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高中数学立体几何方法题型总结


立体几何 重要定理: 1)直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个
平面. 2)直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线和交线平行. 3)平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 4)两个平面垂直性质判定:如果一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. 两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. P 5)推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三平面. ? ? 证明:如图,找 O 作 OA、OB 分别垂直于 l 1,l 2 , M A B 因为 PM ? ? , OA ? ? , PM ? ? , OB ? ? 则 PM ? OA, PM ? OB . O
θ

一:夹角问题 ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次 .

② 直线的倾斜角、 到

的角、 与

的夹角的取值范围依次是



异面直线所成角:范围: (0?,90?] (1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线构成三角形;解三角形求出角。(常用 到余弦定理 cos? ?

a2 ? b2 ? c2 ) 2ab

a θ b

c

(2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易 发现两条异面直线间的关系; (3)向量法。转化为向量的夹角 cos? ?

AB ? AC AB ? AC

(计算结果可能是其补角)

直线与平面所成的角

o ?0 , b ? = b? ? 时 或 ∥

斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜 线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和 斜足的连线,是产生线面角的关键; 向量法:设直线 l 的方向向量为 l ,平面 ? 的法向量为 n , l 与 ? 所成的角为 ? , l 与 n 的夹角为 ? ,则有

?

?

?

?

? ? l ?n sin ? ? cos ? ? ? ? 的求法 l n
二面角 ? ? l ? ? 的平面角, (1)定义法:在棱 l 上取一点 P,两个半平面内分别作 l 的垂线(射线)m、n,则
1

射线 m 和 n 的夹角 ? 为二面角 ? —l— ? 的平面角。

(2)三垂线法:(三垂线定理法:A∈α 作或证 AB⊥β 于 B,作 BO⊥棱于 O,连 AO,则 AO⊥棱 l,∴∠AOB 为所求。 ) 向量法:设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 , n2 的夹角(或其补角)

??

?? ?

??

?? ?

?? ?? ? n1 ? n2 就是二面角的平面角的大小.若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? . ? n1 n2

二、空间距离问题
两异面直线间的距离 方法一:转化为线面距离。如图,m 和 n 为两条异面直线, n ? ? 且 m // ? ,则异面直 m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面 ? 之间的距离。
? m

n

方法二:高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算,直 接计算公垂线段的长度。 点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线再求解; ? 向量法:点到直线距离:在直线 l 上找一点 ? ,过定点 ? 且垂直于直线 l 的向量为 n ,则定点 ? 到直线 l 的距

??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? 离为 d ? ?? cos???, n? ? ? n
点到平面的距离

P

方法一:几何法。步骤 1:过点 P 作 PO ? ? 于 O,线段 PO 即为所求。 步骤 2:计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法)

? A

O

等体积法步骤:①在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体积 V 和所取三点构成三角形 的面积 S;③由 V= 方法二:坐标法。
n

1 S·h,求出 h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离. 3
P O

d ? AP ? cos ? n ? AP ? ?

n ? AP n
α A

θ

线面距、面面距均可转化为点面距

三、平行与垂直问题
证明直线与平面的平行: (1)转化为线线平行; (2)转化为面面平行. 证明平面与平面平行: (1)转化为线面平行; (2)转化为线面垂直. 证明线线垂直: (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; 方法(2) :用线面垂直实现。 方法(3) :三垂线定理及其逆定理。

2

l m α
α A l

P O

PO ? ? ? l ?? ? ? ? ? l ? m l ? OA ? ? l ? PA m ? ?? l ?? ? ?

证明线面垂直: (1)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (2)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (3)转化 为该直线垂直于另一个平行平面; (4)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 方法(1) :用线线垂直实现。 方法二:用面面垂直实现。

β

l m

l ? AC

α
面面垂直:
β l

? ? ?? ? ? l ? AB ? ? ??l ?? ? ?? ? m ??l ?? AC ? AB ? A? l ? m, l ? ? ? ? ? AC , AB ? ? ?

方法一:用线面垂直实现。
α

l ??? ??? ? ? l ? ??

