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2013届高考数学考点回归总复习课件46


第四十六讲 直线?平面平行的判定及其性质

共 64 页

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回归课本

共 64 页

2

1.直线与直线 (1)空间两条直线的位置关系有平行?相交?异面三种.

(2)过直线外一点有且仅有一条直线和这条直线平行.
(3)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行,又叫做空 间平行线的传递性. (4)定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行, 并且方向相同,那么这两个角相等.

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3

(5)空间四边形:顺次连结不共面的四点A?B?C?D所构成的图 形,叫做空间四边形,这四个点中的各个点叫做空间四边形

的顶点;所连结的相邻顶点间的线段叫做四边形的边;连结
不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线.空间四边 形用表示顶点的四个字母表示.

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4

2.直线与平面平行 (1)直线与平面的位置关系有:

①平行:直线和平面没有公共点
②相交:直线和平面有且只有1个公共点 ③直线在平面内:直线和平面有无数个公共点,其中①?②也叫 直线在平面外

共 64 页

5

(2)直线与平面平行 ①判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则

该直线就与此平面平行.
②性质定理:一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一 平面与此平面的交线也与该直线平行.

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6

3.平面与平面平行 (1)平面与平面的位置关系

①平行两平面无公共点
②两平面相交有一条公共直线 (2)平面与平面的平行 ①判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则 这两个平面平行. ②性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么 它们的交线平行.
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考点陪练

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8

1.设AA′是长方体的一条棱,这个长方体中与AA′平行的棱共 有( )

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

解析:AA′∥BB′∥CC′∥DD′. 答案:C

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9

2.b是平面α外一条直线,下列条件中可得出b∥α的是( A.b与α内一条直线不相交

)

B.b与α内两条直线不相交
C.b与α内无数条直线不相交 D.b与α内任意一条直线不相交 解析:只有在b与α内所有直线都不相交,即b与α无公共点 时,b∥α. 答案:D

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10

3.在空间,下列命题正确的是( A.若a∥α,b∥a,则b∥α

)

B.若a∥α,b∥α,a?β,b?β,则β∥α
C.若α∥β,b∥α,则b∥β D.若α∥β,a?α,则a∥β 解析:若a∥α,b∥a,则b∥α或b?α,故A错误;由面面平行的判 定定理知,B错误;若α∥β,b∥α,则b∥β或b?β,故C错误. 答案:D

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11

4.已知两个不同的平面α?β和两条不重合的直线m?n,有下列 四个命题:①若m∥n,n?α,则m∥α;②若m∥α,n?α,则

m∥n;③若α∥β,m?α,则m∥β.
其中正确命题的个数是( A.1 C.3 B.2 D.0 )

解析:①有可能m?α;②m?n还可能是异面直线;③正确,故正

确答案是A.
答案:A
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5.a,b,c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面, 现给出四个命题:

a ∥c? ① ? ? a ∥b b ∥c ? ? ∥c ? ③ ? ? ? ∥? ? ∥c?

a ∥? ? ② ? ? a ∥b b ∥? ? ? ∥c? ④ ? ? ? ∥a a ∥c ?

其中正确的命题是________.
答案:①
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类型一

直线与直线平行

解题准备:平行于同一直线的两条直线互相平行

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【典例1】 如图,若α∩β=a,α∩γ=b,γ∩β=c,且a∥b,求 证:a∥b∥c.

[分析] 利用线面平行的判定定理及性质定理及公理4即可证 得.
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[证明] ∵b∥a,a?β,b?β, ∴b∥β(线线平行,则线面平行).

∵b?γ,γ∩β=c,
∴b∥c(线面平行,则线线平行), ∴a∥b∥c.

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[反思感悟] (1)判定定理应用时要注意条件是平面外的一条 直线,应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线

的平面与已知平面的交线,条件必须充分满足了才得结
论.(2)本题证明思路是:线∥线→线∥面→线∥线.

