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河南省扶沟县高级中学2015届高三数学下学期押题考试试题 理


2015 年高考理科数学押题密卷(全国新课标Ⅰ卷)
第二教育网 2015 年高考绝密押题,仅限 VIP 会员学校使用,第二教育网版权所有, 严禁转载或传播,违者必究; 说明: 一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题,分为必考 和选考两部分. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如 需改动,用橡皮将答案擦干净后,再涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求. (1)已知集合 A={ (x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=4},集合 B={(x,y) |x,y 为实数,且 y=x-2},则 A ∩ B 的元素个数为() (A)0 (C)2 (2)复数 z= 1-3i ,则 1+2i (A)|z|=2 (C)z 的虚部为-i (B)1 (D)3

(B)z 的实部为 1 (D)z 的共轭复数为-1+i

( 3) 已知随机变量 X 服从正态分布 N (1, σ2), 若 P (X≤2)=0.72, 则 P (X≤0)= (A)0.22 (B)0.28 (C)0.36 (D)0.64 (4)执行右面的程序框图,若输出的 k=2,则输入 x 的取值范 围是 (A)(21,41) (B)[21,41] (C)(21,41] (D)[21,41) 5 (5)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1+a3= ,且 a2+a4 2 5 Sn = ,则 = 4 an n-1 (A)4 (B)4n-1 n-1 (C)2 (D)2n-1
理科数学第 1 页共 8 页

开始 输入 x k=0

k=k+1 x=2x-1 x≤81? 否 输出 k 结束 是

x2 y2 (6)过双曲线 2- 2=1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 OF(O 为 a b 原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为 (A) 2 (B)2 (C) 5 (D) 3 π 2π (7)已知函数 f (x)=cos 2x+ ,g (x)=sin 2x+ ,将 f (x)的图象经过下列哪种变换可以 3 3 与 g (x)的图象重合 π π (A)向左平移 (B)向右平移 12 12 π π (C)向左平移 (D)向右平移 6 6 (8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 11 3 (A) (B) 3 2 6 5 3 4 3 (C) (D) 3 3

(

)

(

)

(9)已知向量 a=(1, 2) ,b=(2,?3)若(c+a)∥b,c⊥ (b+a) ,则 c= 7 7 7 7 (A) , (B) ? ,? 9 3 3 9 7 7 7 7 (C) , (D) - ,- 3 9 9 3

1 1 正视图

侧视图

3

( (

) )

( (

) )

俯视图

(10)4 名研究生到三家单位应聘,每名研究生至多被一家单位录用,则每家单位至少录 用一名研究生的情况有 (A)24 种 (B)36 种 (C)48 种 (D)60 种 (11)函数

=

2 2 ?1 ? ?1

,其图像的对称中心是
(B)(1,-1) (D)(0,-1)

(A)(-1,1) (C)(0,1)
1 1

(12)关于曲线 C:x 2 +y 2 =1,给出下列四个命题: ①曲线 C 有且仅有一条对称轴;②曲线 C 的长度 l 满足 l> 2; 2 ③曲线 C 上的点到原点距离的最小值为 ; 4 1 ④曲线 C 与两坐标轴所围成图形的面积是 6 上述命题中,真命题的个数是 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1

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第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. 25 (13)在(1+x2) 1- 的展开式中,常数项为__________. x (14)四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 4 2的正方形,侧棱长都等于 4 5,则经过该棱锥 C 五个顶点的球面面积为_________.

(

)

(15)点 P 在△ ABC 内部(包含边界) ,|AC|=3, |AB|=4,|BC|=5, 点 P 到三边的距离分别是 d1, d2 , d3 , 则 d1+d2+d3 的取值范围 是_________. (16)△ ABC 的顶点 A 在 y2=4x 上,B,C 两点在直线 x-2y+5=0 上, 若| AB - AC |=2 5 , 则△ ABC 面积的最小值为_____.
A

d1 d2

d3 P

B

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题为 选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a≥b,sin A+ 3cos A=2sin B. (Ⅰ)求角 C 的大小; a+b (Ⅱ)求 的最大值. c (18) (本小题满分 12 分) 某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下: 甲 乙 9 7 0 7 8 6 3 3 1 1 0 5 7 9 8 3 2 1 3 (Ⅰ)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小; (Ⅱ)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过 .. 15 分的频率作为概率,假设甲、乙 两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响,预测在本赛季剩余的 2 场比赛中甲、乙两 名队员得分均超过 ...15 分次数 X 的分布列和均值.
C

(19) (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 AB1B1A 为 正方形,侧面 BB1C1C 为菱形,∠CBB1 =60? , AB⊥B1C. (Ⅰ)求证:平面 AB1B1A⊥BB1C1C; (Ⅱ)求二面角 B-AC-A1 的余弦值.

