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创新设计2016


2.2.2

指数函数(一)

课时目标 1.理解指数函数的概念, 会判断一个函数是否为指数函数.2.掌握指数函数 的图象和性质.

1.指数函数的概念 一般地,______________________叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 ____. x 2.指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 过定点 性 质 函数值 的变化 单调性 R (0,+∞) 过点______,即 x=____时,y=____ 当 x>0 时,______; 当 x<0 时,________ 是 R 上的________ 当 x>0 时,________; 当 x<0 时,________ 是 R 上的________

一、填空题 1.下列以 x 为自变量的函数中,是指数函数的是______.(填序号) x x x x+2 ①y=(-4) ;②y=π ;③y=-4 ;④y=a (a>0 且 a≠1). 2 x 2.函数 f(x)=(a -3a+3)a 是指数函数,则 a 的值为________. |x| 3.函数 y=a (a>1)的图象是________.(填序号)

4.已知 f(x)为 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=3 ,那么 f(2)=________.

x

1

5.如图是指数函数 x ①y=a ; x ②y=b ; x ③y=c ; x ④y=d 的图象,则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是________. 1 x 6.函数 y=( ) -2 的图象必过第________象限. 2 x 7.函数 f(x)=a 的图象经过点(2,4),则 f(-3)的值为____. x 8.若函数 y=a -(b-1)(a>0,a≠1)的图象不经过第二象限,则 a,b 需满足的条件为 ________. 3-x 9.函数 y=8-2 (x≥0)的值域是________. 二、解答题 10.比较下列各组数中两个值的大小: -1.5 -1.7 (1)0.2 和 0.2 ;

? 1 ?3 ? 1 ?3 (2) ? ? 和 ? ? ; ?4? ?4?
(3)2
-1.5

1

2

和3 .

0.2

11.2000 年 10 月 18 日,美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息:“市政委员 3 会今天宣布:本市垃圾的体积达到 50 000 m ”,副标题是:“垃圾的体积每三年增加 3 一倍”.如果把 3 年作为垃圾体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾的体积 V(m )与 垃圾体积的加倍的周期(3 年)数 n 的关系的表格,并回答下列问题. 3 周期数 n 体积 V(m ) 0 0 50 000×2 1 50 000×2 2 2 50 000×2 ? ? n n 50 000×2 (1)设想城市垃圾的体积每 3 年继续加倍,问 24 年后该市垃圾的体积是多少? (2)根据报纸所述的信息,你估计 3 年前垃圾的体积是多少? (3)如果 n=-2,这时的 n,V 表示什么信息? (4)写出 n 与 V 的函数关系式,并画出函数图象(横轴取 n 轴). (5)曲线可能与横轴相交吗?为什么?

2

能力提升 12. 定义运算 a⊕b=?
? ?a?a≤b? ? ?b?a>b?

, 则函数 f(x)=1⊕2 的图象是________. (填序号)

x

13.定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足对任意的实数 x,y 都有 f(x )=yf(x). (1)求 f(1)的值; 1 (2)若 f( )>0,解不等式 f(ax)>0.(其中字母 a 为常数). 2

y

1. 函数 y=f(x)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称; 函数 y=f(x)与函数 y=-f(x) 的图象关于 x 轴对称;函数 y=f(x)与函数 y=-f(-x)的图象关于原点对称. 2.函数图象的平移变换是一种基本的图象变换.一般地,函数 y=f(x-a)的图象可由 函数 y=f(x)的图象向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位得到. 2.2.2 指数函数(一) 知识梳理 x 1.函数 y=a (a>0,且 a≠1) R 2.(0,1) 0 1 y>1
3

0<y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数 作业设计 1.② 解析 ①中-4<0,不满足指数函数底数的要求,③中因有负号,也不是指数函数,④ 2 x x 中的函数可化为 y=a ·a ,a 的系数不是 1,故也不是指数函数. 2.2 解析 由题意得?
? ?a -3a+3=1, ? ?a>0且a≠1,
2

