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1[1].2.1任意角的三角函数(第一课时)(数学人教A必修4)


1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)
一、三维目标: 1、知识与技能 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号)(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; ; (3)了解如何利用与单位圆有关 的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出 来; (4)掌握并能初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变 量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个 定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意 角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数 的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法, 巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用 角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角 的三角函数的推广,有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数,但它对准确把 握三角函数的本质有一定的不利影响, “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的 一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算才能得到, 这与函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正 弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一). 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正 弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这 两个函数之间的关系. 另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数形结合更加紧密, 这就为后续内容的学习带来方便,也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时 任意角的三角函数(一) 【创设情境】 y 提问:锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示? 借助右图直角三角形,复习回顾. 引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。 O

P (a, b) r
?

M

数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那 么它的终边在第一象限.在 ? 的终边上任取一点 y
P ( a , b ) ,它与原点的距离 r ?

a ?b
2

2

? 0 .过 P 作

a的终边
P(x,y)

x 轴的垂线,垂足为 M ,则线段 O M 的长度为 a ,线

段 M P 的长度为 b .则 s in ? ?
cos ? ? OM OP ? a r

MP OP

?

b r

;
? b a

;

ta n ? ?

MP OM

O .

x

思考:对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点 P 在 ? 的终边上的位置的改变而改变呢? 显然,我们可以将点取在使线段 O P 的长 r ? 1 的 特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:
s in ? ? MP OP ?b ; cos ? ? OM OP ? a ; ta n ? ? MP OM ? b a

.

思考:上述锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后, 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究这个 问题――任意角的三角函数. 【探究新知】 1.探究:结合上述锐角 ? 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后就可以类似锐 角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原 点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x , y ) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦(sine),记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦(cossine),记做 co s ? ,即 co s ? ? x ; (3)
y x

叫做 ? 的正切(tangent),记做 ta n ? ,即 ta n ? ?

y x

( x ? 0) .

注意:当α 是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在) ;当α 不是 锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交 点 P ( x , y ) ,从而就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角 函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们 只需计算点到原点的距离 r ?
y x

x ? y ,那么 s in ? ?
2 2

y x ? y
2 2

, cos ? ?

x x ? y
2 2

,

ta n ? ?

.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函

数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自 变量的函数. 4.例题讲评 例 1.求
5? 3

的正弦、余弦和正切值.

例 2.已知角 ? 的终边过点 P0 ( ? 3, ? 4 ) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法: 如例 2:设 x ? ? 3, y ? ? 4, 则 r ? 于是 s in ? ?
y r ? ? 4 5
( ? 3) ? ( ? 4 ) ? 5 .
2 2

, cos ? ?

x r

? ?

3 5

, ta n ? ?

y x

?

4 3

.

5.巩固练习 P1 7 第 1,2,3 题 6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再 将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中: 定义域 三角函数 角度制
sin ?

第一象限 弧度制

第二象限

第三象限

第四象限

co s ?
ta n ?

7.例题讲评 例 3.求证:当且仅当不等式组 {
s in ? ? 0 ta n ? ? 0

成立时,角 ? 为第三象限角.

8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin (? ? 2 k ? ) ? sin ? co s(? ? 2 k ? ) ? co s ? tan (? ? 2 k ? ) ? tan ?

(其中 k ? Z )

9.例题讲评 例 4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1) c o s 2 5 0 ;
?

(2) s in ( ?

?
4

);

(3) tan ( ? 6 7 2 ) ; (4) tan 3?

?

例 5.求下列三角函数值:
?

(1) sin 1 4 8 0 1 0 ; (2) c o s

'

9? 4

; (3) ta n ( ?

1 1? 6

)

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求 0 到 2 ? (或 0 到 3 6 0 )角的三角 函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习 P1 7 第 4,5,6,7 题 11.学习小结 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域; (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 五、评价设计 1.作业:习题 1.2 A 组第 1,2 题. 2.比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应 用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.

?

?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m



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