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2016-2017学年福建晋江季延中学高二上期中数学(文)试卷


2016-2017 学年福建晋江季延中学高二上期中数学(文)试卷
考试时间:100 分钟;命题人:xxx 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

1.设 M ? 2a ? 4a , N ? a ? 2a ? 3 ,则有(
2 2



A. M ? N C. M ? N

B. M ? N D. M ? N )

2.设 a ? b ? 0, 则下列不等式中恒成立的是( A. a ? b
2 2

B.

1 1 ? a b

C. ab ? b 2

D. 3a ? 4b

3.已知等比数列 ?a n ? 中, A.31 C.63 B.32 D.64

a2 ? a3 ? 2, a4 ? 8, 则 a6 ? a1 ? a2

4.若数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an ?1 ? an ? 3 ,则 an ? ( A.3 B. 3n ? 3 C. 3n D. 3n ? 6



5.已知 x , y , z ? R ,若 ?1 , x , y , z , ?3 成等比数列,则 xz 的值为( A. ? 3 B. 3 C. ? 3 D. 3 )



6.已知 x ? 0, y ? 0,2 x ? y ? 2, 则 xy 的最大值为(

A.

1 2

B.1

C.

2 2

D.

1 4

? x ? y ? 1 ? 0, ? 7.若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 则 z ? 2 x ? y ? 1 的最小值为( ? y ? 0, ?
A. ?1 B. 2 C. 5 D. 3 ) 8.已知数列 ?an ? 是正项等比数列, ?bn ? 是等差数列,且 a6 ? b8 ,则一定有( A. a3 ? a9 ? b7 ? b9 C. a3 ? a9 ? b7 ? b9 B. a3 ? a9 ? b7 ? b9 D. a3 ? a9 ? b7 ? b9



试卷第 1 页,总 3 页

9.已知函数 y ? A. a ? 0或a ? 4 C. a ? 4

ax 2 ? ax ? 1 的定义域 R ,则实数 a 的取值范围为(
B. 0 ? a ? 4 D. 0 ? a ? 4



10.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn ? n 2 ? n ? 1 ,则 a1 ? a9 等于 A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 )

11. 已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, 则 a 4 ? a5 ? ( a1 ? a 2 ? 5, a 7 ? a8 ? 10 , A.5 2 B.7 C.6 D.4 2

12.已知 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的增函数且为奇函数,若对任意的 x,y∈R,不等

f ? x 2 ? 6 x ? 21? ? f ? y 2 ? 8 y ? ? 0 恒 成 立 , 则 当 x ? 3 时 , x 2 ? y 2 的 取 值 范 围 是
( ) A.(3,7) B.(9,25) C.(13,49) D.(9,49)

13.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? L ? nan ? n ? 1 ( n ? N * ) ,则数列 ?an ? 的通项公 式__________

14. 2 ? 1 与 2 ? 1 ,这两数的等比中项是_____。 15.设 a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2, 则a
2

? b 2 的最小值是_______

x ? ( x ? 1), ?2 16.已知函数 f ? x ? ? ? ,则不等式 f ? x ? ? f ?1? 的解集是 2 ? ? x ? 6 x ? 9 ( x ? 1)

17.公差不为 0 的等差数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若数列
2

中, a1 ? 3 , a5 ? 7 . ; 前 n 项的和
2

的通项

a ?2 中, bn ? 2 n ,求数列

.

18.已知不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A ,不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集为 B ,不等 式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 A ? B ,求 a, b 的值
2

19.已知 x,y 是正实数,且 2 x ? 5 y ? 20 , (1)求 u ? lg x ? lg y 的最大值;

(2)求

1 1 ? 的最小值 x y

试卷第 2 页,总 3 页

20.已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,公差 d ? 0, 且S 3 ? S 5 ? 50, a1 , a 4 , a13 成等比 数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 ?

? bn ? ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . ? an ?
2 2 2

21.某服装制造商现有 300m 的棉布料,900m 的羊毛料,和 600 m 的丝绸料。做一条大 2 2 2 2 2 衣需要 1m 的棉布料,5m 的羊毛料,1m 的丝绸料.做一条裤子需要 1m 的棉布料,2m 2 的羊毛料,1m 的丝绸料。 (1)在此基础上生产这两种服装,列出满足生产条件的数学关系式,并在直角坐标系 中画出相应的平面区域。 (2)若生产一条大衣的纯收益是 120 元,生产一条裤子的纯收益是 80 元,那么应采用 哪种生产安排,该服装制造商能获得最大的纯收益;最大收益是多少?

y
600 500 400 300 200 100

x
100 200 300 400 500 600

O

22. an ? 是首项 a1 ? 4 的等比数列,且 S 2是S3和S 4的等差中项 。 (1)求数列 an ? 的通项公式; (2)若 bn ? log 2 an ,设 Tn 为数列 ? 恒成立,求实数 ? 的最小值.

