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直线的交点坐标


本节课,我们继续用代数 方法研究直线,即在坐标系 中对直线进行定量研究,计 算两条直线的交点,及两点 之间的距离。

已知两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交,如何求这两条直线交点的坐标?

方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系?

?l , l 相交 ? 唯一解 1 2 ? ? 直线 l1 , l 2解方程组 ?无穷多解 ? ?l1 , l2重合 ? ? ? 无解 ?l1 , l2平行

小试身手

例1:求下列两条直线的交点:

l1:3x+4y-2=0;l2:2x+y+2=0.
3x+4y-2 =0 解:解方程组 2x+y+2 = 0 x= -2 得 y=2 ∴l1与l2的交点是M(- 2,2)

交,求出交点的坐标.
(1)

如何通过两直线方程 的系数关系,来判断两 判断下列各对直线的位置关系 ;如果相 直线重合、平行呢?

0 l1 : x ? y ? 0, l2 :3x ? 3 y ?10 ? 5 5
l1 :3x ? y ? 4 ? 0, l2 :6x ? 2 y ?1 ? 0
平行,没有交点

(2) (3)

( , ) 3 3

l1 :3x ? 4 y ? 5 ? 0, l2 : 6x ? 8 y ?10 ? 0
重合,无数个交点

思维拓展

例2(1)求直线3x+2y-1=0和2x-3y-5=0的
交点M的坐标,
M(1,- 1)

(2)方程3x+2y-1+λ(2x-3y-5)=0

? ? 1时,方程表示什么图形?直线5x-y-6=0
? ? 0时,方程表示什么图形 ? 直线3x+2y-1=0
? ? ?1时,方程表示什么图形 ?
直线x+5y+4=0
都经过M(1,- 1) 以上图形共同之处是什么? 经过交点M的直线系 ? ? R时,方程表示什么图形?

更上一层楼

A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2)=0是 过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交 点的直线系方程。
问题1:当?变化时, 3x ? 4 y ? 2 ? ? (2x ? y ? 2) ? 0

表示什么图形?图形有何特点?

问题2: (3 ? 2? ) x ? (4 ? ? ) y ? 2? ? 2 ? 0 过定点吗?你能求出这 个定点吗?

一题多解

例3:求经过原点且经过以下两条直线的 交点的直线方程: 你能想到哪些 方法? l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
解法1:解方程组
x-2y+2=0 2x-y-2=0 得 求出交点,用 x= 2 待定系数法 y=2

∴l1与l2的交点是(2,2)

设经过原点的直线方程为 y=k x

能否不 求交点?

把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为 y= x

一题多解

例3:求经过原点且经过以下两条直线的 交点的直线方程: l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
解法2:设所求的直线方程是

x ? 2 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0

直线经过原点,将(0,0)代入上述方程,得

2 ? 2? ? 0,即? ? 1 ? ( x ? 2 y ? 2) ? (2 x ? y ? 2) ? 3x ? 3 y ? 0 ?所求的直线方程为 x? y ?0

例4:三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10和 2x-y=10相交于一点,求a的值。

例5.若直线l1:y=kx+k+2和直线 l2:y=-2x+4相交,且交点P在第一象 限内,求实数k的取值范围.
y
B P o A

x

小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0

的距离公式是

d=

Ax0 + By0 + C A 2 + B2

当A=0或B=0时,公式仍然成立.

2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d= C1 - C2 A 2 + B2


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