C1

B

B1 B1 A A1 A1

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(20) (本小题满分 12 分) x2 y2 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 M (-2,-1),离心率为 .过点 M 作 a b 2 倾斜角互补的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、Q. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)证明:直线 PQ 的斜率为定值,并求这个定值; (Ⅲ)∠PMQ 能否为直角?证明你的结论.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 = + (Ⅰ)求 a;


? 1,x 轴是函数图象的一条切线.
+1

(Ⅱ)已知 ∈ 0, + ∞ ,求证:? (

) > +1;
1 2

1

(Ⅲ)已知: ∈ , ≥ 2,求证: >

+ 3 + 4 + ? + .

1

1

1

请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 ︵ 如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为BC的中点,E 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC· BC=2AD· CD.
B D E A O C

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系 Ox 中,直线 C1 的极坐标方程为 ρsin θ=2,M 是 C1 上任意一点,点 P 在射线 OM 上,且满足|OP|· |OM|=4,记点 P 的轨迹为 C2. (Ⅰ)求曲线 C2 的极坐标方程; ? (Ⅱ)求曲线 C2 上的点到直线 ρcos θ+ = 2距离的最大值. 4

(

)

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f (x)=|x-3|+|x-4|. (Ⅰ)解不等式 f (x)≤2; (Ⅱ)若存在实数 x 满足 f (x)≤ax-1,试求实数 a 的取值范围.

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2015 年高考理科数学押题密卷(全国新课标Ⅰ卷) 参考答案 第二教育网 2015 年高考绝密押题,仅限 VIP 会员学校使用,第二教育网版权所有, 严禁转载或传播,违者必究; 一、选择题: CDBCD 二、填空题: (13)41; 三、解答题: (17)解: (Ⅰ) ? ? sin A+ 3cos A=2sin B 即 2sin A+ =2sin B,则 sin A+ =sin B. …3 分 3 3 因为 0<A,B<?,又 a≥b 进而 A≥B, 2? ? ? 所以 A+ =?-B,故 A+B= ,C= . ……………………………6 分 3 3 3 (Ⅱ)由正弦定理及(Ⅰ)得 a+b sin A+sin B 2 ? ? = = sin A+sin A+ = 3sin A+cos A=2sin A+ .…10 分 c sin C 3 6 3 a+ b ? 当 A= 时, 取最大值 2. ……………………………12 分 3 c (18)解: - 甲=1(7+9+11+13+13+16+23+28)=15, (Ⅰ)x 8 1 - 乙= (7+8+10+15+17+19+21+23)=15, x 8 1 2 s甲= [(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75, 8 1 2 s乙= [(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25. 8 甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小) . …4 分 3 (Ⅱ)根据统计结果,在一场比赛中,甲、乙得分超过 15 分的概率分别为 p1= , 8 1 3 p2= ,两人得分均超过 15 分的概率分别为 p1p2= , 2 16 k 2-k 3 3 13 k 依题意,X~B 2, ,P (X=k)=C2 ,k=0,1,2, …7 分 16 16 16 X 的分布列为 X 0 1 2 169 78 9 P …10 分 256 256 256 3 3 X 的均值 E (X)=2× = . ……………………………12 分 16 8

ABCDD BA (14)100?; (15)

[ 12 5 (

,4 ;

]

(16)1.

(

)

)

[

(

)]

(

)

(

)

( )( )

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(19)解: (Ⅰ)由侧面 AB1B1A 为正方形,知 AB⊥BB1. 又 AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以 AB⊥平面 BB1C1C, 又 AB?平面 AB1B1A,所以平面 AB1B1A⊥BB1C1C.…………………………4 分
z C C1

B

O

B1 B1 A1 A1

y

A

x

(Ⅱ)建立如图所示的坐标系 O-xyz. 其中 O 是 BB1 的中点,Ox∥AB,OB1 为 y 轴,OC 为 z 轴. 设 AB=2,则 A (2,-1,0),B (0,-1,0),C (0,0, 3),A1(2,1,0).

→ AB =(-2,0,0),→ AC =(-2,1, 3),→ AA1 =(0,2,0). → → 设 n =(x ,y ,z )为面 ABC 的法向量,则 n · AB =0,n · AC =0,
1 1 1 1 1 1

…6 分

?-2x1=0, 即? 取 z1=-1,得 n1=(0, 3,-1). ?-2x1+y1+ 3z1=0.

