2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理) (北京卷)
本试卷共 5 页,150 分,考试时长 120 分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知集合 A ? ? ? 1 ,0 ,1? , B A. ? 0 ? B. ? ? 1 ,0 ?
2
? ? x | ? 1 ≤ x ? 1? ,则 A ? B ?
开始 i=0, S=1
C. ? 0 ,1? D. ? ? 1 ,0 ,1? )
(2)在复平面内,复数 ? 2 ? i ? 对应的点位于( A.第一象限 (3)“ ?
? π
S2+1 S=
B.第二象限 C.第三象限
? sin ? 2 x ? ?
D.第四象限 )
2S+1
”是“曲线 y
? 过坐标原点”的(
i=i+1 i≥2 是 输出S 否
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
(4)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.1 B.
2 3
C.
13 21
D.
610 987
结束
(5)函数 f ? x ? 的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y A. e x ? 1 B. e x ? 1 C. e ? x ? 1
? e
x
关于 y 轴对称,则 f ? x ? ?
D. e ? x ?1
(6)若双曲线 A. y
x a
2 2
?
y b
2 2
? 1 的离心率为
3
,则其渐近线方程为
2x
? ?2 x
B. y
:x ? 4y
2
? ?
C. y
? ?
1 2
x
D. y
? ?
2 2
x
(7)直线 l 过抛物线 C A.
4 3
的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 C.
8 3
B.2
D.
16 3
2
?2x ? y ? 1 ? 0 , ? (8)设关于 x , y 的不等式组 ? x ? m ? 0 , ?y ? m ? 0 ?
表示的平面区域内存在点 P ? x 0 , y 0 ? ,满足 x 0
? 2 y0 ? 2
,求得 m 的取
值范围是 A. ? ? ? ,
? ? 4? ? 3?
B. ? ? ? ,
?
?
1? ? 3?
C. ? ? ? ,?
?
?
2? ? 3?
D. ? ? ? ,?
?
?
5? ? 3?
1
第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)在极坐标系中,点 ? 2 ,
? ? π? ? 6?
到直线 ? sin ?
? a4 ? 20
? 2
的距离等于 ,则公比 q
?
.
B
(10)若等比数列 ? a n ? 满足 a 2
Sn ?
, a3
? a5 ? 4 0
;前 n 项和
O D P
.
?3
(11)如图, A B 为圆 O 的直径, P A 为圆 O 的切线, P B 与圆 O 相交于 D ,若 P A
PD : D B ? 9 :16
,
A
,则 P D
?
, AB
?
.
(12)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如 果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是
? (13)向量 a ? ,b ? ,c
b c a
. ,
? ? ? 在正方形网格中的位置如图所示,若 c ? ? a ? ? b ? ? ,? ? R ?
则
? ?
?
.
? A1 B1C 1 D 1
D1
C1 B1
(14)如图,在棱长为 2 的正方体 A B C D 上,点 P 到直线 C C 1 的距离的最小值为
中, E 为 B C 的中点,点 P 在线段 D 1 E
A1 D A P
.
C E B
三、解答题共 6 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,演算步骤 (15)本小题共(13 分) 在 △ A B C 中, a (Ⅰ)求 cos
A ? 3
,b
? 2 6
, ?B
? 2? A
.
的值;
(Ⅱ)求 c 的值.
2
(16) (本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指 数大于 200 表示空气重度污染.某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 15 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.
空 气 质 量 指 数
250 200 150
220 160 143 86 25
217 160 158 121
100 50 0
57 40
86
79 37 日期
1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日10日11日12日13日 14日
(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率; (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
(17) (本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 A B C
A A1 C 1 C ? A1 B1 C 1
中, A A1 C 1 C 是边长为 4 的正方形.平面 A B C
?
平面
A1
B1
, AB
?3
, BC
?5
.
C1 A
(Ⅰ)求证: A A1
?
平面 A B C ;
? B C 1 ? B1 的余弦值; ? A1 B
B
(Ⅱ)求证二面角 A1
C
(Ⅲ)证明:在线段 B C 1 上存在点 D ,使得 A D
,并求
BD B C1
的值.
3
(18) (本小题共 13 分) 设 l 为曲线 C
:y ? ln x x
在点 ? 1, 0 ? 处的切线.
(Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)证明:除切点 ? 1, 0 ? 之外,曲线 C 在直线 l 的下方.
(19) (本小题共 14 分) 已知 A , B , C 是椭圆 W
: x
2
? y
2
? 1 上的三个点, O
是坐标原点.
4
(Ⅰ)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 O A B C 为菱形时,求此菱形的面积; (Ⅱ)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 O A B C 是否可能为菱形,并说明理由.
(20) (本小题共 13 分) 已知 ? a n ? 是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 A n ,第 n 项之后各项 a n ? 1 , a n ? 2 ? 的最小值 记为 B n , d n
? An ? B n
.
? an
(Ⅰ)若 ? a n ? 为 2,1, 4, 3, 2,1, 4, 3 …,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n ? N * , a n ? 4 值; (Ⅱ)设 d 是非负整数,证明: d n (Ⅲ)证明:若 a 1
? 2
) ,写出 d 1 , d 2 , d 3 , d 4 的
? ? d ? n ? 1, 2, 3 ? ?
的充分必要条件为 ? a n ? 是公差为 d 的等差数列;
,dn
? 1 ? n ? 1, 2, 3, ? ?
,则 ? a n ? 的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.
4
5
要使可行域存在,必有 m<-2m+1,要求可行域内包含直线 y ?
1 2
x ? 1 上的点,只要边界点(-m,1-2m)在直
? ?m ? 1 ? 2m ? 1 1 2 1 ? 线 y ? x ? 1 上方,且(-m,m)在直线 y ? x ? 1 下方,解不等式组 ?1 ? 2 m ? ? m ? 1 得 m< ? 2 2 3 2 ? 1 ? ?m ? ? m ? 1 ? 2
6
7
8
9
10
11
12