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三角题


三角函数专题练习 一、选择题: 1.若 1 弧度的圆心角所对的弦长等于 2,则这个圆心角所对的弧长等于 ( ). 1 A.sin 2 C. 1 1 sin 2 π B.6 1 D.2sin 2 ).

2.θ 是第二象限角,则下列选项中一定为正值的是( θ A.sin 2 C.tan θ 2 θ B.cos 2 D.cos 2θ

3π 3π? ? 3.已知点 P?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为 ? ? ( ). π A.4 5π C. 4 3π B. 4 7π D. 4

4.(2014· 杭州模拟)已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α>0,则实数 a 的取值范围是( A.(-2,3] C.[-2,3) 5.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所在半径的大小无 关; ④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是( ).
1

). B.(-2,3) D.[-2,3]

A.1 C.3

B.2 D.4 ).

?π ? 1 ?2π ? 6.若 sin?6-α?=3,则 cos? 3 +2α?等于( ? ? ? ? 7 A.-9 1 C.3 1 B.-3 7 D.9

?π ? 7.(2014· 衡水质检)已知 α 为锐角,且 2tan(π-α)-3cos?2+β?+5=0,tan(π ? ? +α)+6sin(π+β)=1, 则 sin α 的值是( 3 5 A. 5 3 10 C. 10 ). 3 7 B. 7 1 D.3 ).

?π ? 3 8.(2013· 山东省实验中学诊断)已知 cos?4-x?=5,则 sin 2x=( ? ? 18 A.25 7 C.-25 7 B.25 16 D.-25

sin 2α-2cos2α π? 1 π ? 9.(2013· 金华十校模拟)已知 tan?α+4?=-2,且2<α<π,则 π? ? ? ? sin?α-4? ? ? 等于( ). 3 5 B.- 10 3 10 D.- 10 ).

2 5 A. 5 2 5 C.- 5

10.(2012· 辽宁卷)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A.-1 2 C. 2 2 B.- 2 D.1

π? 4? 11.(2013· 东北三校模拟)已知 sin θ+cos θ=3?0<θ<4?,则 sin θ-cos θ 的 ? ?
2

值为(

). 2 B.- 3 1 D.-3

2 A. 3 1 C.3

π? π? 2 ? ? 12.(2014· 广州模拟)已知 cos4 α-sin4 α=3,且 α∈?0,2?,则 cos?2α+3?= ? ? ? ? ________. π 13. 已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称, 且 β=-3, 则 sin α 等于( 3 A.- 2 1 C.-2 3 B. 2 1 D.2 ). ).

14.(2014· 郑州模拟) 1-2sin?π+2?cos?π-2?=( A.sin 2-cos 2 C.± (sin 2-cos 2) 15.若 3sin α+cos α=0,则 10 A. 3 2 C.3
2

B.sin 2+cos 2 D.cos 2-sin 2 1 的值为( cos α+sin 2α 5 B.3 D.-2 ).

16.若 sin α 是 5x2-7x-6=0 的根,则 3π? ?3π ? ? sin?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan2?2π-α? ? ? ? ? =( ?π ? ?π ? cos?2-α?cos?2+α?sin?π+α? ? ? ? ? 3 A.5 4 C.5

).

5 B.3 5 D.4

π? ? 17.(2013· 潍坊模拟)已知 α,β∈?0,2?,满足 tan(α+β)=4tan β,则 tan α ? ? 的最大值是( ).
3

1 A.4 3 C.4 2

3 B.4 3 D.2

?π ? 18.(2013· 成都五校联考)已知锐角 α 满足 cos 2α=cos?4-α?,则 sin 2α 等于 ? ? ( ). 1 A.2 1 B.-2 2 C. 2 2 D.- 2 5 3 ,sin(α+β)= , 5 5

19.(2013· 东北三校联考)设 α,β 都是锐角,且 cos α= 则 cos β=( A. 2 5 25 ). B. 2 5 5 5 2 5 D. 5 或 25

2 5 2 5 C. 25 或 5 二、填空题

1.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 2 5 终边上一点,且 sin θ=- 5 ,则 y=______. 2 2. 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= 4 m,试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值. 3.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A, 4 点 A 的纵坐标为5,则 cos α=____. 4.函数 y= 2cos x-1的定义域为________. π ?π ? 1 5 . (2013· 江南十校第一次考试 ) 已知 sin ?12-α? = 3 ,且- π < α <- 2 ,则 ? ? ?π ? cos?12-α?=________. ? ? 6.已知一扇形的圆心角为 α(α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C(C>0), 当 α 为多少弧度时, 该扇形有最大面积?

