 、 相切 、 相离 .2. ? ? 0 ; ? ? 0 ; ? ? 0 3. d ? r ; d ? r ; d ? r
2 4. 2 r 2 ? d 2 ; AB ? 1 ? k x1 ? x 2 ? 1 ?

1 y1 ? y 2 k2

【自我检测】 1.相离 2. y ?

3 2 x 和 y ? 0 3. (1,3), (2,0) 4. 55 4 5
6.

5. ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 2 二、课堂活动: 【例 1】填空题: (1) x0 x ? y0 y ? r 2

3

? 3

(2)在圆外

(3)

2? 3

(4) 6 ? 4

【 例 2 】 解 : 1 ) 设 过 点 P 的 切 线 方 程 为 y ? 1 ? k ( x ? 2) , 即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 则 (

?k ?3 1? k
2

? 2 , k 2 ? 6k ? 7 ? 0 , ? 解得 k ? 7 或 k ? ?1 , 所求的切线方程为 7 x ? y ? 15 ? 0

或 x ? y ?1 ? 0 (2)在 Rt?ABC 中,由 PA ? PC ? CA 得 PA ? 2 2 ? 过点的圆的切线长为 2 2
2 2 2

【例 3】 解:由已知得直线 l 的方程为 y ? 5 ? k ( x ? 5) ,即 kx ? y ? 5(1 ? k ) ? 0 ,则圆 x ? y ? 25 的
2 2

圆心到直线 l 的距离 d =

5(1- k ) k +1
2

, \ AB = 2 r 2 - d 2 =

10 2k k2 + 1

(1) AB ? 4 5 ,即

10 2k k2 + 1

= 4 5 ,解得 k ?

1 或k ? 2, 2 1 7

(2)

10 2k k2 + 1

< 2 7 ,化简得 7k 2 ? 50k ? 7 ? 0 ,? k ? 7 或 0 ? k ?

(3)由 OA ? OB 得 ?OAB 为等腰直角三角形, \ d =

5(1- k ) 5 2 解得 k ? 2 ? 3 k2 + 1 2

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三、课后作业 1. x ? y ? 3 ? 0 4. 2 2 ? 3 2. x ? y ? 3 ? 0 5. (?1,1] ? ? 2 3. 24x ? 7 y ? 20 ? 0, x ? 2 . 6 相离 . 7.

? ?

4 5

8. x - y - 1 = 0 或 7 x - y - 7 = 0

9.解:设所求圆的方程为 ( x ? 3a) 2 ? ( y ? a) 2 ? (3a) 2 ,圆心到直线 y ? x 的距离为

3a ? a 2



则有 (

3a ? a 2

) 2 ? ( 7 ) 2 ? (3a) 2 ,解得 a 2 ? 1,? a ? ?1

所求圆的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 或 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 10.解:将 x=3-2y 代入方程 x2+y2+x-6y+m=0,得 5y2-20y+12+m=0. 设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) ,则 y1、y2 满足条件 y1+y2=4,y1y2=

12 ? m . 5

∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0. 而 x1=3-2y1,x2=3-2y2, ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2. ∴m=3,此时Δ >0,圆心坐标为(-

1 5 ,3) ,半径 r= . 2 2

评述:在解答中,我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧,但必须注意这样的 交点是否存在,这可由判别式大于零帮助考虑.


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