?

?

? 1 ? * ? 的前 n 项和,若 Tn ≤ ?bn ?1 对一切 n ? N ? bn bn ?1 ?

试卷第 3 页,总 3 页

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参考答案 1.C 【解析】
2 2 2 试题分析: M ? N ? 2a ? 4a ? a ? 2a ? 3 ? a ? 2a ? 3 ? ? a ? 1? ? 2 ? 0 ? M ? N 2

?

? ?

?

考点:比较大小 2.B 【解析】 试题分析:由 a ? b ? 0 设 a ? ?2, b ? ?1代入不等式中验证,可知 考点:不等式性质 3.B 【解析】 试题分析:?

1 1 ? 成立 a b

a2 ? a3 ? 2 ? q ? 2 ? a6 ? a4 q 2 ? 32 a1 ? a2

考点:等比数列通项公式 4.C 【解析】 试题分析:由 an ?1 ? an ? 3 可知数列为等差数列,公差为 3?an ? a1 ? ? n ?1? d ? 3n 考点:等差数列通项公式 5.D 【解析】 试题分析:若 ?1 , x , y , z , ?3 成等比数列,所以 y ? xz ? 3? y ? 3 ? xyz ? 3
2

考点:等比数列 6.A 【解析】 试题分析: 2 x ? y ? 2 2 xy ? 2 2 xy ? 2 ? 2 xy ? 1? xy ? 立,所以 xy 的最大值为

1 ,当且仅当 2 x ? y 时等号成 2

1 2

考点:不等式性质求最值 7.B 【解析】 试题分析:不等式对应的可行域为直线 x ? y ? 1 ? 0, x ? 2 y ? 2 ? 0, y ? 0 所夹开口区域,顶 点为 ? 0,1? , ? 2,0? ,当 z ? 2 x ? y ? 1 过点 ? 0,1? 时对应的值最小为 2 考点:线性规划问题 8.B 【解析】

答案第 1 页,总 7 页

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试题分析:因为 a6 ?

a3 ?a9 ?

a3 ? a9 b ? b7 .且 b8 ? 9 . 2 2

所以 a6 ? b8 ? a3 ? a9 ? b9 ? b7 考点:等差数列与等比数列的综合 9.D 【解析】
2 试题分析:由函数定义域可知 ax ? ax ? 1 ? 0 对于任意实数恒成立,当 a ? 0 时 1 ? 0 恒成

立,当 a ? 0 时需满足 ?

?a ? 0 ,解不等式得实数 a 的取值范围为 0 ? a ? 4 ?? ? 0

考点:二次函数性质与函数定义域 10.C 【解析】 试题分析: a1 ? S1 ? 3, a9 ? S9 ? S8 ? ?81? 9? ? ? 64 ? 8? ? 18?a1 ? a9 ? 21 考点:数列求和公式 11.A 【解析】
2 2 2 2 试题分析:?a1a7 ? a4 , a2a8 ? a5 ?a4 ? a5 ? 5?10 ? 50?a4a5 ? 5 2

考点:等比数列性质 12.C 【解析】 试 题







f ? x 2 ? 6 x ? 21? ? f ? y 2 ? 8 y ? ? 0 ? f ? x 2 ? 6 x ? 21? ? ? f ? y 2 ? 8 y ? ? f ?8 y ? y 2 ?

? x2 ? 6x ? 21 ? 8t ? y 2 ? x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 21 ? 0 ? ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 4 ,当 x ? 3
2 2

时,点 ? x, y ? 在圆 ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 4 内, x2 ? y 2 看作 ? x, y ? , ? 0,0? 距离的平方,结合图
2 2

形可知距离的最小值为 13 ,最大值为 7,所以 x 2 ? y 2 的取值范围是(13,49) 考点:函数单调性奇偶性及圆的性质

? 2(n ? 1) ? 13. an ? ? 1 (n ? 2) ? ?n 【解析】

? 2(n ? 1) 1 ? 试题分析: n ? 1 代入得 a1 ? 2 , n ? 2 时 nan ? ? n ? 1? ? n ? 1? an ? ? an ? ? 1 n (n ? 2) ? ?n
考点:数列求通项公式
答案第 2 页,总 7 页

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14. ?1 【解析】 试题分析:?

?

2 ?1

??

2 ? 1 ? 1?这两数的等比中项是 ?1

?

