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贵州省遵义航天高级中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


2014~2015 学年第二学期期末考试

高一数学试题
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1. 在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图是( )

(1) A. (1) (2)

(2) B. (1) (3)

(3) C. (2) (4) ,则 xy 有( )

(4) D. (2) (3)

2. 若 x, y 是正数,且 A.最大值 16

1 4 ? ?1 x y

1 1 C.最小值 16 D.最大值 16 16 3.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了 解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 7 人, 则样本容量为( ) A.7 B.15 C.25 D.35 4、在△ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( )
B.最小值 A. 30
0

B. 60

0

C. 120 或60 )

0

0

D. 30 或150

0

0

5.下列说法中,正确的是(

?x ? a ? ?b ? 所表示的直线必经过点 ( x, y ) A.线性回归方程 y
B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方 C.数据 4、6、6、 7、9、5、3 的众数是 4 D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数 6、已知 ?an ? 为等差数列,若 a3 ? a4 ? a8 ? 9 ,则 S9 ? ( A. 24 B. 27 C. 15 D. 54 ) )

7.如右图所示,程序执行后的输出结果为( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8、在△ABC 中,若 C ? A. 36 3+36

?

4

, a ? 6, B ?

?

6

,则 ab 等于( C. 3 6-3 2

) D. 18 6-18 2
2

B. 6 3+6

9.利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则使关于 x 的一元二次方程 x -x+a=0 无实根的 概率为( )

A.

1 2

B.

1 4

C.

3 4

D.

2 3
2

10、等差项{a n }的前n项和为Sn , 若m ? 1, 且am?1 ? am?1 ? am ? 0, S2 m?1 ? 38, 则m等于( )
A. 38 B. 20
?

C. 10

D. 9

11.在△ABC 中,a=x,b=2,B= 45 ,若△ABC 有两解,则 x 的取值范围是( ) A.

? 2,

? ??

B.(0,2)

C. 2, 2 2

?

?

D.

?

2, 2

?

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 12. 设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
36,则 A.

2 3 ? 的最小值为( a b 25 25 B. 18 9

) C.

25 3

D.

50 18

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 以集合 A={2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数,则这种分 数是可约分数的概率是

14、已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3.a7 ? 4a42 , a2 ? 2 ,则 a1= 15.有右面的程序,运行该程序,要使输出的结果是 30, 在“ ”处应添加的条件是_________________.



16.在三角形 ABC 中, B= _________________.

?
3

,AC= 3,AB+BC的最大值为

s=0 i=2 DO s=s+i i= i+2 LOOP UNTIL PRINT s END

三、解答题(本题共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明) 17.(本题满分 10 分)某产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数 据: x 2 y 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(1)求线性回归方程; (2)预测当广告费支出 7(百万元)时的销售额。

附: b ?

?

? x y ? nxy
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y? b x

?

?

? ?

18. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中 , a , b , c 分 别 为 内 角 A , B , C 的 对 边 , 且 2asinA= ( 2b+c ) sinB+ ( 2c+b ) sinC . (1)求 A 的 大 小 ; (2)求 sinB+sinC 的 最 大 值 .

19. (本小题满分 12 分)如 图 , 某 中 学 甲 、 乙 两 班 共 有 25 名 学 生 报 名 参 加 了 一 项



试 .这 25 位 学 生 的 考 分 编 成 的 茎 叶 图 ,其 中 有 一 个 数 据 因 电 脑 操 作 员 不 小 心 删 掉了(这里暂用 x 来表示) ,但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同. (1)求 这 两 个 班 学 生 成 绩 的 中 位 数 及 x 的 值 ; (2)如 果 将 这 些 成 绩 分 为“ 优 秀 ” ( 得 分 在 175 分 以 上 ,包 括 175 分 )和“ 过 关 ” , 若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出 3 名代表学校参加比赛, 求这 3 人中甲班至多有一人入选的概率.

20.( 本题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n 2 ? n ,n∈N﹡,数列{bn}满 足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (Ⅰ)求 an,bn; (Ⅱ)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn。

21. (本小题满分 12 分)青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注,某校对高一 600 名 学生进行了一次“心理健康”知识测试,并从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满 分 100 分)作为样本,绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图. (1)填写答题卡上 频率分布表中的空格,并补全频率分布直方图; .... (2)试估计该年段成绩在[70,90)段的有多少人? (3)请你估算该年段的平均分.
频率 组距

分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)

频数 2 8 10

频率 0.04 0.16

14 合计
O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

0.28 1.00

22.已知等差数列 {an } , a3 设 bn ?

