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2014北京海淀区高三二模数学(理)试卷、答案及详细解析(易题库教研团队出品)


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2014 高考高频考点尽在易题库 海淀区高三年级第二学期期末练习 数学(理科) 2014.5

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1. sin(?150 ) 的值为 A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2
a

D.

3 2

开始

2.已知命题 p : “ ?a ? 0 ,有 e ? 1 成立”,则 ? p 为
输入

x

A. ?a ? 0 ,有 e ? 1 成立 B. ?a ? 0 ,有 e ? 1 成立
a a

C. ?a ? 0 ,有 e ? 1 成立 D. ?a ? 0 ,有 e ? 1 成立
a a

x ?1




3. 执行如图所示的程序框图, 若输出的 S 为 4, 则输入的 x 应 为 A.-2 B.16 C.-2 或 8D.-2 或 16 4. 在极坐标系中,圆 ? ? 2 sin ? 的圆心到极轴的距离为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 2

S ? 2? x

S ? log2 x

输出 S 结束

? x ? y ? 1 ? 0, ? O 为坐标原点, A(1, 2) , 5.已知 P ( x, y ) 是不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0, 表示的平面区域内的一点, ?x ? 0 ?
则 OA ? OP 的最大值 A.2 B.3 C.5 D.6

6.一观览车的主架示意图如图所示,其中 O 为轮轴的中心,距 地面 32m (即 OM 长) , 巨轮的半径为 30m,AM ? BP ? 2 m, 巨轮逆时针旋转且每 12 分钟转动一圈.若点 M 为吊舱 P 的初 始位置,经过 t 分钟,该吊舱 P 距离地面的高度为 h(t ) m,则
O

B P h

h (t ) =
A. 30sin(

π π π π t ? ) ? 30 B. 30sin( t ? ) ? 30 12 2 6 2

A M

www.yitiku.cn C. 30sin( t ? ) ? 32 D. 30sin( t ? )

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π 6

π 2

π 6

π 2

7.已知等差数列 {an } 单调递增且满足 a1 ? a10 ? 4 ,则 a8 的取值范围是 A. (2, 4) B. (??,2) C. (2, ??) D. (4, ??)
C1 D1 A1 B1

8. 已知点 E , F 分别是正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 AB, AA 1 的中点,点 M , N 分别是线段 D1E 与 C1F 上的点,则满足与平 面 ABCD 平行的直线 MN 有 A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.无数条
D

F C A E B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
2 9.满足不等式 x ? x ? 0 的 x 的取值范围是________.

10.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1的一条渐近线为 y ? 2 x ,则双曲线的离心率为________. a2 b2
5

11.已知 (ax ? 1) 的展开式中 x 的系数是 10,则实数 a 的值是
3

2
12.已知斜三棱柱的三视图如图所示,该斜三棱柱的体积 为______.

1
主视图

左视图

2

1

1
俯视图

1

13.已知 l1 , l2 是曲线 C : y ?

1 的两条互相平行的切线,则 l1 与 l2 的距离的最大值为_____. x
,100}, A 是集合 M 的非空子集,把集合 A 中的各元素之和记作

14.已知集合 M ? {1, 2,3,

S ( A) .
①满足 S ( A) ? 8 的集合 A 的个数为_____;② S ( A) 的所有不同取值的个数为_____.

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三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 在锐角 ?ABC 中, a ? 2 7 sin A 且 b ? 21 . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3c ,求 c 的值.

16.(本小题满分 14 分) AB ? AC , C1 AA1 ? 底面 ABC , 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,
AC ? AB ? AA1 ,E , F 分别是棱 BC , A1 A 的中点,G 为棱 CC1 上

A1 B1

的一点,且 C1F //平面 AEG . (Ⅰ)求

CG CC1

G

F

的值;
C E B A

(Ⅱ)求证: EG ? A1C ; (Ⅲ)求二面角 A1 ? AG ? E 的余弦值.

17.(本小题满分 13 分) 某单位有车牌尾号为 2 的汽车 A 和尾号为 6 的汽车 B,两车分属于两个独立业务部门. 对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计,在非限行日,A 车日出车频率 0.6,B 车日出 车频率 0.5.该地区汽车限行规定如下: 车尾号 限行日 0和5 星期一 1和6 星期二 2和7 星期三 3和8 4和9 星期四 星期五

现将汽车日出车频率理解为日出车概率,且 A,B 两车出车相互独立. (Ⅰ)求该单位在星期一恰好出车一台的概率; (Ⅱ)设 X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和,求 X 的分布列及其数学期望 E(X).