…8 分

→ → 设 n2=(x2,y2,z2)为面 ACA1 的法向量,则 n2· AA1 =0,n2· AC =0, ?2y2=0, 即? 取 x2= 3,得 n2=( 3,0,2). …………………10 分 ?-2x2+y2+ 3z2=0. n 1· n2 7 所以 cos ?n1,n2?= =- . |n1||n2| 7 7 因此二面角 B-AC-A1 的余弦值为- . ……………………………12 分 7
(20)解: 4 1 (Ⅰ)由题设,得 2+ 2=1, ① a b a2-b2 2 且 = , ② a 2 2 2 由①、②解得 a =6,b =3, x2 y2 椭圆 C 的方程为 + =1.…………………………………………………3 分 6 3 (Ⅱ)记 P (x1,y1)、Q (x2,y2). 设直线 MP 的方程为 y+1=k(x+2),与椭圆 C 的方程联立,得 (1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0, 8k2-8k-4 -4k2+4k+2 -2,x1 是该方程的两根,则-2x1= , x = . 1 1+2k2 1+2k2
理科数学第 6 页共 8 页

设直线 MQ 的方程为 y+1=-k(x+2), -4k2-4k+2 同理得 x2= .………………………………………………………6 分 1+2k2 因 y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2), 8k 2 y1-y2 k(x1+2)+k(x2+2) k(x1+x2+4) 1+2k 故 kPQ= = = = =1, 8k x1-x2 x1-x2 x1-x2 1+2k2 因此直线 PQ 的斜率为定值.……………………………………………………9 分 (Ⅲ)设直线 MP 的斜率为 k,则直线 MQ 的斜率为-k, 假设∠PMQ 为直角,则 k· (-k)=-1,k=± 1. 若 k=1,则直线 MQ 方程 y+1=-(x+2), 与椭圆 C 方程联立,得 x2+4x+4=0, 该方程有两个相等的实数根-2,不合题意; 同理,若 k=-1 也不合题意. 故∠PMQ 不可能为直角.…………………………………………………………12 分 (21)解: (Ⅰ)f ?(x)=
1

当 x∈(0,a)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减, 当 x∈(a,+∞)时,f ?(x)>0,f (x)单调递增. ∵ x 轴是函数图象的一条切线,∴切点为(a,0) . f (a)=lna+ ?1=0,可知 a=1.……………………………4 分




?

2

=

? 2

(Ⅱ)令 1+
1

1



= ,由 x>0 得知 t>1, = ?1,于是原不等式等价于:
1

1

1 ? < .

取 = + ? 1,由(Ⅰ)知:
∴ g (t)> g (1)=0,也就是1 ? ∴ ? (
+1 1 1

当 t∈(0,1)时,g ?(t)<0,g (t)单调递减, 当 t∈(1,+∞)时,g ?(t)>0,g (t)单调递增.

< .
+1

) > +1 .……………………………8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知:x 是正整数时,不等式? (

) > +1也成立,可以令:

1

x=1,2,3,…,n-1,将所得各不等式两边相加,得:
2 3 4 1 1 1 1 + + + ? + > + + +?+ 1 2 3 ? 1 2 3 4

即: > (22)证明:

1 2

+ 3 + 4 + ? + . ……………………………12 分

1

1

1

︵ (Ⅰ)连接 OE,因为 D 为BC的中点,E 为 BC 的中点,所以 OED 三点共线.
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B D E A O C

因 为 E 为 BC 的 中 点 且 O 为 AC 的 中 点 , 所 以 OE∥AB , 故 DE∥AB.……………………………5 分 ︵ (Ⅱ)因为 D 为BC的中点,所以∠BAD=∠DAC,又∠BAD=∠DCB?∠DAC= ∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE?△ DAC∽△ ECD. AC AD ? = ?AD· CD=AC· CE CD CE ?2AD· CD=AC· 2CE ?2AD· CD=AC· BC.……………………………10 分 (23)解: (Ⅰ)设 P (ρ,θ),M (ρ1,θ),依题意有 ρ1sin θ=2,ρρ1=4. ……………………………3 分 消去 ρ1,得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. ……………………………5 分 (Ⅱ)将 C2,C3 的极坐标方程化为直角坐标方程,得 C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2. ……………………………7 分 3 2 C2 是以点(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆,圆心到直线 C3 的距离 d= , 2 3 2 故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1+ . ……………………………10 分 2 (24)解: ? ?7-2x,x<3, 3≤x≤4, (Ⅰ)f (x)=|x-3|+|x-4|=?1, ……………………………2 分 ?2x-7,x>4. ? 5 9 作函数 y=f (x)的图象,它与直线 y=2 交点的横坐标为 和 ,由图象知 2 2 5 9 不等式 f (x)≤2 的解集为 , . ……………………………5 分 2 2

[

]

a=-2

y y=f (x) y=2 y=ax-1 1 a=2 y=ax-1 O

-1

5 3 4 9 2 2

x

(Ⅱ)函数 y=ax-1 的图象是过点(0,-1)的直线. 当且仅当函数 y=f (x)与直线 y=ax-1 有公共点时,存在题设的 x. 1 由图象知,a 取值范围为(-∞,-2)∪ ,+∞ . ………………………10 分 2

[

)

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