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2013年北京高考理科数学试题及答案(word)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理) (北京卷)
本试卷共 5 页,150 分,考试时长 120 分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题 共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知集合 A ? ? ? 1 ,0 ,1? , B A. ? 0 ? B. ? ? 1 ,0 ?
2

? ? x | ? 1 ≤ x ? 1? ,则 A ? B ?

开始 i=0, S=1

C. ? 0 ,1? D. ? ? 1 ,0 ,1? )

(2)在复平面内,复数 ? 2 ? i ? 对应的点位于( A.第一象限 (3)“ ?
? π

S2+1 S=

B.第二象限 C.第三象限
? sin ? 2 x ? ?

D.第四象限 )

2S+1

”是“曲线 y

? 过坐标原点”的(

i=i+1 i≥2 是 输出S 否

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.1 B.
2 3

C.

13 21

D.

610 987

结束

(5)函数 f ? x ? 的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y A. e x ? 1 B. e x ? 1 C. e ? x ? 1

? e

x

关于 y 轴对称,则 f ? x ? ?

D. e ? x ?1

(6)若双曲线 A. y

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的离心率为

3

,则其渐近线方程为
2x

? ?2 x

B. y
:x ? 4y
2

? ?

C. y

? ?

1 2

x

D. y

? ?

2 2

x

(7)直线 l 过抛物线 C A.
4 3

的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 C.
8 3

B.2

D.

16 3

2

?2x ? y ? 1 ? 0 , ? (8)设关于 x , y 的不等式组 ? x ? m ? 0 , ?y ? m ? 0 ?

表示的平面区域内存在点 P ? x 0 , y 0 ? ,满足 x 0

? 2 y0 ? 2

,求得 m 的取

值范围是 A. ? ? ? ,
? ? 4? ? 3?

B. ? ? ? ,
?

?

1? ? 3?

C. ? ? ? ,?
?

?

2? ? 3?

D. ? ? ? ,?
?

?

5? ? 3?

1

第二部分(非选择题 共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)在极坐标系中,点 ? 2 ,
? ? π? ? 6?

到直线 ? sin ?
? a4 ? 20

? 2

的距离等于 ,则公比 q
?


B

(10)若等比数列 ? a n ? 满足 a 2
Sn ?

, a3

? a5 ? 4 0

;前 n 项和
O D P


?3

(11)如图, A B 为圆 O 的直径, P A 为圆 O 的切线, P B 与圆 O 相交于 D ,若 P A
PD : D B ? 9 :16



A

,则 P D

?

, AB

?



(12)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如 果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是
? (13)向量 a ? ,b ? ,c

b c a

. ,

? ? ? 在正方形网格中的位置如图所示,若 c ? ? a ? ? b ? ? ,? ? R ?



? ?

?


? A1 B1C 1 D 1

D1

C1 B1

(14)如图,在棱长为 2 的正方体 A B C D 上,点 P 到直线 C C 1 的距离的最小值为

中, E 为 B C 的中点,点 P 在线段 D 1 E

A1 D A P



C E B

三、解答题共 6 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,演算步骤 (15)本小题共(13 分) 在 △ A B C 中, a (Ⅰ)求 cos
A ? 3

,b

? 2 6

, ?B

? 2? A



的值;

(Ⅱ)求 c 的值.

2

(16) (本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指 数大于 200 表示空气重度污染.某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 15 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

空 气 质 量 指 数

250 200 150

220 160 143 86 25

217 160 158 121

100 50 0

57 40

86

79 37 日期

1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日10日11日12日13日 14日

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率; (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

(17) (本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 A B C
A A1 C 1 C ? A1 B1 C 1

中, A A1 C 1 C 是边长为 4 的正方形.平面 A B C

?

平面

A1

B1

, AB

?3

, BC

?5



C1 A

(Ⅰ)求证: A A1

?

平面 A B C ;
? B C 1 ? B1 的余弦值; ? A1 B

B

(Ⅱ)求证二面角 A1

C

(Ⅲ)证明:在线段 B C 1 上存在点 D ,使得 A D

,并求

BD B C1

的值.

3

(18) (本小题共 13 分) 设 l 为曲线 C
:y ? ln x x

在点 ? 1, 0 ? 处的切线.

(Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)证明:除切点 ? 1, 0 ? 之外,曲线 C 在直线 l 的下方.

(19) (本小题共 14 分) 已知 A , B , C 是椭圆 W
: x
2

? y

2

? 1 上的三个点, O

是坐标原点.

4

(Ⅰ)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 O A B C 为菱形时,求此菱形的面积; (Ⅱ)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 O A B C 是否可能为菱形,并说明理由.

(20) (本小题共 13 分) 已知 ? a n ? 是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 A n ,第 n 项之后各项 a n ? 1 , a n ? 2 ? 的最小值 记为 B n , d n
? An ? B n


? an

(Ⅰ)若 ? a n ? 为 2,1, 4, 3, 2,1, 4, 3 …,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n ? N * , a n ? 4 值; (Ⅱ)设 d 是非负整数,证明: d n (Ⅲ)证明:若 a 1
? 2

) ,写出 d 1 , d 2 , d 3 , d 4 的

? ? d ? n ? 1, 2, 3 ? ?

的充分必要条件为 ? a n ? 是公差为 d 的等差数列;

,dn

? 1 ? n ? 1, 2, 3, ? ?

,则 ? a n ? 的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.

4

5

要使可行域存在,必有 m<-2m+1,要求可行域内包含直线 y ?

1 2

x ? 1 上的点,只要边界点(-m,1-2m)在直

? ?m ? 1 ? 2m ? 1 1 2 1 ? 线 y ? x ? 1 上方,且(-m,m)在直线 y ? x ? 1 下方,解不等式组 ?1 ? 2 m ? ? m ? 1 得 m< ? 2 2 3 2 ? 1 ? ?m ? ? m ? 1 ? 2

6

7

8

9

10

11

12


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