考点:等比中项 15.2 【解析】
2 2 2 2 ? a ?b ? a ?b ? 2? a ?b 试题分析:由不等式性质 ? 可得 ? ? ? a 2 ? b2 ? 2 ,当且仅当 ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?2? 2 2

a ? b 时等号成立,取得最小值 2
考点:不等式性质 16. x | x ? 1或x ? 2

?

? ? ?

【解析】 试题分析:由函数解析式可知当 x ? 1 时函数单调递增,当 x ? 1 时函数单调递减,所以不等 式 f ? x ? ? f ?1? 的解集为 x | x ? 1或x ? 2 考点:函数单调性 17.(Ⅰ) an ? n ? 2 (Ⅱ) Sn ? 2n?1 ? 2 【解析】 试题分析:(Ⅰ)将已知条件转化为首项和公差表示,解方程组求得基本量,从而得到数量 的通项公式;(Ⅱ)由 a n 可求得数列 式求解 试题解析:设等差数列 的公差为 d , ………………………………2 分 通项公式 bn ? 2an ? 2 ? 2n ,借助于等比数列求和公

?a ? 3 (Ⅰ)根据题意得: ? 1 ?a1 ? 4d ? 7 ?a ? 3 解得 ? 1 ?d ? 1

………………………………4 分

∴ an ? 3 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2
a ?2 (Ⅱ)∵ bn ? 2 n ? 2n

………………………………6 分 ………………………………7 分

∴ b1 ? 2 ,
bn ?1 2n ?1 ? n ?2 bn 2

…………………………………………………………8 分

答案第 3 页,总 7 页

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∴数列 ∴ Sn ?

是公比为 2 等比数列

………………………………9 分 ………………………………12 分

2(1 ? 2n ) ? 2n?1 ? 2 1? 2 考点:等差数列等比数列
18. ?

?a ? ?1 ?b ? ?2

【解析】 试 题 分 析 : 首 先 解 不 等 式 得 到 两 集 合 A,B , 从 而 得 到 A ? B 集 合 , 即 得 到 不 等 式

x 2 ? a x ? b ?0 的解集,结合三个二次关系可求得 a, b 的值
2 试题解析:由 x ? 2 x ? 3 ? 0 解得: ?1 ? x ? 3 ? A ? x ?1 ? x ? 3 · · · ·3 分 2 由 x ? x ? 6 ? 0 解得: ?3 ? x ? 2 ? B ? x ?3 ? x ? 2 · · · · · · · · · · · ·6 分

?

?

?

?

· · · · · · · · · · ·8 分 ? A ? B ? ? x ?1 ? x ? 2? · 即不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 x ?1 ? x ? 2
2

?

?

· · · · · · · · · · ·9 分 ??1, 2 是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两个实数根· 由方程的根与系数关系可得:

??1 ? 2 ? ? a ? ??1? 2 ? b

?a ? ?1 ?? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ?b ? ?2
7 ? 2 10 20

考点:不等式解法及三个二次关系 19. (1)1(2) 【解析】 试题分析: (1)由 2 x ? 5 y ? 20 利用不等式性质 a ? b ? 2 ab 可求得 xy 的最大值,从而得 到 u ? lg x ? lg y 的最大值; (2)将
1 1 1 ?1 1? ? 转化为 ? ? ? ? 2 x ? 5 y ? ,借助于不等式性质 x y 20 ? x y ?

a ? b ? 2 ab 求解最小值
试题解析: (1)∵ 立).3 分 所以 u ? lg x ? lg y ? lg xy ? lg10 ? 1 ∴ u ? lg x ? lg y 的最大值为 1 · · · · · · · · · ·6 分
答案第 4 页,总 7 页

,∴ xy ? 10 , (当且仅当 x=5 且 y=2 时等号成

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(2)∵ 2 x ? 5 y ? 20 ,∴



(当且仅当 分 考点:不等式性质求最值

时等号成立)∴

的最小值为

7 ? 2 10 · · · · · · · · · · · ·12 20

20. (Ⅰ) an ? 2n ? 1(Ⅱ) Tn ? n ? 3

n

【解析】 试题分析: (Ⅰ)将已知条件转化为首项和公差表示,解方程组可得到基本量,从而确定数 列的通项公式; (Ⅱ)首先化简数列 ? 点采用裂项相消法求和 试题解析: (Ⅰ)依题意得

? bn ? n?1 ? 得到 ?bn ? 的通项公式 bn ? (2n ? 1) ? 3 ,结合特 ? an ?

3? 2 4?5 ? d ? 5a1 ? d ? 50 ?3a1 ? 2 2 ? ?(a ? 3d ) 2 ? a (a ? 12d ) 1 1 ? 1
解得 ?