解得 a=2. 3.② x 解析 该函数是偶函数.可先画出 x≥0 时,y=a 的图象,然后沿 y 轴翻折过去,便得 到 x<0 时的函数图象. 1 4.- 9 -x 解析 当 x>0 时,-x<0,∴f(-x)=3 , 1 x 即-f(x)=( ) , 3 1 x ∴f(x)=-( ) . 3 1 2 1 因此有 f(2)=-( ) =- . 3 9 5.b<a<1<d<c 解析 作直线 x=1 与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1,a)、(1,b)、(1,c)、 (1,d),由图象可知纵坐标的大小关系. 6.二、三、四 1 x 1 x 解析 函数 y=( ) 的图象上所有的点向下平移 2 个单位, 就得到函数 y=( ) -2 的图 2 2 1 x 象,所以观察 y=( ) -2 的图象可知. 2 1 7. 8 1 2 -3 解析 由题意 a =4,∴a=2.f(-3)=2 = . 8 8.a>1,b≥2 x x 解析 函数 y=a -(b-1)的图象可以看作由函数 y=a 的图象沿 y 轴平移|b-1|个单 x 位得到.若 0<a<1,不管 y=a 的图象沿 y 轴怎样平移,得到的图象始终经过第二象限; x x 当 a>1 时,由于 y=a 的图象必过定点(0,1),当 y=a 的图象沿 y 轴向下平移 1 个单位 后, 得到的图象不经过第二象限. 由 b-1≥1, 得 b≥2.因此, a, b 必满足条件 a>1, b≥2. 9.[0,8) 1 x 3-x 3 -x 解析 y=8-2 =8-2 ·2 =8-8·( ) 2 1 x =8[1-( ) ]. 2 1 x 1 x ∵x≥0,∴0<( ) ≤1,∴-1≤-( ) <0, 2 2 1 x 从而有 0≤1-( ) <1,因此 0≤y<8. 2 x 10.解 (1)考察函数 y=0.2 . 因为 0<0.2<1,
4

所以函数 y=0.2 在实数集 R 上是单调减函数. -1.5 -1.7 又因为-1.5>-1.7,所以 0.2 <0.2 . 1 x 1 (2)考察函数 y=( ) .因为 0< <1, 4 4 1 x 所以函数 y=( ) 在实数集 R 上是单调减函数. 4 1 2 ? 1 ?3 ? 1 ?3 又因为 < ,所以 ? ? > ? ? 1. 3 3 ?4? ?4? (3)2 <2 ,即 2 <1;3 <3 , 0.2 -1.5 0.2 即 1<3 ,所以 2 <3 . 11.解 (1)由于垃圾的体积每 3 年增加 1 倍,24 年后即 8 个周期后,该市垃圾的体积 8 3 是 50 000×2 =12 800 000(m ). -1 3 (2)根据报纸所述的信息,估计 3 年前垃圾的体积是 50 000×2 =25 000(m ).
-1.5 0 -1.5 0 0.2

x

1

2

(3)如果 n=-2,这时的 n 表示 6 年前,V 表示 6 年前垃圾的体积. n (4)n 与 V 的函数关系式是 V=50 000×2 ,图象如图所示. n n (5)因为对任意的整数 n,2 >0,所以 V=50 000×2 >0,因此曲线不可能与横轴相交. 12.① ?1, x≥0; ? x 解析 由题意 f(x)=1⊕2 =? x ?2 , x<0. ? 13.解 (1)令 x=1,y=2,可知 f(1)=2f(1),故 f(1)=0. 1 s 1 t (2)设 0<x1<x2,∴存在 s,t 使得 x1=( ) ,x2=( ) , 2 2 1 且 s>t,又 f( )>0, 2 1 s 1 t ∴f(x1)-f(x2)=f[( ) ]-f[( ) ] 2 2 1 1 1 =sf( )-tf( )=(s-t)f( )>0, 2 2 2 ∴f(x1)>f(x2). 故 f(x)在(0,+∞)上是减函数. 又∵f(ax)>0,x>0,f(1)=0, ∴0<ax<1, 当 a=0 时,x∈?, 1 当 a>0 时,0<x< ,

a

1 当 a<0 时, <x<0,不合题意.故 x∈?.

a

综上:a≤0 时,x∈?;

a>0 时,不等式解集为{x|0<x< }. a

1

5


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