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类型二

直线和平面平行

解题准备:1.证明线面平行的方法

(1)依定义采用反证法;
(2)判定定理法(线线平行?线面平行); (3)面面平行的性质定理(面面平行?线面平行).

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2.应用线面平行判定定理的思路 在应用线面平行的判定定理证明线面平行时,要在平面内找

(或作)一条直线与已知直线平行,在找(或作)这一条直线时,
由线面平行的性质定理知,在平面内和已知直线共面的直 线才和已知直线平行,所以要通过平面来找(或作)这一条直 线.在应用其它判定定理和性质定理时,要注意充分利用条 件构造定理的题设,在分析思路时也要以定理作为指导.

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【典例2】 如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧面对角线 AB1,BC1上分别有两点E,F且B1E=C1F.

求证:EF∥平面ABCD.

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20

[分析] 要证EF∥平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行 的判定定理,即在平面ABCD内确定EF的平行线;二是利用

面面平行的性质定理,即过EF作与平面ABCD平行的平面.

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[证明] 证法一:过E作EM⊥AB于M,过F作FN⊥BC于N,连接 MN(如图).则EM∥BB1,FN∥BB1,∴EM∥FN.

共 64 页

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∵AB1=BC1,B1E=C1F, ∴AE=BF,
EM AE BF AE FN ? , ? ? , BB1 AB1 BC1 AB1 CC1 EM FN,又∵BB =CC , ? 1 1 BB1 CC1




∴EM=FN,

∴四边形EMNF是平行四边形,∴EF∥MN. 又∵EF?平面ABCD,MN?平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD.

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证法二:连接B1F,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图).

共 64 页

24

∵BP∥B1C1, ∴△B1FC1∽△PFB,
B1 F C1 F ? . FP BF
CF BE



∵AB1=BC1,B1E=C1F,
1 ∴AE=BF,∴ ? 1 . BF EA B1 E B1 F ∴ ? , ∴EF∥AP. EA FP 又∵EF?平面ABCD,AP?平面ABCD,

∴EF∥平面ABCD.

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证法三:过点E作EH⊥BB1于点H,连接FH(如图).

共 64 页

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B1 E B1 H ? . 则EH∥AB,所以 B1 A B1 B B1 E C1 F ? , ∵AB1=BC1,B1E=C1F,∴ B1 A C1 B



∵B1C1∥BC,∴FH∥BC.

B1 H C1 F ? ,∴FH∥B1C1. B1 B C1 B

∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面ABCD. ∵EF?平面EFH,∴EF∥平面ABCD.

共 64 页

27

[反思感悟] 判断或证明线面平行的常用方法有: (1)利用线面平行的定义(无公共点);

(2)利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a?α,a?β,a∥α?a∥β).

共 64 页

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类型三

平面与平面平行的证明方法

解题准备:1.证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外,

还有:
(1)如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行. (2)如果两个平面和同一个平面平行,那么这两个平面平行.

共 64 页

29

2.平行问题的转化方向如图所示:

共 64 页

30

注意:(1)在平面和平面平行的判定定理中,“两条相交直线” 中的“相交”两个字不能忽略,否则结论不一定成立.

(2)若由两个平面平行来推证两条直线平行,则这两条直线必
须是这两个平行平面与第三个平面的交线,有时第三个平 面需要作出来.

共 64 页

31

【典例3】 如图所示,三棱柱ABC—A1B1C1,D是BC上一点, 且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点,求证:平面A1BD1∥

平面AC1D.

共 64 页

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[证明] 连接A1C交AC1于点E,

共 64 页

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∵四边形A1ACC1是平行四边形, ∴E是A1C的中点,连接ED,

∵A1B∥平面AC1D,
平面A1BC∩平面AC1D=ED, ∴A1B∥ED, ∵E是A1C的中点,∴D是BC的中点.

