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9等差数列和


教学过程

知识点 1:等差数列的前 n 项和公式 1: 证明:

Sn ?

n(a1 ? a n ) 2


S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ②
①+②: ∵

2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an?2 ) ? ? ? (an ? an )

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? 2S n ? n(a1 ? an )
Sn ? n(a1 ? a n ) 2
王新敞
奎屯 新疆



由此得:

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 知识点 2:等差数列的前 n 项和公式 2: 用上述公式要求

S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2

S n 必须具备三个条件: n, a1 , an
S n ? na1 ? n(n ? 1)d 2



an ? a1 ? (n ? 1)d

代入公式 1 即得:

此公式要求

S n 必须已知三个条件: n, a1 , d (有时比较有用)

一般地,如果一个数列

?an ?, 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常数,且 p ? 0 ,那么这个数

列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少? 由

Sn ? pn2 ? qn ? r ,得 S1 ? a1 ? p ? q ? r
an ? Sn ? Sn?1 = ( pn2 ? qn ? r ) ? [ p(n ?1)2 ? q(n ?1) ? r ] = 2 pn ? ( p ? q)

当n ? 2时

?d ? an ? an?1 ? [2 pn ? ( p ? q)] ? [2 p(n ?1) ? ( p ? q)] =2p
对等差数列的前 n 项和公式 2:

S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2 可化成式子:

Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? ) n 2 2 ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式

对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 利用

an :
-1-

当 当

an >0,d<0,前 n 项和有最大值 可由 an ≥0,且 a n?1 ≤0,求得 n 的值
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

an <0,d>0,前 n 项和有最小值 可由 an ≤0,且 a n?1 ≥0,求得 n 的值
王新敞
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王新敞
奎屯

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利用

Sn :
d 2 d n ? (a 1 ? ) n 2 2 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值



Sn ?

例题讲解

一、有关等差数列前 n 项和的计算 例 1 在等差数列{an}中,已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n. 解

?a =a +(n-1)d, 由? n(n-1) S =na + d, 2 ?
n
1

n

1

?a +2(n-1)=11, 得? n(n-1) na + ×2=35, 2 ?
1 1

?n=5 解方程组得? ?a1=3

?n=7, 或? ?a1=-1.

总结 在解决等差数列问题时,如已知 a1,an,n,d,Sn 中任意三个,可求其余两个,这种问 题在数学上常称为“知三求二”型. ?变式训练 1 设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列?
? ?Sn? ? ? ? ?n? ?

的前 n 项和,求 Tn.

二、等差数列前 n 项和性质的应用 例 2 (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,求数列{an}的前 3m 项的和 S3m; (2)两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,已知 =

Sn 7n+2 a5 ,求 的值. Tn n+3 b5

解 (1)方法一 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. ∴30,70,S3m-100 成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.
-2-

方法二

在等差数列中, ,

Sm S2m S3m 2S2m Sm S3m , 成等差数列,∴ = + . m 2m 3m 2m m 3m

即 S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. (2) =

a5 9(a1+a9) S9 65 = = . b5 9(b1+b9) T9 12

总结 等差数列前 n 项和 Sn 的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为简、化难 为易,事半功倍的效果. ?变式训练 2 已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 = ) C.4 D.5

An 7n+45 an ,则使得 Bn n+3 bn

为整数的正整数 n 的个数是( A.2 B.3

三、等差数列前 n 项和的实际应用 例 3 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动,甲第 1 分钟走 2 m,以后每分钟比 前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续每分钟走 5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 解 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇,依题意,有 2n+

n(n-1)
2

+5n=70,

整理得 n2+13n-140=0.解之得 n=7,n=-20(舍去). 第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟. (2)设 n 分钟后第 2 次相遇,依题意,有 2n+

n(n-1)
2

+5n=3×70,

整理得 n2+13n-420=0.解之得 n=15,n=-28(舍去). 第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟. 总结 建立等差数列的模型时,注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前 n 项和. ?变式训练 3 现有 200 根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那 么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 答案 B 解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为 1,逐 层增加 1 个.∴钢管总数为:1+2+3+?+n=

n(n+1)
2

.

