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数学:2.2《直接证明与间接证明》PPT课件(新人教A版-选修1-2)


直接证明

直接证明(问题情境)
如图,四边形ABCD是平行四边形

求证:AB=CD,BC=DA
证明: 连接AC,因为四边形 ABCD是平行形四边形, 所以
故 因为 所以
AB // CD,BC // DA

?1 ? ?2,?3 ? ?4. AC ? CA ?ABC ? ?CDA



AB=CD,BC=DA.

直接证明
1 概念

直接从原命题的条件逐步推得命题成立
2 直接证明的一般形式:

本题条件? ? 已知定义? ? ? ? ? 本题结论 已知公理? 已知定理? ?

直接证明(学生活动)
思考:在《数学 (必修)》中,我们如 5 何证明 a?b 基本不等式 ab ? (a ? 0, b ? 0) ? 2 证法1 对于正数a,b, 有

( a?

b) ? 0

2

? a ? b ? 2 ab ? 0 ? a ? b ? 2 ab a?b ? ? 2 ab

直接证明
证法2 要证 只要证 只要证 只要证
a?b ab ? 2

2 ab ? a ? b

0 ? a ? 2 ab ? b

0 ? ( a ? b)

2

因为最后一个不等式成立,故结论成立。

直接证明(数学理论)
上述两种证法有什么异同?
相同

都是直接证明 证法1 从已知条件出发,以已知的定义、公理、 定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论 为止 综合法 证法2 从问题的结论出发,追溯导致结论成立的 条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知 条件吻合为止 分析法

不同

综合法

(顺推证法、由因导果法)

利用已知条件和某些数学定义、定理、

公理等,经过一系列的推理论证,最后推导
出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。
条件 定义 定理 公理 推理论证

条件

结论


P

Q1

Q1 Q2

Q2

Q3

Qn

Q

分析法 (逆推证法、执果索因法)
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求 使它成立的充分条件,直至最后,把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等)。
用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: Q P1 P1 P2 P2 P3 … 得到一个明显 成立的条件

【分析法】
要证 ?? 只需证 ??

格 式

只需证 ??
??显然成立

所以 结论成立

例3、已知SA ? 平面ABC, AB ? BC, 过A作SB的垂线, 垂足为E, 过E作SC的垂线,垂足为F .求证:AF ? SC.
S F

EF ? SC
A

E C B

AE ? SB BC ? AB

直接证明
综合法和分析法的推证过程如下: 综合法
已知条件

????? 结论

分析法
结论

?????已知条件

直接证明(例题)
例1 如图,已知AB,CD交于点O,?ACO ? ?BDO, AE ? BF,求证:CE ? DF.

直接证明
证 (综合法) 因为

?ACO ? ?BDO
所以 因为 所以 又因为 所以 所以

CO ? DO
EO ? FO

AO ? BO

AE ? BF(已知)

?EOC ? ?FOD(对顶角相等)
?EOC ? ?FOD EC ? FD

证 (分析法)要证明CE=DF,只需证明 ?EOC ? ?FOD 为此只需证明 ?CO ? DO ? ??EOC ? ?FOD ? EO ? FO ? 为了证明 CO ? DO 只需 ?ACO ? ?BDO 为了证明 EO ? FO

直接证明
综合法

分析法 解题方向比较明确,
利于寻找解题思路; 条理清晰,易于表述。
通常以分析法寻求 思路,再用综合法有条理地 表述解题过程

AE ? BF) 只需证明 AO ? BO(因为已知 也只需 ?ACO ? ?BDO (已知)

因为 ?EOC与?FOD是对顶角,所以它们相等,从而 ?EOC ? ?FOD 成立,因此命题成立.

直接证明(练习)
1 1. 若a ? 0, b ? 0, 求证:a ? b ? ? 2 2. ab

直接证明(练习)
a?b 2. 若 a ? 1, b ? 1, 求证: ? 1. 1 ? ab 证 a?b ? a ?1 b ?1 ?1 要证 2 2 1 ? ab ? a ? 1 b ?1 2 只需证明 ? a ? b ? ? 1 2 2 ? ? ? a ? 1 ? 0 , b ?1 ? 0 ? 1 ? ab ?

?

? ?

?

只需证明 只需证明

?a ? b?
2

2

? (1 ? ab)
2

2

因此 (a ? 1)(b ? 1) ? 0

2

2

(a ?1)(b ?1) ? 0 所以原命题成立.

直接证明
?B ? 90? 3.△ABC三边长 a, b, c 的倒数成等差数列,求证:

证明:

cos B ?

.

2ac ? b 2 ? 2ac b2 ? 1? 2ac

a 2 ? c 2 ?b 2 2 ac

因为a,b,c为△ABC三边 所以 a + c > b
b 1? ?0 a?c

b2 ? 1? b(a ? c) b ? 1? a?c

所以 因此

cosB>0
?B ? 90?

直接证明(回顾小结)
概念
分析法 解题方向比较明确, 综 分 合 析 法 法 综合法
利于寻找解题思路; 条理清晰,易于表述。

通常以分析法寻求

思路,再用综合法有条理地
表述解题过程

小结:
1.分析法的概念; 2.分析法的基本思路:执果索因;

3.注意分析法的格式.


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