方法二:计算所成二面角为直角。

高中数学之立体几何
空间几何体的三视图和直观图 1 三视图:正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对正、高平齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法(角度等于 45 度或者 135 度) 4 斜二测画法的步骤:(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;(2).平行于 y 轴的线长度变半, 平行于 x 轴的线长度不变;(3).画法要写好。 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积:1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积

S ? 2?rl ? 2?r 2

3 圆锥的表面积: S

? ? rl ? ? r 2
2

4 圆台的表面积 S

? ? rl ? ? r 2 ? ? Rl ? ? R 2

5 球的表面积 S ? 4? R

6 扇形的面积公式 S扇形

n? R 2 1 ? ? lr (其中 l 表示弧长, r 表示半径) 360 2

注:圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长 (二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 V ? S底 ? h
1 2 锥体的体积 V ? S底 ? h 3
3

3 台体的体积

1 V ? (S上 ? 3

S上 S下 ? S下 ) ? h

4 球体的体积 V

4 ? ? R3 3

平面的基本性质 公理 1 公理 2 公理 3 推论 1 推论 2 推论 3 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 经过两条平行直线,有且只有一个平面.

根据上面的公理,可得以下推论.

空间线面的位置关系 共面 (1)直线与直线 平行—没有公共点

相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点

(2)直线和平面 (3)平面与平面

直线不在平面内 (直线在平面外) 平行—没有公共点

平行—没有公共点 相交—有且只有一公共点

相交—有一条公共直线(无数个公共点)

异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法;有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线, 与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行, 即若 a∥α ,a ?β ,α ∩β =b,则 a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若 a∥b,b∥c,则 a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α ∥β ,α ∩γ ,β ∩γ =b,则 a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α ∩β =b,a ∥α ,a∥β ,则 a∥b. (2)两直线垂直的判定 1.定义:若两直线成 90°角,则这两直线互相垂直.
4

2.一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直.即若 b∥c,a⊥b,则 a⊥c 3.一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若 a⊥α ,b ? α ,a⊥b. 4.如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若 a∥α ,b⊥α , ⊥b. 5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直, 即若α ⊥β ,β ⊥γ , ⊥α ,且α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α γ =c,则 a⊥b,b⊥c,c⊥a. (3)直线与平面平行的判定 ①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行.即若 α ,b ? α ,a∥b,则 a∥α . ③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若α ∥β ,l ? α ,则 l∥β . ④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,那么这条直线和这个平面平行.即若 α ⊥ β ,l⊥β ,l ? α ,则 l∥α . ⑤在一个平面同侧的两个点, 如果它们与这个平面的距离相等,那么过这两个点的直线与这个平面平 行,即若 A ? α ,B ? α ,A、B 在α 同侧,且 A、B 到α 等距,则 AB∥α . ⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行, 也与另一个平面平行, 即若α ∥β ,a ? α , ? β , a a∥α ,则α ∥β . ⑦如果一条直线与一个平面垂直,则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行,即若 α ,b α ,b⊥a,则 b∥α . a⊥ a? 则 a

⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内),即 若 a∥b,a∥α ,b∥α (或 b ? α ) (4)直线与平面垂直的判定 ①定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.即若 m ? α , n ? α ,m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α . ③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.即若 l∥a, l⊥α . ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面,即若α ∥β , 则 l⊥α . ⑤如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即若α ⊥ β ,a∩β =α ,l ? β ,l⊥a,则 l⊥α . ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面,即若α ⊥γ ,β ⊥γ , 且 a∩β =α ,则 a⊥γ . (5)两平面平行的判定 ①定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面平行,即无公共点 ? α ∥β . ②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,即若 a,b ? α ,a∩ b=P,a∥β ,b∥β ,则α ∥β .
5