4

7.

(1)一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,那么

扇形的圆心角是多少弧度?扇形的面积是多少? (2)一扇形的周长为 20 cm;当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时,这个扇形的 面积最大? 8.试写出终边在直线 y=- 3x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式- 180° ≤α<180° 的元素 α 写出来. 9.(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (2)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和 弦长 AB. 10. (2012· 山东卷)如图,

在平面直角坐标系 xOy 中, 一单位圆的圆心的初始位置在(0,1), 此时圆上一 →的 点 P 的位置在(0,0), 圆在 x 轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP 坐标为________. 11.已知圆 O:x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为 M,点 M 沿圆 O 顺时针运 π 动2弧长到达点 N,以 ON 为终边的角记为 α,则 tan α=( 12 .若角 α 的终边落在直线 x + y = 0 上,则 ________. 13.(2014· 烟台期末考试)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重 合,终边经过点 P( 3,-1). (1)求 sin 2α-tan α 的值; 2π? ? (2)若函数 f(x)=sin 2x· cos α+cos 2x· sin α,求 f(x)在?0, 3 ?上的单调递增区 ? ? 间. ).

1-cos2α sin α + cos α = 1-sin2 α

2sin α-3cos α 14.(1)已知 tan α=2,则 =___ 4sin α-9cos α
5

4sin2 α-3sin αcos α-5cos2α=________. 1 π π 15.(2014· 山东省实验中学诊断)已知 sin θ· cos θ=8,且4<θ<2,则 cos θ- sin θ 的值为________. 规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用,对于 sin α+cos α,sin α-

cos α,sin αcos α 这三个式子,利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α 可以知一求 二. (2)关于 sin α,cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. 16. 1 (1)已知 sin α+cos α= ,0<α<π,则 tan α=______. 5

(2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α=________. 11.sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° ) =________.
2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? ? 23π?= 17.设 f(α)= (1+2sin α≠0),则 f?- ? π 3 π ? 6 ? ? ? 2 2? ? + α + α 1+sin α+cos? ?-sin ? 2 ? ?2 ?

18.

(1)sin(-1 071° )sin 99° +sin(-171° )sin(-261° )+

tan(-1 089° )tan(-540° )=________. 3π? ? tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ? (2)化简: =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α? 19.sin21° +sin22° +?+sin290° =________. ?π ? 1 ?π ? 20. (1)已知 sin?3-α?=2,则 cos?6+α?=______; ? ? ? ? 3 ?π ? ?5 ? (2)已知 tan?6-α?= 3 ,则 tan?6π+α?=________. ? ? ? ? 11π? ?7π ? 2 ? 21. (1)已知 sin?12+α?= ,则 cos?α- 12 ?=________; ? ? 3 ? ? 1 (2)若 tan(π+α)=-2,则 tan(3π-α)=________. 22. π? 4 ? (2012· 江苏卷)设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 ? ?

π? ? sin?2α+12?的值为________. ? ?

6

π? 1 1 ? 23.已知 cos α=3,cos(α+β)=-3,且 α,β∈?0,2?,则 cos(α-β)的值为 ? ? ________. 24. .化简: sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] (k∈Z). sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α?

1 25.已知在△ABC 中,sin A+cos A=5. (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 考点一 三角函数的定义域、值域问题 6cos4 x+5sin2x-4 ,求 f(x)的定义域和值 cos 2x

1. (2014· 广州模拟)已知函数 f(x)= 域. 2.

(1)函数 y= sin x-cos x的定义域为________.

