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北师大版高中数学选修2-1期末考试试题及答案


高二期末考试数学试题
一.选择题(每小题 5 分,满分60 分) 1.设 l , m, n 均为直线,其中 m, n 在平面 a内, 则“l ? ? ”是“l ? m且l ? n” 的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 2.对于两个命题: ① ?x ? R, ?1 ? sin x ? 1 , ② ?x ? R,sin 2 x ? cos2 x ? 1 , 下列判断正确的是( ) 。 A. ① 假 ② 真 B. ① 真 ② 假 C. ① ② 都假 D. ① ② 都真 3.与椭圆 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

10.若椭圆 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0)与直线y ? 1 ? x 交于 A, B 两点,过原点与线段 AB 中点的连线的斜率为
2 2

2 2

n , 则m

的值是(
A.

)

2 2 3  2     B.      C.      D  . 2 9 2 2

11 . 过抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 1 ?x1 , y1 ?, P 2 ?x2 , y 2 ? 两点,若 y1 ? y 2 ? 6 ,则 P 1P 2 的值为 ( ) A.5 B.6 C.8 D.10

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 4 y2 ?1 2
B.



12.以

x2 y2 ? =1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为 4 12
B.





A. x ?
2

x2 ? y2 ? 1 4

C.

x2 ? y2 ? 1 2

D.

x2 y2 ? ?1 3 3

A.

x2 y2 ? ?1 16 12

x2 y2 ? ?1 12 16

C.

x2 y2 ? ?1 16 4

D.

A , B 两点, 4.已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,过 F 1 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与
则 ?ABF2 是正三角形,则椭圆的离心率是( )
w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

二.填空题(每小题4分)

1 OM ? xOA ? yOB ? OC 3 13.已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外一点 O,给出下列表达式:
D

A

2 2
2

B

1 2
0

C

3 3

1 3

其中 x,y 是实数,若点 M 与 A、B、C 四点共面,则 x+y=___ 14.斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点,则
AB

等于___

5.过抛物线 y ? 8x 的焦点作倾斜角为 45 直线 l ,直线 l 与抛物线相交与 A , B 两点, 则弦 AB 的长是( A 8 ) B 16
2 2

2 15.若命题 P:“ ? x>0, ax ? 2 ? 2 x ? 0 ”是真命题 ,则实数 a 的取值范围是___.

16. 已知 ?AOB ? 90? ,C 为空间中一点, 且 ?AOC ? ?BOC ? 60? , 则直线 OC 与平面 AOB 所成角的正弦值为___. C 32
2 2 2

D

64

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三.解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。 ) ) 17. (本小题满分 14) 设命题 P : "?x ? R, x ? 2 x ? a " ,命题 Q : " ?x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0" ;
2 2

6 . 在 同 一 坐 标 系 中 , 方 程 a x ? b x ? 1与ax ? by ? 0(a ? b ? 0) 的 曲 线 大 致 是 (

如果“ P 或 Q ”为真,“ P 且 Q ”为假,求 a 的取值范围。

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A. 7.已知椭圆 A
x a
2 2

B.
? y
2

C.

D. )

b2

? 1 ( a ? b >0) 的两个焦点 F1,F2,点 P 在椭圆上,则 ?PF 1F 2 的面积 最大值一定是(

a2

B

ab

C a a 2 ? b2

D

b a 2 ? b2
)

8.已知向量 a ? (1,1,0),b ? (?1,0,2),且k a ? b与2a ? b 互相垂直,则实数 k 的值是( A.1
1 B. 5
3 C. 5
7

D. 5

9.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是棱 A1B1 的中点,则
5 10 A.

A1B 与 D1E 所成角的余弦值为(



B.

10 10

C.

5 5

D.

10 5

18. (15分)如图① 在直角梯形 ABCP 中,BC∥ AP,AB⊥ BC,CD⊥ AP,AD=DC=PD=2,E,F,G 分别是线段 PC、 PD,BC 的中点,现将 ΔPDC 折起,使平面 PDC⊥ 平面 ABCD(如图② ) (Ⅰ )求证 AP∥ 平面 EFG; (Ⅱ )求二面角 G-EF-D 的大小; (Ⅲ )在线段 PB 上确定一点 Q,使 PC⊥ 平面 ADQ,试给出证明.