………2 分

?a1 ? 3 , d ? 2 ?

…………4 分

? a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, 即a n ? 2n ? 1 . ………………………6 分
( Ⅱ) 分

bn ? 3 n ?1 , bn ? a n ? 3 n ?1 ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 an

…………………7

Tn ? 3 ? 5 ? 3 ? 7 ? 3 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 3Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 2 ? 7 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 ? (2n ? 1) ? 3 n
……………………9 分

? 2Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 2 ? ? ? 2 ? 3 n ?1 ? (2n ? 1)3 n

3(1 ? 3n ?1 ) ? 3? 2? ? (2n ? 1)3n ? ?2n ? 3n 1? 3
∴ Tn ? n ? 3 n ………………………………12 分

答案第 5 页,总 7 页

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考点:数列求通项公式及数列求和 21. (1)详见解析(2)生产大衣 100 件、生产裤子 200 条时收益最大,最大收益是 28000 元 【解析】 试题分析: (1)设生产大衣 x 条,裤子 y 条,则根据条件建立不等式组,利用不等式组表示 平面区域进行作图.(2)设收益为 z,建立目标函数 z=120x+80y,然后利用线性规划进行求 最值 试题解析:设生产大衣 x 件、生产裤子 y 条.------------------1 分

? x ? y ? 300, ?5 x ? 2 y ? 900, ? ? x ? y ? 600, ? 依题意,则满足的关系为 ? x ? 0, --------------------4 分 ?y ? 0 ? ? x ? N ?, ? ?y ? N ?.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域即可行域.如图阴影部分的整点(横坐标、纵坐标 都是整数的点) 。--------------7 分

(2)设生产大衣 x 件、生产裤子 y 条,可获得最大收益为 z 元,则 目标函数为 z=120x+80y=40(3x+2y).-----------------8 分 作直线 l0 : 3x ? 2 y ? 0 ,并平移, z ? 40(3x ? 2 y) 对应的直线 y ? ?

3 z x ? 过两直线 2 80

? x ? y ? 300 z 的交点 M 时 取得最大,即 z 取得最大, ? 80 ?5x ? 2 y ? 900
联立 ?

? x ? y ? 300 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5x ? 2 y ? 900

? 点 M 的坐标为 (100, 200) .-----------------------------------10 分

? zmax ? 120 ?100 ? 80 ? 200 ? 28000 (元)-------11 分
答:该某服装制造商生产大衣 100 件、生产裤子 200 条时收益最大,最大收益是 28000 元。 --12 分 考点:线性规划的实际应用问题
答案第 6 页,总 7 页

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22. (1) an ? ? ?2 ? 【解析】

n ?1

(2)

1 16

试题分析: (1)根据 S3 , S2 , S4 成等差数列建立等式关系,然后可求出公比 q,根据等比数列 的性质求出通项公式即可; (2)先求出数列 bn 的通项公式,然后利用裂项求和法求出数列

? 1 ? Tn ,利用基本不等式求出不等式右侧的最 ? ? 的前 n 项和 Tn ,将λ 分离出来得 ? ? b b b n ?1 ? n n ?1 ?
大值即可求出所求 试题解析:(1)当 q ? 1 时,由 a1 ? 4 得 S3 ? 12, S2 ? 8, S4 ? 16 , 2S2 ? S3 ? S4 不符合已知条 件,? q ? 1



q ?1



2

a1 ?1 ? q 2 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q3 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q 4 ? 1? q

? 2q2 ? q3 ? q4

? q2 ? q ? 2 ? 0? q ? ?2
? an ? 4 ? ?2 ?
n ?1

? ? ?2 ?

n ?1

(2) bn ? log 2 an ? log 2 ? ?2 ?

n ?1

? n ?1 ?

1 1 1 ? ? bnbn?1 n ? 1 n ? 2

?Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ??? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 2 ? n ? 2?

Tn ? ?bn?1 ?

n n ? ? ? n ? 2? ?? ? 2 2 ? n ? 2? 2 ? n ? 2?
n 1 1 1 4 ? 2 4 ? 4 ,所以 ? ? ? 2 4 n ? ? 2 ? 4 ? 4 ? 16 2 ? n ? 2? 2? n ? ? 4? n ? ?
4 1 1 n 即 n ? 2 时, 取得最大值 ? ? 的最小值为 2 n 16 16 2 ? n ? 2?

? n ? N *, n ?

当且仅当 n ?

考点:函数恒成立问题;等比数列的通项公式;等差数列的性质;数列与不等式的综合

答案第 7 页,总 7 页



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