当 n=19 时,S19=190.当 n=20 时,S20=210>200. ∴n=19 时,剩余钢管根数最少,为 10 根. 附加例题 已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 25, a4 ? 16.
-3-

⑴当 n 为何值时, Sn 取得最大值; ⑵求 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? ? ? a20 的值; ⑶求数列 ?an ?的前 n 项和 Tn .

课后练习 一.选择题
1、等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120 ,那么 a1 ? a10 ? ( A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 -4)

2、已知等差数列 ?an ? , an ? 2n ? 19 ,那么这个数列的前 n 项和 s n ( A.有最小值且是整数 C. 有最大值且是整数 B. 有最小值且是分数 D. 有最大值且是分数



3、已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 1 / 2 , a2 ? a4 ? ? ? a100 ? 80 ,那么 S100 ? A.80, B.120, C.135, D.160. 4、已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? a5 ? a9 ? a12 ? 60 ,那么 S13 ? A.390 B.195 C.180 D.120 5、从前 180 个正偶数的和中减去前 180 个正奇数的和,其差为( A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 )

6、等差数列 ?an ? 的前 m 项的和为 30 ,前 2 m 项的和为 100 ,则它的前 3m 项的和为( A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 ) 7、在等差数列 ?an ? 中, a2 ? ?6 , a8 ? 6 ,若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,则( A. S 4 ? S5 B. S 4 ? S5 C. S 6 ? S5 D. S 6 ? S5

)

8、一个等差数列前 3 项和为 34 ,后 3 项和为 146 ,所有项和为 390 ,则这个数列的项数为( A. 13 B. 12 C. 11 D. 10



二.填空题
1、等差数列 ?an ? 中,若 a6 ? a3 ? a8 ,则 s 9 ? 2、等差数列 ?an ? 中,若 Sn ? 3n2 ? 2n ,则公差 d ? 3、在小于 100 的正整数中,被 3 除余 2 的数的和是 . . .

4、已知等差数列{a n }的公差是正整数,且 a 3 ?a7 ? ?12, a4 ? a6 ? ?4 ,则前 10 项的和 S 10 =____ _. 5、两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,若

S n 7n ? 3 a ,则 8 ? ? Tn n?3 b8

.

三.解答题
1、 在等差数列 ?an ? 中, a4 ? 0.8 , a11 ? 2.2 ,求 a51 ? a52 ?

? a80 .

2、 已知等差数列{a n }中,a 2 ? 1, a5 ? 7 ,前 n 项的和 S n =24,求 n 的值.

-5-

3、 已知数列{a n },若 an ? ?2n ? 13,求 S n 达到最大值时 n 的值,并求 S n 的最大值.

4、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 12 , S12 > 0 , S13 < 0 , ①求公差 d 的取值范围; ② S1 , S2 ,

, S12 中哪一个值最大?并说明理由.

-6-

参考答案
一. 选择题 BACB CCBA 二.填空题
1、0. 2、6. 3、1650. 4、 ? 10 . 5、

a8 2a8 a1 ? a15 S15 7 ? 15 ? 3 ? ? ? ? ?6 b8 2b8 b1 ? b15 T15 15 ? 3

三.解答题
1、 an ? 0.2n , a51 ? a52 ? ? ? a80 ? 393 . 2、 an ? 2n ? 3 ,∵ S n ? n?n ? 2? ? 24 ,∴ n ? 6 . 3、∵ a6 ? 1 ? 0 , a7 ? ?1 ? 0 ,∴当 n ? 6 时, S n 有最大值 36.

12 ? ? 2a1 ? 11d ? 0 S12 ? (a1 ? a12 ) ? 6(a6 ? a7 ) ? 0 ? ?a6 ? a7 ? 0 ? ? 2 ?? 4、.①∵ ? ,∴ ? a1 ? 6 d ? 0 ?a7 ? 0 ? a ? 2d ? 12 ? S ? 13 (a ? a ) ? 13 a ? 0 13 1 13 7 ? 1 ? ? 2
解得, ?

? a6 ? a7 ? 0 ? a6 ? 0 24 24 ?? ? d ? ?3 ,②由 ? ? d ? ?3 ∴ ?an ? 是递减数列, ,又∵ ? 7 7 ? a7 ? 0 ? a7 ? 0

∴ S1 , S2 ,

, S12 中 S6 最大.

-7-


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