?π 7π? (2)当 x∈?6, 6 ?时, 函数 y=3-sin x-2cos2x 的最小值是________, 最大值 ? ? 是________. 3.函数 y=lg(sin x)+ 1 cos x-2的定义域为________.

π?? π π? ? 4.(1)求函数 y=2sin ?2x+3??-6<x<6?的值域; ? ?? ? (2)求函数 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域. sin x+1 5.函数 y= sin x (0<x<π)的最小值为________.

x ? ? 6.(2013· 荆门调研)已知函数 f(x)=a?2cos22+sin x?+b. ? ? (1)若 a=-1,求函数 f(x)的单调增区间; (2)若 x∈[0,π]时,函数 f(x)的值域是[5,8],求 a,b 的值和单调区间,对称 轴方程。 7. 1? ? (12 分)(2013· 陕西卷)已知向量 a=?cos x,-2?,b=( 3sin x, ? ?
7

cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a· b. (1)求 f(x)的最小正周期; π? ? (2)求 f(x)在?0,2?上的最大值和最小值. ? ? π? ? ? π? ? π? 8.已知函数 f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4?. ? ? ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴; ? π π? (2)求函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域. ? ? 考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性 ).

? π? 1.函数 y=2cos2?x-4?-1 是( ? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为2的奇函数 π D.最小正周期为2的偶函数

3π? ? 2.已知函数 f(x)=sin?2x+ 2 ?(x∈R),下面结论错误的是( ? ? A.函数 f(x)的最小正周期为 π B.函数 f(x)是偶函数 π C.函数 f(x)的图象关于直线 x=4对称 π? ? D.函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ?

).

?4π ? 3.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小 ? ? 值为( π A.6 π C.3 ). π B.4 π D.2

π? 2π ? 4. (2014· 南昌联考)已知函数 f(x)=sin ?ωx+6?-1(ω>0)的最小正周期为 3 , ? ?

8

则 f(x)的图象的一条对称轴方程是( π A.x=9 π C.x=3

). π B.x=6 π D.x=2

? ? π π?? 5. 已知函数 f(x)=sin(x+θ)+ 3cos(x+θ)?θ∈?-2,2??是偶函数, 则 θ 的值 ? ? ?? 为( ). A.0 π C.4 π B.6 π D.3

6.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:当 sin x≤cos x 时,f(x)=cos x,当 sin x >cos x 时,f(x)=sin x. 给出以下结论: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的最小值为-1; ③当且仅当 x=2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值; π ④当且仅当 2kπ-2<x<(2k+1)π(k∈Z)时,f(x)>0; ⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2π. 其中正确的结论序号是________. 考点三 ⒈ 三角函数的单调性

(2014· 临沂月考)设函数 f(x)=sin(-2x+φ)(0<φ<π), y=f(x)图象的一条

π 对称轴是直线 x=8. (1)求 φ; ⒉ (2)求函数 y=f(x)的单调区间. ?sin x-cos x?sin 2x . sin x

(2012· 北京卷)已知函数 f(x)=

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间. ⒊(2014· 济南调研)已知 f(x)=sin2 x+sin xcos x,则 f(x)的最小正周期和一个 单调增区间分别为( ).
9

A.π,[0,π] ? π 3π? C.π,?-8, 8 ? ? ? 考点四 三角函数的对称性

? π 3π? B.2π,?-4, 4 ? ? ? ? π π? D.2π,?-4,4? ? ?

?π ? ⒈ (2014· 三明模拟 ) 已知函数 f(x) = 2sin(ωx + φ) 对任意 x 都有 f ?6+x? = ? ? ?π ? ?π? f?6-x?,则 f?6?等于( ? ? ? ? A.2 或 0 C.0 ). B.-2 或 2 D.-2 或 0

π ⒉已知函数 f(x)=3sin(ωx-6)(ω>0)和 g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心 π? ? 完全相同,若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是______. ? ? ωx ωx ⒊(2013· 安徽师大附中模拟)设 ω>0,m>0,若函数 f(x)=msin 2 cos 2 在 ? π π? 区间?-3,3?上单调递增,则 ω 的取值范围是( ? ? 2? ? A.?0,3? ? ? ?3 ? C.?2,+∞? ? ? ).