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)sin x ? cos x, x ? (0, ? ) .

π 时,求函数 f ( x ) 值域; 2 π (Ⅱ)当 a ? 时,求函数 f ( x ) 的单调区间. 2
(Ⅰ)当 a ?

www.yitiku.cn 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的离心率为

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2 ,其短轴两端点为 A(0,1), B(0, ?1) . 2

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)若 C , D 是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点,直线 AC , BD 与 x 轴分别交于点 M , N .判断以 MN 为直径的圆是否过点 A ,并说明理由.

20.(本小题满分 13 分) 对于自然数数组 (a, b, c) ,如下定义该数组的极差:三个数的最大值与最小值的差.如果 (a, b, c) 的极差 d ? 1 ,可实施如下操作 f :若 a , b, c 中最大的数唯一,则把最大数减 2,其 余两个数各增加 1;若 a , b, c 中最大的数有两个,则把最大数各减 1,第三个数加 2,此为一 次操作, 操作结果记为 f1 (a, b, c) , 其级差为 d1 .若 d1 ? 1, 则继续对 f1 (a, b, c) 实施操作 f , …,

? 实 施 n 次 操 作 后 的 结 果 记 为 f n (a, b, c) , 其 极 差 记 为 dn . 例 如 : f1 (1, 3, 3) f 2 (1,3,3) ? (1,3,3) .
(Ⅰ)若 ( a, b, c) ? (1,3,14) ,求 d1 , d 2 和 d 2014 的值; (Ⅱ)已知 (a, b, c) 的极差为 d 且 a ? b ? c ,若 n ? 1,2,3, 能取值;

( 3, 2 , 2) ,

时,恒有 d n ? d ,求 d 的所有可

(Ⅲ)若 a , b, c 是以 4 为公比的正整数等比数列中的任意三项,求证:存在 n 满足 dn ? 0 .

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案 数学(理科) 2014.5 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.A 2.C 3.D 4.A. 5.D 6.B 7.C 8.D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 0 ? x ? 1 {或 (0,1) } 10. 5 11.1 12.2 13. 2 2

14.6,5050{本题第一空 3 分,第二空 2 分}

www.yitiku.cn 1.解析: sin(?150 ) ? ? sin150 ? ?
0 0

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1 2

2.解析:命题的否命题,存在变为任意,任意变为存在,条件不变,结论变为对立。 3.解析:该程序框图是一分段函数

x ? 1, S ? log2 x; S ? 4, x ? 16; x ? 1, S ? 2? x , S ? 16, x ? ?2.
4.解析:把极坐标方程转化为标准方程,两边同乘以 ? ,

? 2 ? 2? sin ? , x2 ? y2 ? 2 y, x2 ? ( y ?1)2 ? 1圆心到极轴的距离为 1.
5.解析: 本题为不等式和向量的综合问题, 做出平面区域 OA ? OP ? x ? 2 y , 做出平面区域, 把区域交点坐标带入,所以 OA ? OP ? x ? 2 y 的最大值是 6. 6.解析:根据题意,函数的周期是

2? ? ? ,当 t=0 时,h(t)=0,所以答案 B. 12 6

7.解析:等差数列的单调性与公差 d 有关,d>0 数列是增的,

9 5 a1 ? a10 ? 4, 2a1 ? 9d ? 4, a8 ? a1 ? 7d ? 2 ? d ? 7d ? 2 ? d ? 2 ,所以答案 C. 2 2
8.解析: 直线 D1E, C1F 在平面上有投影, 过 F 一定能做出底面的平行面, 此时面与 D1E, C1F 一定相交,所以这样的平面有无数多条。 9.解析:一元二次不等式的基本求解, 0 ? x ? 1 10.解析:双曲线的渐近线方程

y??

b b c2 x, ? 2, b ? 2a, c 2 ? a 2 ? b 2 , c 2 ? 5a 2 ? 2 ? 5 ? e ? 5 a a a

2 3 11.解析: C5 a ? 10, a ? 1

12.解析: 13.解析:设在第一象限切点 P( x0 , y0 ) ,过 P 点的直线方程为

l1 : y ? y0 ? ?

1 1 2 ( x ? x0 ), y ? ? 2 x ? ,函数关于原点对称,所以 2 x0 x0 x0 1 1 2 ( x ? x0 ), y ? ? 2 x ? ,因为两直线平行,所以两直线间的距离 2 x0 x0 x0

l2 : y ? y0 ? ?