21(本小题满分 15分) 如图,设抛物线 C: x 2 ? 4 y 的焦点为 F, P( x0 , y0 ) 为抛物线上的任一点(其中 x0 ≠0) , 过 P 点的切线交 y 轴于 Q 点. (Ⅰ)证明: FP ? FQ ;
w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

y A

(Ⅱ)Q 点关于原点 O 的对称点为 M,过 M 点作平行于 PQ 的直线 交抛物线 C 于 A、B 两点,若 AM ? ? MB (? ? 1) ,求 ? 的值. B O Q
M F

P x

19.(15分) 如图,金砂公园有一块边长为 2 的等边△ ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪 分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上.

y y (Ⅰ )设 AD= x ,DE= ,求 关于 x 的函数关系式;
(Ⅱ )如果 DE 是灌溉水管,我们希望它最短,则 DE 的位置应在哪里?请予以证明. D B x

A E y C

x2 y2 20(本小题满分 15分)设 F1 , F2 分别为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右两个焦点 a b
(Ⅰ)若椭圆 C 上的点 A(1, )到F1 , F2 两点的距离之和等于 4, 求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)设点 P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点, Q(0, ), 求 | PQ | 的最大值 。

3 2

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1 2

? AP ? n ,点 P ? 平面 EFG
∴ AP∥ 平面 EFG ………………………………6 分 (Ⅱ )由(Ⅰ )知平面 GEF 的法向量 n ? (1,0,1) ,因平面 EFD 与坐标平面 PDC 重合

高二(理科)期末考试数学试题参考答案及评分标准
一.选择题:ABCCB DCBDB DD
2

二、填空题:13. 3

13.8 14. (??,4) 线 上 作 D E? O A 于 又

则它的一个法向量为 i =(1,0,0)………………………………8 分 n ?i 1 2 ? cos ? ? ? ? G ? EF ? D 设二面角 为 .则 …………9 分 2? 2 n 由图形观察二面角 G ? EF ? D 为锐角,故二面角 G-EF-D 的大小为 45° 。………10 分 (Ⅲ )假设在线段 PB 上存在一点 Q,使 PC⊥ 平面 ADQ, ∵ P、Q、D 三点共线,则设 DQ ? (1 ? t )DP ? t DB ,又 DB ? ?2,2,0? , DP ? ?0,0,2? ∴DQ ? (2t,2t,2 ? 2t ) ,又 DA ? ?0,0,2? 若 PC⊥ 平面 ADQ,又 PC ? (0,2,?2)
? ) ? (2,0,0) ? 0 ?(0,2,-2 1 ?PC ? DA ? 0 ?? ? 2 ? 2t ? 2(2 ? 2t ) ? 0 ? t ? ? ) ? (2t ,2t ,2 ? 2t ) ? 0 2 ?(0,2,-2 ? 则 ?PC ? DQ ? 0 …………15分

15详解:由对称性点 C 在平面 AOB 内的射影 D 必在 ?AOB 的平分
E? 1 , O D ? 2 , E, 连结 CE 则由三垂线定理 CE ? OE , 设 DE ? 1 ? O

?COE ? 60 , CE ? OE ? OE ? 2 , 所以 CD ? OC2 ? OD2 ? 2 ,因此直线

OC 与平面 AOB 所成

…………11 分

角的正弦值

sin ?COD ?

2 2 ,本题亦可用向量法。16.

y ? ex

三.解答题:
17解:命题 P : "?x ? R, x2 ? 2 x ? a " 即 x2 ? 2x ? ( x ?1)2 ?1 ? a 恒成立 ? a ? ?1 命题 Q : " ?x ? R, x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0" 即方程 x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 有实数根
2

…………3 分

∴ ? ? (2a)2 ? 4(2 ? a) ? 0 ? a ? ?2 或 a ? 1 ∵“ P 或 Q ”为真,“ P 且 Q ”为假,∴ P 与 Q 一真一假 当 P 真 Q 假时, ?2 ? a ? ?1 ;当 P 假 Q 真时, a ? 1 ∴ a 的取值范围是 (?2, ?1)

.…………6 分 …………8 分 …………10 ………14

1 DQ ? ( DP ? DB) 2 ∴ , ………………………………13 分 故在线段 PB 上存在一点 Q,使 PC⊥ 平面 ADQ,且点 Q 为线段 PB 的中点。……15分 解法二: (1)∵ EF∥ CD∥ AB,EG∥ PB,根据面面平行的判定定理 ? ∴ 平面 EFG∥ 平面 PAB,又 PA 面 PAB,∴ AP∥ 平面 EFG ……………………4 分 (2)∵ 平面 PDC⊥ 平面 ABCD,AD⊥ DC ∴ AD⊥ 平面 PCD,而 BC∥ AD,∴ BC⊥ 面 EFD 过 C 作 CR⊥ EF 交 EF 延长线于 R 点连 GR,根据三垂线定理知 ∠ GRC 即为二面角的平面角,∵ GC=CR,∴ ∠ GRC=45° , 故二面角 G-EF-D 的大小为 45° 。 …………………8 分 (3)Q 点为 PB 的中点,取 PC 中点 M,则 QM∥ BC,∴ QM⊥ PC 在等腰 Rt△ PDC 中,DM⊥ PC,∴ PC⊥ 面 ADMQ ……………………15分

19(14 分)解: (1)在△ ADE 中,

y 2= x 2+AE2-2 x · AE· cos60°

[1, ??)