3? ? B.?0,2? ? ? D.[1,+∞)

? π π? ⒋已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间?-3,4?上的最小值是-2, 则 ω 的最 ? ? 小值等于( 2 A.3 C.2 ). 3 B.2 D.3

π? π ? ⒌(2013· 长沙一模)若函数 f(x)=sin?ωx+3?的图象向右平移3个单位后与原函 ? ? 数的图象关于 x 轴对称,则 ω 的最小正值是( 1 A.2 B.1 C.2 D.3 ).

⒍.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与直线 y=b(0
10

< b < A) 的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8 ,则 f(x) 的单调递增区间是 ________. π ⒎.当 x=4时,函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,-π<φ<0)取得最小值,则函 ?3π ? 数 y=f? 4 -x?是( ? ? ).

?π ? A.奇函数且图象关于点?2,0?对称 ? ? B.偶函数且图象关于点(π,0)对称 π C.奇函数且图象关于直线 x=2对称 ?π ? D.偶函数且图象关于点?2,0?对称 ? ? “五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图 ⒈ π? ? 已知函数 y=2sin?2x+3?. ? ?

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? ? (3)说明 y=2sin?2x+3?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. ? ?

π π? ? ⒉ (2014· 合肥模拟)设函数 f(x)=cos(ωx+φ)? 且 f? ?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期为 π, ?4?= 3 . 2

①求 ω 和 φ 的值; ②在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象. ⒊ 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图如下:

f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数 f(x)的 解析式为________.
11

【训练 2】

π π (2013· 四川卷)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-2<φ<2)的部分图 ).

象如图所示,则 ω,φ 的值分别是(

π A.2,-3 π C.4,-6

π B.2,-6 π D.4,3

π π? ? ⒋.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ≤2?的图象上的两个相邻的最 ? ? 1? ? 高点和最低点的距离为 2 2,且过点?2,-2?,则函数解析式 f(x)=________. ? ? ⒌ π (2012· 湖南卷改编)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω,A>0,0<φ<2 )

π 的最大值为 2,最小正周期为 π,直线 x=6是其图象的一条对称轴. (1)求函数 f(x)的解析式; π? ? π? ? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ? 【训练 3】 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为

π 偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2. ?π? (1)求 f?8?的值; ? ? ? π? (2)求函数 y=f(x)+f?x+4?的最大值及对应的 x 的值. ? ? ⒍ . (2014· 苏 州 调 研 ) 已 知 函 数 f(x) = Asin(ωx +

π? ? φ) ?其中A>0,ω>0,0<φ<2? 的 周 期 为 π , 且 图 象 上 有 一 个 最 低 点 为 ? ? ?2π ? M? 3 ,-3?. ? ? (1)求 f(x)的解析式;
12

3 (2)求使 f(x)<2成立的 x 的取值集合. π π ⒎ (2013· 福建卷)将函数 f(x)=sin(2x+θ)(-2<θ<2)的图象向右平移 φ(φ>0)个 3 单位长度后得到函数 g(x)的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P(0, 2 ),则 φ 的值可以是( 5 A.3π C. π 2 ). 5 B.6π π D. 6

【自主体验】 π ⒈(2014· 湖州二模)将函数 y=sin 2x+cos 2x 的图象向左平移4个单位长度, 所得图象对应的函数解析式可以是( A.y=cos 2x+sin 2x C.y=sin 2x-cos 2x ). B.y=cos 2x-sin 2x D.y=sin xcos x

⒉.将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数 y= ? π? sin?x-6?的图象,则 φ 等于( ? ? π A.6 7π C. 6 ). 5π B. 6 11π D. 6

π ?π? 3. 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线 x=3对称, 且 f?12?=0, ? ? 则 ω 的最小值为( A.2 C.6 ). B.4 D.8

π? π ? 4.(2014· 长春模拟)函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?向左平移6个单位后是奇函 ? ? π? ? 数,则函数 f(x)在?0,2?上的最小值为( ? ? 3 A.- 2 ). 1 B.-2

13

1 C.2

3 D. 2 ?π π? ?3,2?上单 ? ?

π? ? 5.若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间?0,3?上单调递增,在区间 ? ? 调递减,则 ω=( 2 A.3 C.2 ). 3 B.2 D.3

⒍.(2014· 山东省实验中学诊断)已知函数 y=g(x)的图象由 f(x)=sin 2x 的图 象向右平移 φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则 φ= ________.