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d?

2 2 ? (? ) x0 x0 1? 1 4 x0

?

4 x0 1? 1 4 x0

?

4 x0
4 1 ? x0

,d ?
2

2 16 x0 16 16 ? ? ? 8 ? d min ? 2 2 4 1 1 ? x0 2 2 ? x0 2 x0

14.解析:一个元素:8;两个元素 1,7;2,6;3,5;三个元素 1,3,4;1,2,5; (注意集合的互异 性)所以满足 S(A)=8 的集合 A 的个数为 6 个。S(A)的所有取值有 1,2,3,4,……100, 所以 S(A)的所有不同取值的个数为 1+2+3+4+……+100=5050.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15.解: (Ⅰ)由正弦定理可得

a b ? sin A sin B

----------------------------2 分

因为 a ? 2 7 sin A, b ? 21 所以 sin B ?

b sin A 21sin A 3 ? ? a 2 2 7 sin A

---------------------------5 分

在锐角 ?ABC 中, B ? 60 (Ⅱ)由余弦定理可得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B 又因为 a ? 3c

---------------------------7 分 ----------------------------9 分

所以 21 ? 9c2 ? c 2 ? 3c 2 ,即 c 2 ? 3 -------------------------------11 分 解得 c ? 3 -------------------------------12 分 经检验,由 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ?1 ? ? 0 可得 A ? 90 ,不符合题意, 2bc 2 7

所以 c ? 3 舍去.--------------------13 分 16.解: (Ⅰ)因为 C1F / / 平面 AEG 又 C1F ? 平面 ACC1 A1 , 平面 ACC1 A1 所以 C1F / / AG . 平面 AEG ? AG ,
G C1 z A1 B1 F

---------------------------------3 分
x C E y B A

因为 F 为 AA1 中点,且侧面 ACC1 A1 为平行四边形

www.yitiku.cn 所以 G 为 CC1 中点,所以 (Ⅱ)因为 AA1 ? 底面 ABC , 所以 AA1 ? AB , AA1 ? AC , 又 AB ? AC ,

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CG 1 ? .------------------------4 分 CC1 2

----------------------------------5 分

如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 AB ? 2 ,则由 AB ? AC ? AA 1 可得

C (2,0,0), B(0,2,0), C1 (2,0,2), A1 (0,0,2) -----------------------------6 分
因为 E , G 分别是 BC, CC1 的中点, 所以 E (1,1,0), G (2,0,1) . -----------------------------7 分

EG ? CA1 ? (1, ?1,1) ? (?2,0,2) ? 0 .--------------------------------8 分
所以 EG ? CA 1, 所以 EG ? AC 1 . --------------------------------9 分

(Ⅲ)设平面 AEG 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则

? ? n ? AE ? 0, ? x ? y ? 0, 即? --------------------------10 分 ? ? ?n ? AG ? 0, ?2 x ? z ? 0.
令 x ? 1 ,则 y ? ?1, z ? ?2 ,所以 n ? (1, ?1, ?2) .--------------------------11 分 由已知可得平面 A1 AG 的法向量 m ? (0,1,0) -------------------------------11 分 所以 cos ? n, m ??

n?m 6 ?? --------------------------------13 分 | n |?| m | 6

由题意知二面角 A1 ? AG ? E 为钝角, 所以二面角 A1 ? AG ? E 的余弦值为 ? 16.解: (Ⅰ)设 A 车在星期 i 出车的事件为 Ai , B 车在星期 i 出车的事件为 Bi , i ? 1, 2,3, 4,5 由已知可得 P( Ai ) ? 0.6, P( Bi ) ? 0.5 设该单位在星期一恰好出一台车的事件为 C ,-------------------------------1 分 因为 A, B 两车是否出车相互独立,且事件 A 1B 1, A 1B 1 互斥 ----------------2 分

6 .--------------------------------14 分 6

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所以 P(C) ? P( A 1B 1?A 1B 1 ) ? P( A 1B 1 ) ? P( A 1B 1 ) ? P( A 1 ) P( B 1 ) ? P( A 1 ) P( B 1)

? 0.6 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? 0.5 --------------------------4 分 ? 0.5 所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为 0.5 . --------------------------5 分 {答题与设事件都没有扣 1 分,有一个不扣分} (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3 ----------------------------6 分

P( X ? 0) ? P( A1 B1 ) P( A2 ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.08 P( X ? 1) ? P(C)P( A2 ) ? P( A1 B1 )P( A2 ) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.32 P( X ? 2) ? P( A1B1 )P( A2 ) ? P(C)P( A2 ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.42
P( X ? 3) ? P( A1B1 ) P( A2 ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.18 ----------------------------10 分
所以 X 的的分布列为

X P

0 0.08

1 0.32

2 0.42

3 0.18

--------------11 分 E ( X ) ? 0 ? 0.08 ? 1? 0.32 ? 2 ? 0.42 ? 3 ? 0.18 ? 1.7 -------------------------------13 分 18.解: (Ⅰ)当 a ?