a⊥α ,则 l⊥β ,

③垂直于同一直线的两平面平行.即若α ⊥a,β ⊥a,则α ∥β . ④平行于同一平面的两平面平行.即若α ∥β ,β ∥γ ,则α ∥γ . ⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线,则这两个平面平行,即若 a,b ? α ,c,d ? β ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α ∥β . (6)两平面垂直的判定 ①定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直,即二面角α -a -β =90° ? α ⊥β . ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即若 l⊥β ,l ? α ,则α ⊥ β . ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也垂直于另一个.即若α ∥β ,α ⊥γ ,则β ⊥γ . 直线在平面内的判定 (1)利用公理 1:一直线上不重合的两点在平面内,则这条直线在平面内. (2)若两个平面互相垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内,即 若α ⊥β ,A∈α ,AB⊥β ,则 AB ? α . (3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线,都在过此点而垂直于已知直线的平面内,即若 A∈a,a⊥ b,A∈α ,b⊥α ,则 a ? α . (4)过平面外一点和该平面平行的直线,都在过此点而与该平面平行的平面内,即若 P ? α ,P∈β , β ∥α ,P∈a,a∥α ,则 a ? β . (5)如果一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内, 即若 a∥α ,A∈α ,A∈b,b∥a,则 b ? α .
一、平面. 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.(①两个平面平行,②两个平面相交) 3. 过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面.(①三条直线在一个平面内平行,②三条直线不在一个平面内平 行) 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.(X、Y、Z 三个方向) 二、空间直线. 1. 空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线—共面有且有一个公共点;平行直线—共面没有公共点;异 面直线—不同在任一平面内 2. 异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个 平面内的两条直线) 3. 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等(如下图).

1 2 方向相同

1

2

方向不相同

推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. 5. 两异面直线的距离:公垂线的长度.
6

空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直. 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行. “线 ( 线平行,线面平行”) 3. 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线 和交线平行.(“线面平行,线线平行”) 4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直, 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直, 过一点有且只有 P 一个平面和一条直线垂直. ? 若 PA ⊥ ? , a ⊥ AO ,得 a ⊥ PO (三垂线定理), a 得不出 ? ⊥ PO . 因为 a ⊥ PO ,但 PO 不垂直 OA. ? 三垂线定理的逆定理亦成立.
O A

直线与平面垂直的判定定理一:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平 面.(“线线垂直,线面垂直”) 直线与平面垂直的判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 推论:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 5. ⑴垂线段和斜线段长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等, .. 射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短. 四、 平面平行与平面垂直. 1. 空间两个平面的位置关系:相交、平行. 2. 平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,哪么这两个平面平行.(“线面平行, 面面平行”) 推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行. 3. 两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行.(“面面平行,线线 平行”) 4. 两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二: 如果一个平面与一条直线垂直, 那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. “线面垂直, ( 面面垂直”) 5. 两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. P 推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三平面 ? ? 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱. O θ ⑴①直棱柱侧面积: S ? Ch ( C 为底面周长, h 是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积: S ? C1l ( C1 是斜棱柱直截面周长, l 是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平 行四边形得出的. ⑵{四棱柱} ? {平行六面体} ? {直平行六面体} ? {长方体} ? {正四棱柱} ? {正方体}. {直四棱柱} ? {平行六面体}={直平行六面体}.
四棱柱 底面是 侧棱垂直 底面是 平行六面体 直平行六面体 底面 矩形 平行四边形 长方体 底面是 正方形 正四棱柱 侧面与 正方体 底面边长相等
B M A

⑶棱柱具有的性质: ①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等 ........ .. 的矩形. ... ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. .. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
7

⑷平行六面体: 定理一:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分. ............. 定理二:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推论一:长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为 ? , ? , ? ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 . 推论二:长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 ? , ? , ? ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 . 2. 棱锥:棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形. ⑴①正棱锥定义:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心. ②棱锥的侧面积与底面积的射影公式: S 侧 ?

S底 cos?

(侧面与底面成的二面角为 ? )

⑵棱锥具有的性质: ①正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高). ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成 一个直角三角形. 3. 球:⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式: S ? 4?R 2 . ②球的体积公式: V ? ?R 3 附:①圆柱体积: V ? ?r 2 h ( r 为半径, h 为高) ②圆锥体积: V ? ?r 2 h ( r 为半径, h 为高) ③锥形体积: V ?
1 Sh ( S 为底面积, h 为高) 3 1 3 4 3

8


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