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辽宁省葫芦岛市第一高级中学2015-2016学年高二数学上学期期初考试试题 文


2015-2016 学年度上学期高二期初考试 数学(文科)试题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,总计 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1 x 2 1.已知集合 P={y|y=( ) ,x>0},Q={x|y=lg(2x-x )},则(?RP)∩Q 为 ( 2 A.[1,2) B.(1,+∞) C.[2,+∞) D.[1,+∞) π 2.已知→ a ,→ b 均为单位向量,它们的夹角为 ,那么|→ a +3→ b |= ( 3 A. 7 B. 10 C. 13 D.4 )

)

π π 3.将函数 y=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位,再向上平移 2 个单位,则所得图象的一 4 4 个对称中心是 π A. ( ,2) 4 π B. ( ,2) 3 π C. ( ,2) 8 π D. ( ,2) 2 ) ( )

4.一个四棱锥的三视图如图所示,其左视图是等边三角形,该四棱锥的体积等于( A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 6 3

5.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos(A-C)+cosB=1,a=2c,则 C= A. π 5π 或 6 6 π B. 6 π 2π C. 或 3 3 π D. 3 ( )

6.若函数 f ( x) ? ?

?x 2 ? ax ? a ( x ? 0)
x ?(4 ? 2a)

( x ? 0)

是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围是( )

A.[0,2)

3 B.( ,2) 2

C.[1,2]

D.[0,1]

10 ,则 tan2α = ( ) 2 4 3 3 4 A. B. C.- D.- 3 4 4 3 2 1 2 8.若两个正实数 x,y 满足 + =1,并且 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 7.已知α ∈R,sinα +2cosα =

x y

( ) A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)

C.(-2,4) D.(-4,2)

9.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f (? x) ? ? f ? x? , f ? x ? 2? ? f ? x ? 2? ,且 x ? (?1, 0) 时,

-1-

1 f ? x ? ? 2 x ? ,则 f ? log2 20? ? 5 4 A.1 B. C. ?1 5
2 2

( D. ?



4 5

10.在圆 x +y =10x 内,过点(5,3)有 n 条长度成等差数列的弦,最短弦长为数列{an}的首项 1 2 a1,最长弦长为 an,若公差 d∈( , ],那么 n 的取值集合为( ) 3 3 A.{4,5,6} B.{6,7,8,9} C.{3,4,5} D.{3,4,5,6}

x≥1 ? ? 11. 已知 a>0,x 、 y 满足约束条件 ?x+y≤3 ? ?y≥a(x-3)
( 1 A. 4 ) 1 B. 2 C.1 D.2

3 , 若 z = 2x + y 的最小值为 , 则 a = 2

1 * * (n∈N ).若 bn+1=(n-λ )( +1)(n∈N ),b1=- an+2 an λ ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数 λ 的取值范围为 ( ) A.λ >2 B.λ >3 C.λ <2 D.λ <3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,总计 20 分. 1 13.计算: -4cos10°=________. tan10° 12.已知数列{an}满足:a1=1,an+1= 14.定义一种运算:(a1,a2)?(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数 f(x)=( 3,2sinx)?(cosx,cos2x) 的图象向左平移 n(n>0) 个单位长度所得图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为 ________. 15 9 1 1 1 1 15.在等比数列{an}中,若 a5+a6+a7+a8= ,a6a7=- ,则 + + + =______. 8 8 a5 a6 a7 a8 →,AF →= 16.已知 G 是△ABC 的重心,直线 EF 过点 G 且与边 AB、AC 分别交于点 E、F,→ AE=α AB →,则 1 + 1 =________. β AC α β 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4), 线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D, 且|CD|=4 10. (1)求直线 CD 的方程;(2)求圆 P 的方程.

an

18.(本小题满分 12 分) 已知 α 、β 都是锐角,且 sinβ =sinα cos(α +β ). π (1)当 α +β = ,求 tanβ 的值; 4 (2)当 tanβ 取最大值时,求 tan(α +β )的值.

-2-

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥ 平面 ACE. (1)求三棱锥 D-ACE 的体积; (2)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,则线段 CE 上是否存在一点 N,使得 MN∥平面 DAE?

20.(本小题满分 12 分) 1+cos2x 1 3 , sinx) , → n = ( cos2x - 2 2 2 → → sin2x,2sinx),设函数 f(x)= m · n ,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)若 x∈[0, ],求函数 f(x)的值域. 2 已知向量→ m = (sin x +
2

21.(本小题满分 12 分) 已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,其中 a=2,c= 3. (1)若 sinC= 3 ,求 sinA 的值; 3
2

(2)设 f(C)= 3sinCcosC-cos C,求 f(C)的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) ? 1? x 已知点?1, ?是函数 f(x)=a (a>0, 且 a≠1)的图象上一点, 等比数列{an}的前 n 项和为 f(n) ? 3? -c,数列{bn}(bn>0)的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1= Sn+ Sn-1(n≥2). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; ? 1 ? 1000 ?前 n 项和为 Tn,问使 Tn> (2)若数列? 的最小正整数 n 是多少? 2009 ?bnbn+1?