π π 时, f ( x) ? ( x ? )sin x ? cos x, x ? (0, ? ) 2 2
--------------------------------1 分 --------------------------------------2 分

π f '( x) ? ( x ? )cos x 2 π 由 f '( x) ? 0 得 x ? 2 f ( x), f '( x) 的情况如下

x
x? π 2 cos x f '( x ) f ( x)

π (0, ) 2
?

π 2
0 0 0

π ( , π) 2

?
? ?

?
?

--------------------------------------------------4 分 因为 f (0) ? 1 , f ( π) ? ?1 , 所以函数 f ( x) 的值域为 ( ?1,1) . (Ⅱ) f '( x) ? ( x ? a)cos x , ①当 ---------------------------------------------------5 分

π ? a ? π 时, f ( x), f '( x) 的情况如下 2

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x x?a
cos x f '( x ) f ( x)

π (0, ) 2 ?

π 2
0 0

?
?

π ( , a) 2 ? ?

a
0 0

( a , π)

?
? ?

?

-------------------------------------------------9 分 所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ( , a) ,单调减区间为 (0, ) 和 ( a, π) ②当 a ? π 时, f ( x), f '( x) 的情况如下

π 2

π 2

x x ?a
cos x f '( x ) f ( x)

π (0, ) 2 ?

π 2
0 0

?
?

π ( , π) 2 ? ?

?

------------------------------------------------13 分 所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ( , π) ,单调减区间为 (0, ) . 19.解: (Ⅰ)由已知可设椭圆 G 的方程为: 由e ?

π 2

π 2

x2 y2 ? ? 1( a ? 1) .-------------------------------1 分 a2 1

2 a2 ? 1 1 ? ,-----------------------------------------------------2 分 ,可得 e 2 ? a2 2 2 2 解得 a ? 2 , ----------------------------------------------3 分 2 2 x y ? ? 1. 所以椭圆的标准方程为 ------------------------------------------4 分 2 1 (Ⅱ)法一:
设 C ( x0 , y0 ), 且 x0 ? 0 ,则 D(? x0 , y0 ) . 因为 A(0,1), B(0, ?1) , 所以直线 AC 的方程为 y ? ----------------------------------------5 分

y0 ? 1 x ?1. x0

----------------------------------------6 分

令 y ? 0 ,得 xM ?

? x0 ? x0 ,0) . ------------------------------------7 分 ,所以 M ( y0 ? 1 y0 ? 1 y0 ? 1 ? x0 x ? 1 ,求得 N ( ,0) .-----------------------8 分 y0 ? 1 ? x0
-----------------------------------------9 分

同理直线 BD 的方程为 y ?

x ? x0 AM ? ( 0 , ?1), AN ? ( , ?1), 1 ? y0 1 ? y0

www.yitiku.cn 所以 AM ? AN ?

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? x0 2 ? 1 , --------------------------------------10 分 1 ? y0 2
x2 ? y 2 ? 1 上,所以 x0 2 ? 2(1 ? y0 2 ) ,-------------------11 分 2
-----------------------------13 分

由 C ( x0 , y0 ) 在椭圆 G : 所以 AM ? AN ? ?1 ? 0 ,

所以 ?MAN ? 90 , 所以,以线段 MN 为直径的圆不过点 A .------------------------------14 分 法二:因为 C , D 关于 y 轴对称,且 B 在 y 轴上 所以 ?CBA ? ?DBA . ------------------------------------------5 分 因为 N 在 x 轴上,又 A(0,1), B(0, ?1) 关于 x 轴对称 所以 ?NAB ? ?NBA ? ?CBA , 所以 BC / / AN , 所以 ?NAC ? 180 ? ?ACB , 设 C ( x0 , y0 ), 且 x0 ? 0 ,则 x0 2 ? 2(1 ? y0 2 ) . ------------------------------------------6 分 -------------------------------------------7 分 ------------------------------------------8 分 ----------------------------------------9 分

因为 CA ? CB ? ( x0 , y0 ? 1)( x0 , y0 ? 1) ? x02 ? ( y02 ? 1) ? 所以 ?ACB ? 90 , 所以 ?NAC ? 90 , 所以,以线段 MN 为直径的圆不过点 A .

