2013年北京高考理科数学试题及答案(word)

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理） （北京卷）
本试卷共 5 页，150 分，考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题 共 40 分）

一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合 A ? ? ? 1 ，0 ，1? ， B A． ? 0 ? B． ? ? 1 ，0 ?
2

? ? x | ? 1 ≤ x ? 1? ，则 A ? B ?

开始 i=0, S=1

C． ? 0 ，1? D． ? ? 1 ，0 ，1? ）

（2）在复平面内，复数 ? 2 ? i ? 对应的点位于（ A．第一象限 （3）“ ?
? π

S2+1 S=

B．第二象限 C．第三象限
? sin ? 2 x ? ?

D．第四象限 ）

2S+1

”是“曲线 y

? 过坐标原点”的（

i=i+1 i≥2 是 输出S 否

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

（4）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A．1 B．
2 3

C．

13 21

D．

610 987

结束

（5）函数 f ? x ? 的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y A． e x ? 1 B． e x ? 1 C． e ? x ? 1

? e

x

关于 y 轴对称，则 f ? x ? ?

D． e ? x ?1

（6）若双曲线 A． y

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的离心率为

3

，则其渐近线方程为
2x

? ?2 x

B． y
:x ? 4y
2

? ?

C． y

? ?

1 2

x

D． y

? ?

2 2

x

（7）直线 l 过抛物线 C A．
4 3

的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 C．
8 3

B．2

D．

16 3

2

?2x ? y ? 1 ? 0 ， ? （8）设关于 x ， y 的不等式组 ? x ? m ? 0 ， ?y ? m ? 0 ?

表示的平面区域内存在点 P ? x 0 ， y 0 ? ，满足 x 0

? 2 y0 ? 2

，求得 m 的取

值范围是 A． ? ? ? ，
? ? 4? ? 3?

B． ? ? ? ，
?

?

1? ? 3?

C． ? ? ? ，?
?

?

2? ? 3?

D． ? ? ? ，?
?

?

5? ? 3?

1

第二部分（非选择题 共 110 分）

二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． （9）在极坐标系中，点 ? 2 ，
? ? π? ? 6?

到直线 ? sin ?
? a4 ? 20

? 2

的距离等于 ，则公比 q
?

．
B

（10）若等比数列 ? a n ? 满足 a 2
Sn ?

， a3

? a5 ? 4 0

；前 n 项和
O D P

．
?3

（11）如图， A B 为圆 O 的直径， P A 为圆 O 的切线， P B 与圆 O 相交于 D ，若 P A
PD : D B ? 9 :16

，

A

，则 P D

?

， AB

?

．

（12）将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如 果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是
? （13）向量 a ? ，b ? ，c

b c a

． ，

? ? ? 在正方形网格中的位置如图所示，若 c ? ? a ? ? b ? ? ，? ? R ?

则

? ?

?

．
? A1 B1C 1 D 1

D1

C1 B1

（14）如图，在棱长为 2 的正方体 A B C D 上，点 P 到直线 C C 1 的距离的最小值为

中， E 为 B C 的中点，点 P 在线段 D 1 E

A1 D A P

．

C E B

三、解答题共 6 小题，共 50 分．解答应写出文字说明，演算步骤 （15）本小题共（13 分） 在 △ A B C 中， a （Ⅰ）求 cos
A ? 3

，b

? 2 6

， ?B

? 2? A

．

的值；

（Ⅱ）求 c 的值．

2

（16） （本小题共 13 分） 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指 数大于 200 表示空气重度污染．某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 15 日中的某一天到达该市，并停留 2 天．

空 气 质 量 指 数

250 200 150

220 160 143 86 25

217 160 158 121

100 50 0

57 40

86

79 37 日期

1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日10日11日12日13日 14日

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率； （Ⅱ）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

（17） （本小题共 14 分） 如图，在三棱柱 A B C
A A1 C 1 C ? A1 B1 C 1

中， A A1 C 1 C 是边长为 4 的正方形．平面 A B C

?

平面

A1

B1

， AB

?3

， BC

?5

．

C1 A

（Ⅰ）求证： A A1

?

平面 A B C ；
? B C 1 ? B1 的余弦值； ? A1 B

B

（Ⅱ）求证二面角 A1

C

（Ⅲ）证明：在线段 B C 1 上存在点 D ，使得 A D

，并求

BD B C1

的值.

3

（18） （本小题共 13 分） 设 l 为曲线 C
:y ? ln x x

在点 ? 1, 0 ? 处的切线．

（Ⅰ）求 l 的方程； （Ⅱ）证明：除切点 ? 1, 0 ? 之外，曲线 C 在直线 l 的下方．

（19） （本小题共 14 分） 已知 A , B , C 是椭圆 W
: x
2

? y

2

? 1 上的三个点， O

是坐标原点.

4

（Ⅰ）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 O A B C 为菱形时，求此菱形的面积; （Ⅱ）当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 O A B C 是否可能为菱形，并说明理由.

（20） （本小题共 13 分） 已知 ? a n ? 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记为 A n ，第 n 项之后各项 a n ? 1 , a n ? 2 ? 的最小值 记为 B n ， d n
? An ? B n

．
? an

（Ⅰ）若 ? a n ? 为 2,1, 4, 3, 2,1, 4, 3 …，是一个周期为 4 的数列（即对任意 n ? N * ， a n ? 4 值; （Ⅱ）设 d 是非负整数，证明： d n （Ⅲ）证明：若 a 1
? 2

） ，写出 d 1 , d 2 , d 3 , d 4 的

? ? d ? n ? 1, 2, 3 ? ?

的充分必要条件为 ? a n ? 是公差为 d 的等差数列;

，dn

? 1 ? n ? 1, 2, 3, ? ?

，则 ? a n ? 的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为 1.

4

5

要使可行域存在，必有 m<－2m+1，要求可行域内包含直线 y ?

1 2

x ? 1 上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直

? ?m ? 1 ? 2m ? 1 1 2 1 ? 线 y ? x ? 1 上方，且(-m，m)在直线 y ? x ? 1 下方，解不等式组 ?1 ? 2 m ? ? m ? 1 得 m＜ ? 2 2 3 2 ? 1 ? ?m ? ? m ? 1 ? 2

6

7

8

9

10

11

12