⒎.(2014· 武汉模拟)设 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数 (其中 0≤t≤24). 下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关 系: t y 0 5.0 3 7.5 6 5.0 9 2.5 12 5.0 15 7.5 18 5.0 21 2.5 24 5.0

经长期观察,函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y=h+Asin(ωx+φ)的 图象.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________. 1 ⒏.(2013· 淄博二模)已知函数 f(x)= 3sin ωx· cos ωx+cos 2ωx-2(ω>0),其 π 最小正周期为2. (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移8个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原 来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在 π? ? 区间?0,2?上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. ? ?
14

考点一

三角函数式的化简、求值问题 sin 47° -sin 17° cos 30° =( cos 17° 1 B.-2 3 D. 2 ).

(1)(2012· 重庆卷) 3 A.- 2 1 C.2 (2)

cos2α-sin2α =________. ?π ? 2?π ? 2tan?4-α?cos ?4-α? ? ? ? ? (1) 化 简 : [2sin 50° + sin 10° (1 + 3 tan 10° )]· 2sin280° =

【训练 1】 ________;

θ θ? ? ?1+sin θ+cos θ??sin 2-cos 2? ? ? (⒊)化简: (0<θ<π)=________. 2+2cos θ ⒋.(2013· 湖南师大附中模拟)计算: ⒌.(2013· 南京模拟)设 f(x)= tan 12° - 3 =________. 2 ?4cos 12° -2?sin 12°

1+cos 2x ? π? 2 ?x+4?的最大值为 2+ + sin x + a sin ? ? ?π ? 2sin?2-x? ? ?

3,则常数 a=________. 考点二 三角函数构造和差角求值与求角问题

β? π 1 ? ?α ? 2 (1)已知 0<β<2<α<π, 且 cos?α-2?=-9, sin?2-β?=3, 求 cos(α+β)的值; ? ? ? ? 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tan β=-7,求 2α-β 的值. ⑶ 1 13 π 已知 cos α=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2,

(1)求 tan 2α 的值; (2)求 β. π? 1 π? 2 ? ? ⑷已知 tan(α+β)=5,tan?β-4?=4,那么 tan?α+4?等于( ? ? ? ? 13 A.18 3 C.22
15

).

13 B.22 1 D.6



1 ? ? ? π? ? π? 已知 f(x)=?1+tan x?sin2x-2sin?x+4?· sin?x- ?. ? ? ? ? ? 4?

(1)若 tan α=2,求 f(α)的值; ? π π? (2)若 x∈?12,2?,求 f(x)的取值范围. ? ? 【训练 3】 ? π? 已知函数 f(x)=4cos x· sin?x+6?-1. ? ?

(1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ? ? π? ?π ? ⑹.(2014· 浙江大学附属中学一模)已知函数 f(x)=cos?x-3?-sin?2-x?. ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; π? π? 3 ? ? (2)若 α∈?0,2?,且 f?α+6?=5,求 f(2α)的值. ? ? ? ? ⑺.(2013· 东莞模拟)已知函数 f(x)=- 3sin2 x+sin xcos x. ?25π? (1)求 f? 6 ?的值. ? ? 3 ?α? 1 (2)设 α∈(0,π),f?2?= - ,求 sin α 的值. ? ? 4 2 π? ? ⑻. (2012· 广东卷)已知函数 f(x)=2cos?ωx+6?(其中 ω>0, x∈R)的最小正周 ? ? 期为 10π. (1)求 ω 的值; π? ? 5 ? 5 ? 16 6 ? ? (2)设 α,β∈?0,2?,f?5α+3π?=-5,f?5β-6π?=17,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? ? ? 正弦定理和余弦定理,三角形中常用的面积公式 1.三角形中关系的判断 (1)在△ABC 中,sin A>sin B 的充分不必要条件是 A>B.( ) (2)(教材练习改编)在△ABC 中, a= 3, b= 2, B=45° , 则 A=60° 或 120° .( ) 2.解三角形 1 5 (3)(2013· 北京卷改编)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=3,则 sin B=9.( )