共 64 页

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又∵D1是B1C1的中点, ∴在三棱柱ABC—A1B1C1中,BD1∥C1D,A1D1∥AD,

又A1D1∩BD1=D1,AD∩C1D=D,
∴平面A1BD1∥平面AC1D.

共 64 页

35

[反思感悟] 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的 判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平

行来证明.具体方法有:
(1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;

共 64 页

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(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互

转化.

共 64 页

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类型四

线面平行中的探究问题

解题准备:探究性问题,一般采用执果索因的方法,假设求解的

结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条
件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找不 到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在.

共 64 页

38

【典例4】 如图,在底面是平行四边形的四棱锥P—ABCD中, 点E在PD上,且PE?ED=2?1,在棱PC上是否存在一点F,

使BF∥平面AEC?证明你的结论?

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39

[解] 当F是棱PC的中点时, BF∥平面AEC.

证明:取PE的中点M,连接FM,

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则FM∥CE.① 由EM=
1 PE=ED, 2

知E是MD的中点.
连接BM?BD,设BD∩AC=O, 则O为BD的中点,连接OE 所以BM∥OE.② 由①②知,平面BFM∥平面AEC. 又BF?平面BFM,所以BF∥平面AEC.

共 64 页

41

错源一

主观臆断,推理不严谨

【典例1】 如图所示,已知E?F分别是正方体ABCD—

A1B1C1D1的棱AA1?CC1的中点.
求证:四边形BED1F是平行四边形.

共 64 页

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[错证] 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,平面A1ADD1∥平面 B1BCC1,由两平行平面与第三平面相交得交线平行,故

D1E∥FB,同理可证D1F∥EB,故四边形EBFD1为平行四边
形. [剖析] 主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理. 立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用 平面几何知识解题.

共 64 页

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[证明] 取DD1的中点G,连接AG?FG. ∵AE
∥1G, D ∥ AG,

∴D1E
又FG ∴FG ∴BF ∴D1E

CD,CD ∥
∥ AB, ∥ AG,

∥ AB,

BF, ∥

∴四边形EBFD1为平行四边形.
共 64 页 44

错源二

以特殊代替一般,以偏概全致误

【典例2】 已知α∥β,AB,CD是夹在α与β间的两

条线段,点E,F分别在AB,CD上,且AE:EB=CF:FD=m:n,求
证:EF∥α,EF∥β.

共 64 页

45

[剖析] 容易利用下图(1)或图(2)中的特殊图形代替一般证明, 对AB与CD异面这种更一般的情形缺乏分析,由此产生特

殊代替一般的证明错误.

共 64 页

46

[证明] 当AB,CD共面时,如图(1)?(2)所示,根据平行线分线段 成比例定理,知EF∥AC,EF∥BD,立即推出EF∥α,EF∥β;

当AB,CD异面时,如图(3)所示,过点A作AG∥CD交平面β
于点G,连接DG,BG.过点F作FH∥AC交AG于点H,连接HE. 由α∥β,知AC∥GD,则HF∥GD,所以HF∥β;由于

AC∥HF∥GD,故CF:FD=AH:HG=m:n=AE:EB,则
EH∥BG,所以EH∥β.综上,可知平面EFH∥平面β,又α∥β, 故平面EFH∥平面α.由于EF?平面EFH,故EF∥α,EF∥β.

共 64 页

47

[评析] 在立体几何中当已知两条直线时,要充分考虑到这两 条直线的各种位置关系,不要只考虑两条直线共面的情况,

还要把它们异面的情况考虑进去.由于空间图形位置关系
的多样性,就导致了部分考生仅仅凭借这种多样位置关系 的一种解决问题的情况,导致解答不全.

共 64 页

48

技法 一题多解 【典例】 一条直线分别与两个相交平面平行,那么这条直线

必与它们的交线平行.
已知:平面α∩平面β=l,直线a∥平面α,直线a∥平面β. 求证:直线a∥直线l.