3 2 x0 ? 0 ,----------------11 分 2

-----------------------------------12 分 ----------------------------------13 分 -------------------------------14 分

法三:设直线 AC 的方程为 y ? kx ? 1 ,则 M (? ,0) , ---------------------------------5 分

1 k

? x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0, 化简得到 x2 ? 2(kx ? 1)2 ? 2 ? 0 , ? y ? kx ? 1, ?
所以 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kx ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ?

?4k , -----------------------------6 分 2k 2 ? 1

?4k ?2k 2 ? 1 ?1? , 2 2k ? 1 2k 2 ? 1 ?4 k ?2 k 2 ? 1 , ), 所以 C ( 2 2k ? 1 2k 2 ? 1
所以 y2 ? kx2 ? 1 ? k 因为 C , D 关于 y 轴对称,所以 D (

----------------------------7 分

4k ?2 k 2 ? 1 , ) .----------------------------8 分 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

?2k 2 ? 1 ?1 2 1 x ? 1 ,即 y ? 所以直线 BD 的方程为 y ? 2k ? 1 x ? 1 .------------------10 分 4k 2k 2k 2 ? 1 令 y ? 0 ,得到 x ? 2k ,所以 N (2k ,0) . --------------------11 分

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1 ----------------------12 分 AM ? AN ? (? , ?1) ? (2k , ?1) ? ?1 ? 0 , k 所以 ?MAN ? 90 , ----------------------------------13 分 所以,以线段 MN 为直径的圆恒过 (0, 2) 和 (0, ?2) 两点.--------------------------14 分
{法 4 :转化为文科题做,考查向量 AC ? AN 的取值} 20.解: (Ⅰ) d1 ? 10 , d 2 ? 7 , d 2014 ? 2 ---------------------------3 分 (Ⅱ)法一: ①当 d ? 2 时,则 (a, b, c) ? (a, a ? 1, a ? 2) 所以 f1 (a, a ? 1, a ? 2) ? (a ? 1, a ? 2, a) , d1 ? a ? 2 ? a ? 2 , 由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数 a ? 2 变为最小数 a ,最小数 a 和次 小数 a ? 1 分别变为次小数 a ? 1 和最大数 a ? 2 ,所以数组的极差不会改变. 所以,当 d ? 2 时, dn ? d (n ? 1,2,3, ) 恒成立. ②当 d ? 3 时,则 f1 (a, b, c) ? (a ? 1, b ? 1, c ? 2) 所以 d1 ? b ? 1 ? (a ? 1) ? b ? a ? c ? a ? d 或 d1 ? c ? 2 ? (a ? 1) ? d ? 3 所以总有 d1 ? d . 综上讨论,满足 dn ? d (n ? 1,2,3, ) 的 d 的取值仅能是 2.---------------------8 分 法二: 因为 a ? b ? c ,所以数组 (a, b, c) 的极差 d ? c ? a ? 2 所以 f1 (a, b, c) ? (a ? 1, b ? 1, c ? 2) , 若 c ? 2 为最大数,则 d1 ? c ? 2 ? (a ? 1) ? c ? a ? 3 ? d 若 b ? 1 ? c ? 2 ? a ? 1 ,则 d1 ? (b ? 1) ? (a ? 1) ? b ? a ? c ? a ? d 若 b ? 1 ? a ? 1 ? c ? 2 ,则 d1 ? (b ? 1) ? (c ? 2) ? b ? c ? 3 , 当 b ? c ? 3 ? d 时,可得 b ? c ? 3 ? 2 ,即 b ? 1 ? c 由 b ? c 可得 b ? 1 ? c 所以 b ? 1 ? c 将 c ? b ? 1 代入 b ? c ? 3 ? c ? a 得 b ? a ? 1 所以当 (a, b, c) ? (a, a ? 1, a ? 2) 时, dn ? 2 ( n ? 1, 2,3, )

由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数 a ? 2 变为最小数 a ,最小数 a 和次小 数 a ? 1 分别变为次小数 a ? 1 和最大数 a ? 2 ,所以数组的极差不会改变.