? 7,a2 ? a5 ? a8 ? 39 , (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正 20 a n a n ?1

整数 m。

2014--2015 学年第二学期期末考试

高一数学答案
一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) DCBDA BADCC CA 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.

5 14

14. a1 ? 1

15. i ? 10 (答案不唯一 如: i ? 11, i ?? 12 等

16.

2 3

三、解答题 17.(1)

? y ? 6.5 x ? 17.5

(2) 63

18.:(Ⅰ)设

a b c ? =2R sin A sin B sin C

则 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC..................................2 分 ∵2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC 方程两边同乘以 2R 2 ∴2a =(2b+c)b+(2c+b)c..............................................2 分 2 2 2 整理得 a =b +c +bc.................................................1 分 2 2 2 ∵由余弦定理得 a =b +c -2bccosA.....................................1 分 故 cosA=-

1 ,A=120°.........................................2 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)...........................1 分 =

3 1 cosB? sin B ? sin(60? ? B) .......................................2 分 2 2
1 (154+160) = 157..........................2 分 2

故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1......................1 分 19. (1)甲 班 学 生 成 绩 的 中 位 数 为

乙 班 学 生 成 绩 的 中 位 数 正 好 是 150+x=157 , 故 x=7 ; ...............................2 分 (2)用 A 表 示 事 件 “ 甲 班 至 多 有 1 人 入 选 ” . 设 甲 班 两 位 优 生 为 A, B, 乙 班 三 位 优 生 为 1, 2, 3. 则 从 5 人 中 选 出 3 人 的 所 有 方 法 种 数 为 : ( A, B, 1) , ( A, B, 2) , ( A, B, 3) , ( A, 1, 2) , ( A, 1, 3) , ( A, 2, 3) , ( B, 1, 2) , ( B , 1 , 3 ) , ( B , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 3 ) 共 10 种 情 况 , ................3 分 其 中 至 多 1 名 甲 班 同 学 的 情 况 共 ( A, 1, 2) , ( A, 1, 3) , ( A, 2, 3) , ( B , 1 , 2 ) , ( B , 1 , 3 ) , ( B , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 3 ) 7 种 ..............3 分 由 古 典 概 型 概 率 计 算 公 式 可 得 P( A) =

7 ............................2 分 10

20.(Ⅰ)由 Sn= 2n 2 ? n ,得 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;

2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2n 2 ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

由 an=4log2bn+3,得 bn= 2 n ?1 ,n∈N﹡. (Ⅱ)由(1)知 anbn ? (4n ? 1) ? 2n ?1 ,n∈N﹡ 所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ? 11? 22 ? ... ? ? 4n ? 1? ? 2 n ?1 ,

2Tn ? 3 ? 2 ? 7 ? 22 ? 11? 23 ? ... ? ? 4n ? 1? ? 2 n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ? 1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n ?1 )]
? (4n ? 5)2n ? 5
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.
21.本小题满分 12 分 解: (1)如图: 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) 频数 2 8 10 16 14 合计 频率 组距 0.032 0.028 0.02 0.016 50 频率 0.04 0.16 0.2 0.32 0.28 1.00

0.004 ---- 6 分 O 50 60 70 80 90 100 成绩(分) (2)估计该年段成绩在[70,90)段的有: 600 ? (0.2 ? 0.32) ? 312 (人)--------9 分 (3)估计该年段的平均分为:

55 ? 0.04 ? 65 ? 0.16 ? 75 ? 0.2 ? 85 ? 0.32 ? 95 ? 0.28 ? 81.4------------12 分
22.解: (1)由题意知:

3a5 ? 39,则a5 ? 13 , 又 ? d ?
?an ? a3 ? (n ? 3)d ? 3n ? 2

a5 ? a3 13 ? 7 ? ?3 5?3 2

(2) bn ?

3 3 1 1 ? ? ? a n a n?1 (3n ? 2)(3n ? 1) 3n ? 2 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 3n ? 1 3 ?Tn ?在n ? N *上是增函数 ? (Tn) min ? T1 ? 4 m m 3 对所有 n ? N *都成立,只需 ? ? m ? 15 要使 Tn ? 20 20 4 ? m ? 16


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