-3-

2015-2016 学年度上学期高二年级期初考试数学(文科)参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,总计 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.A 2.C 3.C 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A 11.A 12.C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,总计 20 分. 5π 5 13. 3 14. 15.- 16.3 12 3 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 解:(1)直线 AB 的斜率 k=1, AB 的中点坐标为(1,2).则直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1), 即 x+y-3=0.??4 分 (2)设圆心 P(a,b),则由点 P 在 CD 上得 a+b-3=0.① 2 2 又∵直径|CD|=4 10,∴|PA|=2 10,∴(a+1) +b =40.②??6 分 ? ? ?a=-3, ?a=5, 由①②解得? 或? ∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2).?8 分 ?b=6 ?b=-2. ? ? ∴圆 P 的方程为(x+3) +(y-6) =40 或 (x-5) +(y+2) =40.??10 分 18.(本小题满分 12 分) 解:(1)∵由条件知,sinβ = 2 ?π 3 1 ? sin? -β ?,整理得 sinβ - cosβ =0,∵β 为锐角,∴ 2 2 2 ?4 ?
2 2 2 2

1 tanβ = .??6 分 3 2 2 (2)由已知得 sinβ =sinα cosα cosβ -sin α sinβ ,∴tanβ =sinα cosα -sin α tanβ , sinα cosα sinα cosα tanα 1 1 2 ∴tanβ = = = = ≤ = .??8 分 2 2 2 2 1+sin α 2sin α +cos α 2tan α +1 1 4 2 2 2tanα + tanα 1 2 2 当且仅当 =2tanα 时,取“=”号,∴tanα = 时,tanβ 取得最大值 ,??10 分 tanα 2 4 tanα +tanβ 此时,tan(α +β )= = 2.??12 分 1-tanα tanβ 19.(本小题满分 12 分) 解:(1)∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC.∴BC⊥平面 ABE. 又 AE? 平面 ABE, ∴AE⊥BC.∵BF⊥平面 ACE,AE? 平面 ACE, ∴AE⊥BF,又∵BC∩BF=B, ∴AE⊥平面 BCE.又 BE? 平面 BCE,∴AE⊥BE.∴AB=2 2,则点 E 到平面 ACD 的距离为 2,∴ 1 1 4 VD-ACE=VE-ACD= × ×2×2 2× 2= .??6 分 3 2 3 (2)存在这样的点. 如图所示,在△ABE 中,过点 M 作 MG∥AE 交 BE 于点 G,在△BEC 中,过点 G 作 GN∥BC 交 1 EC 于点 N,连接 MN,则由比例关系易得 CN= CE. 3 ∵MG∥AE,MG?平面 ADE,AE? 平面 ADE,∴MG∥平面 ADE. 同理,GN∥平面 ADE,又 GN∩MG=G,∴平面 MGN∥平面 ADE. ∵MN? 平面 MGN,∴MN∥平面 ADE. ∴点 N 为线段 CE 上靠近点 C 的一个三等分点.??12 分 20.(本小题满分 12 分) 1+cos2x 1 2 2 解: (1)∵cos2x=2cos x-1, ∴m=(sin x+ , sinx)=(1, sinx), f(x)=m·n= cos2x 2 2 - 3 1 3 π 2 sin2x+2sin x=1- cos2x- sin2x=1-sin(2x+ ). 2 2 2 6
-4-

2π ∴其最小正周期为 T= =π .??6 分 2 π π π π 7π π (2)由(1)知 f(x)=1-sin(2x+ ),∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ],∴sin(2x+ )∈[- 6 2 6 6 6 6 1 3 ,1].∴函数 f(x)的值域为[0, ].??12 分 2 2 21.(本小题满分 12 分)

asinC 解:(1)由正弦定理得 = ,∴sinA= = sinA sinC c
2 2 2

a

c



3 3 2 = .??4 分 3 3
2 2

(2)在△ABC 中,由余弦定理,得 c =b +a -2bacosC,∴3=b +4-4bcosC,即 b - 4cosC·b+1=0,??6 分 由题知关于 b 的一元二次方程应该有解, 1 1 π 2 令 Δ =(4cosC) -4≥0,得 cosC≤- (舍去)或 cosC≥ ,∴0<C≤ .??8 分 2 2 3 ∴f(C)= 3 1+cos2C π 1 π π π 1 sin2C- =sin(2C- )- (- <2C- ≤ ), ∴-1<f(C)≤ . 故 f(C) 2 2 6 2 6 6 2 2

1 的取值范围为(-1, ].??12 分 2

22.(本小题满分 12 分) 1 ? 1? x 解:(1)∵点?1, ?是函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象上一点,∴f(1)=a= . 3 ? 3? 已知等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)-c, 则当 n≥2 时, an=[f(n)-c]-[f(n-1)-c]=an(1 2 1 2 1 -1 -a )=- n.{an}是等比数列,∴{an}的公比 q= .∴a2=- =a1q=[f(1)-c]× ,解得 c= 3 3 9 3 2 2 1,a1=- .故 an=- n(n≥1).??4 分 3 3 由题设知{bn}(bn>0)的首项 b1=c=1,其前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1= Sn+ Sn-1(n≥2), 由 Sn-Sn-1= Sn+ Sn-1? Sn- Sn-1=1,且 S1= b1=1.∴{ Sn}是首项为 1,公差为 1 的 2 等差数列,即 Sn=n? Sn=n . ∵bn=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),又 b1=1=2×1-1,故数列{bn}的通项公式为:bn=2n- 1(n≥1).??8 分 1 ? 1 1? 1 - (2)∵bn=2n-1(n≥1),∴ = ? ?. bnbn+1 2?2n-1 2n+1? ∴Tn= ?
k=1 n

1??1 1? ?1 1? ? 1 - 1 ??= n . = ?? - ?+? - ?+?+? ?? bkbk+1 2??1 3? ?3 5? ?2n-1 2n+1?? 2n+1 1

1000 n 1000 1000 1 要 Tn> ? > ?n> =111 ,故满足条件的最小正整数 n 是 112.??12 分 2009 2n+1 2009 9 9

-5-


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