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河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题 文


石家庄市第一中学 2015—2016 学年第二学期期中考试高一年级数 学文科试题
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合 题目要求的。 1.设集合 A={4,5,7,9} ,B={3,4,7,8,9} ,全集 U=A ? B,则集合 ? U ( A ? B) 中 的元素共有 A.3 个 B. 4 个 C.5 个 D.6 个

2.函数 f ( x ) ?

1

? log 2 x ?

2

的定义域为

?1

? 1? A.?0, ? ? 2?

B.(2,+∞)

? 1? ? 1? C. ?0, ?∪(2,+∞) D. ?0, ?∪[2,+∞) ? 2? ? 2?

3.已知 a ? b ? 0, 且 a ? 0, 则 A.? ab ? b 2 ? a 2 A. ?8 4.在等比数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 4, a6 ? 16 则 a 4 ? B. 8
1 ? 2

B.b 2 ? ?ab ? a 2

C.a 2 ? b 2 ? ?ab C. ? 8

D. a 2 ? ?ab ? b 2 D.不确定

5. 设 a ? log3 2 , b ? ln 2 , c ? 5 A. a ? b ? c B. b ? c ? a

则 C. c ? a ? b D. c ? b ? a

6. 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2x ? cos 2x ,若 f ( x ? ? ) 为偶函数, 则 ? 的一个值为 A.

?
6

B.

? 4

C.

? 3

D.

?
2

7.如图,一个几何体的三视图为两个等腰直角三角形和一个边长为 1 的正方形,则其外接球的表面积为 A.π B.2π C.3π D. 4π

? x ? 2y ? 2 ? 8 . 已 知 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? 2 x ? y ? 4 , 则 目 标 函 数 ? 4 x ? y ? ?1 ?
z ? 3x ? y 的取值范围是
1

A. [ ?6, ]

3 2

B. [ ?

3 , ?1] 2

C. [?1, 6]

D. [ ?

3 , 6] 2

→ 1→ → → 9. 在边长为 1 的正三角形 ABC 中,BD= BA,E 是 CA 的中点,则CD·BE= 3 1 A.- 2 2 B. - 3 1 C.- 3 1 D.- 6

10. 如图, 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E ,F 分别为棱 AB , CC1 的中点,在平面 ADD1 A 1 内且与平面 D 1EF 平行的直线 A.不存在 B.有 1 条 C.有 2 条 D.有无数条

11.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x), f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且 x ? (?1, 0) 时,

f ( x) ? 2x 则 f (log2 20) ?
2

A. 1
2

B.

4 5

C. ?1

D. ?

4 5

12.设正实数 x, y , z 满足 x ? xy ? y ? z ? 0 .则当

2 1 1 xy 取得最大值时, ? ? 的最 z x y z
C.

大值为

A.0

B.1

9 4

D.

9 8

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. cos 600? ? __ * * . 14.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 13 , 3a2 ? 11a6 ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 的最大值 为___ * * . * . 15.已知不等式 | a ? 2 x |? x ? 1 ,对任意 x ??1, 2? 恒成立,则 a 的取值范围为* 16.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ?

2 , BC ? AA1 ? 1 ,点 P 为对角线 AC1 上

Q 可以重合) 的动点, 点 Q 为底面 ABCD 上的动点 (点 P , , 则 B1P ? PQ 的最小值为__ .
三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤。 17. (本小题满分 10 分) 已知正四棱锥 P-ABCD 如图.
2

(Ⅰ)若其正视图是一个边长分别为、的等腰三角形,求其表面积 S、体积 V; (Ⅱ)设 AB 中点为 M,PC 中点为 N,证明:M N//平面 PAD.

18 . (本小题满分 12 分) △AB C 的内角 A,B,C 所对 的边分别为 a,b,c. (Ⅰ)若 a,b,c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2sin( A ? C ) ; (Ⅱ)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值.

19.( 本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的各项均为正数,前 n 项和为 S n ,且 S n ? (Ⅰ)求证数列 ?an ? 是等差数列; (Ⅱ)设 bn ?

a n (a n ? 1) (n ? N * ), 2

1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn , 求 Tn . Sn

20. (本小题满分 12 分) 已 知 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 面

A1 B1 C1 中心为 D1 O1 .
(Ⅰ)求证: DO1 / / 面 AB1C ; (Ⅱ)求异面直线 DO1 与 B1C 所成角.

21. (本小题满分 12 分)
2 已知 f ( x) ? 3 sin(? x) ? 2sin

?x
2

(? ? 0) 的最小正周期为 3? .

(Ⅰ)当 x ? [

? 3?
2 , 4

] 时,求函数 f ( x) 的最小值;

3

(Ⅱ)在 ?ABC ,若 f (C ) ? 1 ,且 2sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C) ,求 sin A 的值. 22. (本小题 满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ,数列 {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

4

石家庄市第一中学 2015 级高一级部第二学期第三次学情反馈数学文科试题答案 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、 选择题:1-5ACDBC 6-10CCDAD 11-12DC

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ?

1 2

14. 49

15.

16.

三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤。 17. 解: (1)设 CD 中点为 E,则正四棱锥的正视图为三角形 PME. 依题意,, 故几何体的表面积 S=, 体积 V=. (2)设 PD 中点为 F,连接 NF,AF. 则 NF 为三角形 PCD 的中位线,故, ,故,四边形 MNFA 为平行四边形, ,平面 PAD,平面 PAD,故 MN//平面 PAD.

18. 解:(1)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). 2 (2)∵a,b,c 成等比数列,∴b =ac. 由余弦定理得 cos B=

a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 = ≥ = , 2ac 2ac 2ac 2

当且仅当 a=c 时等号成立, 1 ∴cos B 的最小值为 . 2
5

19. 解: (Ⅰ) ② ①-②得:整理得:



数列的各项均为正数, 时,数列是首项为公差为的等差数列 (Ⅱ)由第一问得 12 分 20. (Ⅰ)证明:连结,设,连结,则四边形为平行四边形, ∴ 又∵ , ∴ 面.……6 分 5分

(2)解:由(1)可知,为异面直线与所成角(或其补角) , 设正方体的边长 2,则在中,,,, ∴ 为直角三角形,∴ .……6 分

21. 解:∵ ,………2分 由得,∴. (Ⅰ)由得, ∴当时,.………6分 ………4分

6

(Ⅱ)由及,得, 而, 所以,解得.………8分 在中,∵,, ∴, ∴,解得. ∵,∴. 22. 解: (Ⅰ) :当 ………………12分 ………………10分

故{an}的通项公式为的等差数列. 设{bn}的通项公式为 故 (II)

两式相减得

7


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