16

9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A=16,则 b=6.( ) 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝角三角形.( ) (6)在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形.( ) 考点一 ⒈ 利用正弦、余弦定理解三角形

(1)(2013· 湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 ). π B.4 π D.12

2asin B= 3b,则角 A 等于( π A.3 π C.6

⒉(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a =1,c=4 2,B=45° ,则 sin C=________. ⒊在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc, sin C=2 3sin B,则 A=( A.30° C.120° ). B.60° D.150°

⒋在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B+cos B= 2,则角 A 的大小为________. ⒌(2014· 惠州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+ c2-b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为________. ⒍(2013· 烟台一模)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a 1 =1,b=2,cos C=4,则 sin B 等于________. ⒎(2013· 山东卷)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A, a=1,b= 3,则 c=( A.2 3 C. 2 ). B.2 D.1

⒏(2013· 深圳二模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a =3,b=5,c=7.
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(1)求角 C 的大小; π? ? (2)求 sin?B+3?的值. ? ? 考点二 判断三角形的形状

(1)(2013· 山东省实验中学诊断)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,且 2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC 是( A.钝角三角形 C.锐角三角形 ).

B.直角三角形 D.等边三角形

(2)在△ ABC 中,若 (a2+ b2)sin(A- B)= (a2 - b2)sin C ,则△ ABC 的形状是 ( ). A.锐角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

⑶(2013· 陕西卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 C.钝角三角形 ).

B.锐角三角形 D.不确定

⑷(2013· 青岛一中调研)在△ABC 中,三边长 a,b,c 满足 a3+b3=c3,那么 △ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.直角三角形 ⑸ ). B.钝角三角形 D.以上均有可能

(2014· 临沂一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,

且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状. 考点三 ⒈ 与三角形面积有关的问题

(2013· 浙江卷)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

且 2asin B= 3b. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. ⒉ (2013· 湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已知
18

cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. ⒊(13 分)(2013· 重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最大值,并指出此时 B 的值. ⒋已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= 3asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 3 ⒌(2014· 合肥模拟)在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 2 , 则 BC 的长为( 3 A. 2 C.2 3 ). B. 3 D.2

⒍(2014· 宜山质检)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且 a 1 =2c+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若 S△ABC= 3,b= 13,求 a+c 的值. 考点四 与三角形有关的最值问题

⒈在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________ . 2 2 →· →的 ⒉(2014· 温岭中学模拟)在锐角△ABC 中, 若 BC=2, sin A= 3 , 则AB AC 最大值为( 1 A.3 C.1 ). 4 B.5 D.3

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考点五

三角向量综合问题

⒈(2013· 长沙模拟)在△ABC 中,边 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 满足 bcos C=(3a-c)cos B. (1)求 cos B; →· → =4,b=4 2,求边 a,c 的值. (2)若BC BA ⒉(2014· 江苏省七校联考)已知 m=(asin x,cos x),n=(sin x,bsin x),其中 a,b,x∈R.若 f(x)=m· n π =12对称. (1)求 a,b 的值; π? ? (2)若关于 x 的方程 f(x)+log2k=0 在区间?0,2?上总有实数解,求实数 k 的 ? ? 取值范围. ⒊(2013· 潍坊一模)已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acos B+ 3bsin A=c. (1)求角 A 的大小; →· → =3,求 b+c 的值. (2)若 a=1,AB AC ⒋设 w > 0, m >0 若函数 f ( x) ? m sin
wx wx ? ? cos x 在区间 [ ? , ] 上,单调递增,则 2 2 3 4

?π? 满足 f?6?=2,且 f(x)的导函数 f′(x)的图象关于直线 x ? ?