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2014 高考高频考点尽在易题库 ---------------------8 分

所以满足 dn ? d (n ? 1,2,3, ) 的 d 的取值仅能是 2. (Ⅲ)因为 a , b, c 是以 4 为公比的正整数等比数列的三项, 所以 a , b, c 是形如 m ? 4k (其中 m ? N* )的数,
1 k ?1 又因为 4k ? (3 ? 1)k ? 3k ? Ck 3 ? k ?1 ? Ck 3 ?1

所以 a , b, c 中每两个数的差都是 3 的倍数. 所以 (a, b, c) 的极差 d0 是 3 的倍数.------------------------------------------------9 分 法 1:设 fi (a, b, c) ? (ai , bi , ci ) ,不妨设 a ? b ? c , 依据操作 f 的规则,当在三元数组 fi (a, b, c) ( i ? 1, 2,3,

, x , x ? N )中,总满足 ci

是唯一最大数, ai 是最小数时,一定有 a ? x ? b ? x ? c ? 2 x ,解得 x ? 所以,当 i ? 2,3,

c ?b . 3

,

c ?b ? 1 时, di ? ci ? ai ? (ci ?1 ? 2) ? (ai ?1 ? 1) ? di ?1 ? 3 . 3

f c ?b (a, b, c) ? (
3

3a ? c ? b c ? 2b c ? 2b , , ) , d c ?b ? b ? a 3 3 3 3

c ?b c ?b c ?b , ? 1, , ? y ,y ? N ) 3 3 3 3a ? c ? b c ? 2b 中,总满足 ci ? bi 是最大数, ai 是最小数时,一定有 ? 2y ? ? y ,解得 3 3 b?a . y? 3 c ?b c ?b c?a 所以, 当i ? , ? 1, , ? 1 时,di ? ci ? ai ? (ci ?1 ? 1) ? (ai ?1 ? 2) ? di ?1 ? 3 . 3 3 3
依据操作 f 的规则, 当在三元数组 fi (a, b, c) (i ?

f c ?a (a, b, c) ? (
3

a?b?c a?b?c a?b?c , , ) , d c?a ? 0 3 3 3 3

所以存在 n ?

c?a ,满足 f n (a, b, c) 的极差 dn ? 0 .--------------------------------13 分 3

法 2:设 fi (a, b, c) ? (ai , bi , ci ) ,则 ①当 (ai , bi , ci ) 中有唯一最大数时,不妨设 ai ? bi ? ci ,则

ai ?1 ? ai ? 1, bi ?1 ? bi ? 1, ci ?1 ? ci ? 2 ,
所以 bi ?1 ? ai ?1 ? bi ? ai , ci ?1 ? ai ?1 ? ci ? ai ? 3, ci ?1 ? bi ?1 ? ci ? bi ? 3 所以, 若 bi ? ai , ci ? ai , ci ? bi 是 3 的倍数, 则 bi ?1 ? ai ?1 , ci ?1 ? ai ?1 , ci ?1 ? bi ?1 是 3 的倍数.

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所以 bi ? 3 ? ci ,则 d i ? 3 , ci ?1 ? bi ?1 ? ci ? bi ? 3 ? 0 , 所以 ai ?1 ? bi ?1 ? ci ?1 所以 di ?1 ? ci ?1 ? ai ?1 ? ci ? ai ? 3 ? di ? 3 -------------------------------------------11 分 ②当 (ai , bi , ci ) 中的最大数有两个时,不妨设 ai ? bi ? ci ,则

ai ?1 ? ai ? 2, bi ?1 ? bi ? 1, ci ?1 ? ci ? 1,
所以 bi ?1 ? ai ?1 ? bi ? ai ? 3, ci ?1 ? ai ?1 ? ci ? ai ? 3, ci ?1 ? bi ?1 ? ci ? bi , 所以, 若 bi ? ai , ci ? ai , ci ? bi 是 3 的倍数, 则 bi ?1 ? ai ?1 , ci ?1 ? ai ?1 , ci ?1 ? bi ?1 是 3 的倍数. 所以 ai ? 3 ? bi ,则 d i ? 3 , bi ?1 ? ai ?1 ? bi ? ai ? 3 ? 0 所以 di ?1 ? bi ?1 ? ai ?1 ? bi ? ai ? 3 ? di ? 3 . 所以当 d i ? 3 时,数列 {di } 是公差为 3 的等差数列.------------------------------12 分 当 d i ? 3 时,由上述分析可得 di ?1 ? 0 ,此时 ai ?1 ? bi ?1 ? ci ?1 ? 所以存在 n ?

a?b?c 3

d ,满足 f n (a, b, c) 的极差 dn ? 0 .----------------------------------13 分 3


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