共 64 页

49

[证明] 证法一:作辅助平面. 如图,∵a∥α,过a作平面δ交平面α于c,∴a∥c(线面平行的性

质定理).
同理过a作平面γ交平面β于d, ∴a∥d.

共 64 页

50

由公理4,a∥c,a∥d,得c∥d, 又∵c?β,d?β,c∥d,

∴c∥β(线面平行的判定定理).
∵c∥β,c?α,α∩β=l, ∴c∥l(线面平行的判定定理). 又∵a∥c,∴由公理4,a∥l.

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证法二:同一法. 如图,在平面α和平面β的交线l上取一点A,过A作直线

l′∥a.∵a∥α,
∴l′在α内(一条直线与一个平面平行,那么过平面内的一点且 与这条直线平行的直线都在这个平面内).

共 64 页

52

同理a∥β,∴l′也在β内. ∴l′既在平面α内,又在平面β内.

由公理3知l′就是平面α与平面β的交线,即l′与l重合.
又∵l′∥a,∴l∥a.

共 64 页

53

证法三:利用平行线关系. 如图,∵a∥α,∴过a作平面γ交平面α于不同于直线l的直线c,

则c∥a.

共 64 页

54

又∵a∥β,∴c∥β.而平面α是过c的平面且与平面β相交于直 线l.

由线面平行的性质定理,得c∥l.
又∵a∥c,由公理4知,a∥l.

共 64 页

55

证法四:借助辅助平面. 如图,过平面α与平面β的交线l上一点A和直线a作平面γ.

共 64 页

56

∵γ与α、β有公共点A,则γ分别与α、β有过A的一条交线,设 为l′与l″,但过A点有且只有一条直线平行于a,

∴l′与l″重合,且这条直线既在平面α内,又在平面β内,故一定
是平面α与平面β的交线l. ∴l′、l″、l三条直线重合,则a∥l.

共 64 页

57

证法五:反证法. 若直线a不平行于直线l,则a与l相交或异面.

当a与l相交时,则a就与l所在的平面α和平面β相交,这与已知
a∥α,α∥β相矛盾,所以这是不可能的. 当a与l异面时,过l平行于a的平面只有一个,但已知平面α和平 面β是两个不同的平面都过l且均与直线a平行, 因此a与l异面也是不可能的.

因此直线a与直线l既不相交也不异面,故a∥l.

共 64 页

58

证法六:过a作平行平面研究交线关系. 如图,过直线a作平面γ与平面α平行.

共 64 页

59

∵平面α与平面β相交, ∴平面β也必与平面γ相交.

设平面γ与平面β的交线为b.
∵a∥β,∴a∥b. 又l∥b(如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们 的交线平行). 由公理4,知a∥l.

共 64 页

60

证法七:借助辅助平面,将平行关系转化为垂直关系来证明. 如图,作平面γ,使直线a⊥γ.

共 64 页

61

∵a∥α, ∴α⊥γ(一条直线如果平行于一个平面,那么平行于这条直线

的平面也垂直于这个平面).
同理可证,β⊥γ. ∴l⊥γ(两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交 线也垂直于第三个平面). ∵l⊥γ,a⊥γ,

∴a∥l(垂直于同一平面的两条直线平行).

共 64 页

62

[方法与技巧] (1)证法一、证法三、证法四是利用平行关系 (线面平行的判定与性质定理)证明,是直接法;证法二与证

法四是同一法,证法五是反证法,同一法与反证法属于间接
证明,证法七利用垂直关系证明的.

共 64 页

63

(2)上述方法主要是掌握证法一、证法三、证法四,这三种证 法思路简捷、明快,是直接应用线面平行的判定定理或性

质定理来证明的.其他方法仅作了解,以拓宽知识面.
(3)证明过程中用到了一些常用的结论(括号内结论),对这些结 论要在理解的基础上牢记它们,这样做有助于我们解决其 它问题.

共 64 页

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