实数 w 的取值范围( ) 3 1 1 3 1 1 (A) (0, ) (B) (? , ) (C) (0, ] (D) [? , ] 2 2 2 2 2 2 ? ⒌已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 ( ? x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ? R , 若函数 h( x) ? f ( x ? ? ) 的图 4 ? 象关于点 (? ,0) 对称,且 ? ? (0, ? ) ,则 ? ? ( ) 3 ? ? ? ? (A) (B) (C) (D) 8 4 3 2 ⒍ 若 函 数 f ( x) ? c o x s ? x 2 , x ? R , 且 f (lg a) ? f (1) , 则 a 的 取 值 范 围 是 _______________ ⒎已知:函数 f ( x) ? m cos x ? sin x(m ? R) (1)当 m= 3 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间;

20

? ? (2) 设 A( ,0), B( ,0) ,存在函数 f ( x) 图像的一个对称中心落在线段 AB 上,求 m 6 3 的取值范围.
⒏ 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 的对边,且 c ? b ? a ,若向量 m ? (a ? b,1) 和向量 n ? (b ? c,1) 共线,且 sin B ? (A)
1? 3 2
4 3 ,当 ?ABC 的面积为 时,则 b 等于( 5 2

)

(B)2

(C)4

(D)2+ 3
C ? 0 有一 2

⒐已知角 A,B,C 是 ?ABC 三内角,关于 x 的方程 x 2 ? x cos A cos B ? cos 2 个根为 1,则 ?ABC 的形状是________三角形. ⒑ 在 ?ABC 中 ,

?A, ?B, ?C 的 对 边 分 别 是 a, b, c

, 且

(3a ? c) c o B? s bc o C, b s ? 6 ,则 ?ABC 面积的最大值为________。
11.设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) 。若将 f ( x) 的图象沿 x 轴向右平移

1 个单位长度,得到的图象经过坐标原点;若将 f ( x) 的图象上所有点的横坐标 6 1 1 缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到的图象关于直线 x ? 轴对称,则 2 6 ? ? 3? ? ,? ? (A ) ? ? ? , ? ? (B) ? ? 2? , ? ? (C) ? ? (D)适合条 6 3 4 8

件的 ? , ? 不存在

?x ? ? ) 的部分图象如下图,则 f ( 12.已知 y ? A tan(
y 1 0

?
24

) ? ________

? 3?
8 8

13.在 ?ABC 中,角ABC 所以的边分别为 a, b, c , 已知 sin A ? sin C ? p sin B( p ? R), 且 ac ?
1 2 b 4 5 , b ? 1 ,求 a , c 的值; 4

(1)当 p ?

(2)若 ? B 为锐角,求 p 的取值范围。

21

14. 在 ?ABC 中 ,

a, b, c 分 别 为 内 角 ?A, ?B, ?C 的 对 边 , 且

2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C

(1)求 A 的大小; (2)求 sin B ? sin C 的最大值。 15.已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ?
3 ,x?R, 2

? (1)若 x ? (0, ) ,求 f ( x) 的最大值; 2
(2)在 ?ABC 中,若 A<B, f ( A) ? f ( B ) ?

? 16. 已知函数 f ( x) ? m sin x ? n cos x, 且 f ( ) 是它的最大值 ,( 其中 m, n 为常数且 4

1 BC ,求 的值. 2 AB

? mn ? 0) 给出下列命题:: (1) f ( x ? ) 为偶函数; 4
f( 7? ,0) 对称; 4
(3)

(2)函数 f ( x) 的图象关于点

f (?

3? ) 是函数 f ( x) 的最小值; (4)记函数 f ( x) 的图象在 4

y 轴右侧与直线 y ? (5) P2 P4 ? ? ;

m 的交点按横坐标从小到大依次记为 P1,P2,P3,P4, ?,则 2

m ?1 n 其中真命题的是_____________________(写出所有正确命题的编号)

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