18(14 分)解法一: (Ⅰ )在图② 中 ∵ 平面 PDC⊥ 平面 ABCD,AP⊥ CD ∴PD⊥ CD,PD⊥ DA ∴ PD⊥ 平面 ABCD 如图. 以 D 为坐标原点, 直线 DA、 DC、 DP 分别为 x、 y 标系: …………………1 分 则 D?0,0,0?
A?2,0,0?
B?2,2,0?
C ?0,2,0?

? y 2= x 2+AE2- x · AE,①
又 S△ ADE= 与 z 轴建立空间直角坐 S△ ABC= ·

1 2

1 2

…………………2 分 3 a 2 ? x· 2= x · AE· sin60° AE=2.② ……4 分

P?0,0,2?

y ② 代入① 得 2= x 2+
E?0,1,1? F ?0,0,1? G?1,2,0?

2 ( )2 xy y -2( >0), ∴ = 2 AE ? ,矛盾,所以 ?2 x ≥1 x

x2 ?

4 ?2 x2 ………6 分

? AP ? ?? 2,0,2?

EF ? ?0,?1,0?

FG ? ?1,2,?1? ………………3 分

又 x ≤2,若 x ? 1 ,
x2 ?

设平面 GEF 的法向量 n ? ( x, y, z) ,由法向量的定义得:
? ?y ? 0 ?n ? EF ? 0 ?( x, y,z) ? (0,?1,0) ? 0 ? y ? 0 ?? ?? ?? ? ( x, y, z ) ? ( 1 , 2 , ? 1 ) ? 0 x ? 2 y ? z ? 0 ? ? ?x ? z ?n ? FG ? 0 ?

∴ = (2)如果 DE 是水管

y

4 ?2 x2 (1≤ x ≤2).

………………………7 分

y = x 2 ? 4 ? 2 ≥ 2 ? 2 ? 2 ? 2 , ………………10 分 2

不妨设 z=1,



n ? (1,0,1)

………………………………4 分 ………………………………5 分

x

AP ? n ? ?2 ?1 ? 2 ? 0 ? 1? 2 ? 0

4 2 当且仅当 x 2= x ,即 x = 2 时“=”成立,

…………………………15分

故 DE∥BC,且 DE= 2 . 20解: (Ⅰ)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,

………………………………15分

由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2. …….2 分

3 ( )2 3 1 又点 A(1, )在椭圆上 ,因此 2 ? 2 2 ? 1得b 2 ? 3, 于是c 2 ? 1. …….4 分 2 2 b
x2 y2 ? ? 1, 焦点F1 (?1,0), F2 (1,0). 所以椭圆 C 的方程为 4 3
(Ⅱ)设 P( x, y ),则 …….6 分

4 x2 y2 ? ? 1? x 2 ? 4 ? y 2 3 4 3

…….8 分

1 4 1 1 17 | PQ |2 ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? 4 ? y 2 ? y 2 ? y ? ? ? y 2 ? y ? …….10 分 2 3 4 3 4 1 3 ? ? ( y ? )2 ? 5 …….12 分 3 2 3 又? ? 3 ? y ? 3 ?当y ? ? 时, | PQ | max ? 5 …….15分 2
21解: (Ⅰ)证明:由抛物线定义知 | PF |? y0 ? 1 ,

k PQ ? y ? | x ? x0 ?

x0 , 2
x0 ( x ? x0 ) , 2

可得 PQ 所在直线方程为 y ? y0 ? ∵ y0 ?

x0 2 4

∴得 Q 点坐标为(0, ? y0 ) ∴ | QF |? y0 ? 1 ∴ |PF|=|QF| (Ⅱ)设 A(x1, y1),B(x2, y2),又 M 点坐标为(0, y0) ∴AB 方程为 y ?

x0 x ? y0 2

…….8 分。

? x2 ? 4y ? 由? 得 x 2 ? 2 x0 x ? 4 y 0 ? 0 x0 y? x ? y0 ? 2 ? 2 ∴ x1 ? x2 ? 2 x0 , x1 x2 ? ?4 y0 ? ? x0 ……①
由 AM ? ? MB 得: (? x1 , y0 ? y1 ) ? ? ? ( x2 , y2 ? y0 ) , ∴ x1 ? ??x2 由①②知 ? ……②

…….10 分。

…….12 分。

?(1 ? ? ) x 2 ? 2 x 0 2 2 2 ,得 (1 ? ? ) x2 ? 4?x2 ,由 x0≠0 可得 x2≠0, 2 2 ? ?x 2 ? x 0
…….15分。

2 ∴ (1 ? ? ) ? 4? ,又 ? ? 1 ,解得: ? ? 3 ? 2 2 .


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