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2015年广东省高考数学试卷(理科)


2015 年广东省高考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分) (2015?广东)若集合 M={x|(x+4) (x+1)=0},N={x|(x﹣4) (x﹣1)=0},则 M∩ N=( ) A.{1,4} B.{﹣1,﹣4} C.{0} D.? 2. (5 分) (2015?广东)若复数 z=i(3﹣2i) (i 是虚数单位) ,则 =( ) A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i 3. (5 分) (2015?广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) x A. B. C.y=2x+ D.y=x+e y= y=x+

4. (5 分) (2015?广东)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个 红球.从袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为( ) A. B. C. D.1

5. (5 分) (2015?广东)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x +y =5 相切的直线的方程是( A.2x+y+5=0 或 2x+y﹣5=0 B. 2x+y+ =0 或 2x+y﹣ =0 C. 2x﹣y+5=0 或 2x﹣y﹣5=0 D.2x﹣y+ =0 或 2x﹣y﹣ =0

2

2



6. (5 分) (2015?广东) 若变量 x, y 满足约束条件 A.4 B. C.6

, 则 z=3x+2y 的最小值为 ( D.



7. (5 分) (2015?广东)已知双曲线 C: 则双曲线 C 的方程为( ) A. B. ﹣ =1 ﹣ =1



=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0) ,

C. ﹣ =1

D. ﹣ =1

8. (5 分) (2015?广东)若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值( A.至多等于 3 B.至多等于 4 C.等于 5 D.大于 5



1

二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题 (11~13 题) 9. (5 分) (2015?广东)在( ﹣1) 的展开式中,x 的系数为
4

. .

10. (5 分) (2015?广东) 在等差数列{an}中, 若 a3+a4+a5+a6+a7=25, 则 a2+a8= 11. (5 分) (2015?广东) 设△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 a= C= ,则 b= .

, sinB= ,

12. (5 分) (2015?广东)某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留 言,那么全班共写了 条毕业留言. (用数字作答) 13. (5 分) (2015?广东)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n,p) ,若 E(X)=30,D(X) =20,则 P= . 14. (5 分) (2015?广东)已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin(θ﹣ 为 A(2 , ) ,则点 A 到直线 l 的距离为 . )= ,点 A 的极坐标

15. (2015?广东)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,AB=4,EC 是圆 O 的切线,切点为 C, BC=1.过圆心 O 作 BC 的平行线,分别交 EC 和 AC 于 D 和点 P,则 OD= .

三、解答题 16. (12 分) (2015?广东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 =( cosx) ,x∈(0, ) . ,﹣ ) , =(sinx,

(1)若 ⊥ ,求 tanx 的值; (2)若 与 的夹角为 ,求 x 的值.

17. (12 分) (2015?广东)某工厂 36 名工人年龄数据如图: 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄

工人编号 年龄

2

1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 (1) 用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本, 且在第一分段里用随机抽样法抽到 的年龄数据为 44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的均值 和方差 s ; (3)36 名工人中年龄在 ﹣s 和 +s 之间有多少人?所占百分比是多少(精确到 0.01%)? 18. (14 分) (2015?广东)如图,三角形△ PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直, PD=PC=4, AB=6, BC=3, 点 E 是 CD 的中点, 点 F、 G 分别在线段 AB、 BC 上, 且 AF=2FB, CG=2GB. (1)证明:PE⊥ FG; (2)求二面角 P﹣AD﹣C 的正切值; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.
2

19. (14 分) (2015?广东)设 a>1,函数 f(x)=(1+x )e ﹣a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明 f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点; (3)若曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 M(m,n)处的切线与直线 OP 平行, (O 是坐标原点) ,证明:m≤ ﹣1.

2

x

20. (14 分) (2015?广东)已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x +y ﹣6x+5=0 相交于不同的两 点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x﹣4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 21. (14 分) (2015?广东)数列{an}满足:a1+2a2+…nan=4﹣ (1)求 a3 的值; (2)求数列{an}的前 n 项和 Tn;
3

2

2

,n∈N .

+

(3)令 b1=a1,bn= Sn<2+2lnn.

+(1+ + +…+ )an(n≥2) ,证明:数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足

4


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