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空间几何体(柱、锥、台、球的结构特征)


1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

1、构成空间几何体的基本元素
一个几何体是由点、线、面构成的,点、线、面 是构成几何体的基本元素。

长方体的面

长方体的棱

长方体的顶点

思考:一般地,怎样定义多面体?围成 多面体的各个多边形,相邻两个多边形 的公共边,以及这些公共边的公共顶点 分别叫什么名称?
顶点





由若干个平面 多边形围成的 几何体叫做多 面体 .

2、多面体
若干个平面多边形围成的几何体,叫多面体.

?围成多面体的各个多边形叫多面体的面;
?相邻两个面的公共边叫多面体的棱; ?棱和棱的公共点叫多面体的顶点;

知识探究(一):棱柱的结构特征

思考:我们把下面的多面体取名为棱柱, 你能说一说棱柱的结构有那些特征吗? 据此你能给棱柱下一个定义吗?

有两个面互相平行,其余各面都是四边 形,每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面围成的多面体叫做棱柱.

3、棱柱
有两个面互相平行,其余各面 都是四边形,并且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行,这些面围 成的多面体叫做棱柱。 两个互相平行的面叫做棱柱的底 面;其余各面叫做棱柱的侧面。

?

?

两个面的公共边叫做棱柱的棱。两个侧面的公共边 叫做棱柱的侧棱。 与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫 做棱柱的高。 底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

思考:下列多面体都是棱柱吗?如何在 名称上区分这些棱柱?如何用符号表示?
D1 E1 C1

A1 C
A B D1

B1

C1 B1

C B A
D1 C1 B1

D

E

A1
C1 B1 C

A1 D A

A1

D
B A B

C

思考:棱柱上、下两个底面的形状大小 如何?各侧面的形状如何?

两底面是全等的多边形, 各侧面都是平行四边形

思考:有两个面互相平行,其余各面都 是平行四边形的多面体一定是棱柱吗?

思考:一个棱柱至少有几个侧面?一个N 棱柱分别有多少个底面和侧面?有多少 条侧棱?有多少个顶点?

棱柱的分类
(1). 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。 (2).侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。 (3). 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

(4)棱柱的底面可以是三角形、四边形、 五边形、 …… 我们把这样的棱柱分别叫做 三棱柱、四棱柱、五棱柱、……

三棱柱

四棱柱

五棱柱

棱柱的表示 用底面各顶点的字母表示棱柱, 如图所示的六棱柱表示为: “棱柱ABCDEF—A'B'C'D'E'F'”

E′
F′ A′ B′

D′ C′

E F

D C

理解棱柱

A

B

探究:
一个长方体,能作为 棱柱底面的有几对?

答:长方体有三对 平行平面;这三对都可 以作为棱柱的底面.

知识探究(二): 棱锥的结构特征

思考:我们把下面的多面体取名为棱锥, 你能说一说棱锥的结构有那些特征吗? 据此你能给棱锥下一个定义吗?

4、棱锥
(1) 一个面是多边形

S

棱锥的顶点 棱锥的侧棱

(2) 其余各面都是有一 个公共顶点的三角形

棱锥的高

D

棱锥的侧面

E
A

O B

C
棱锥的底面

顶点

棱锥的表示

S 侧面 侧棱

D

C 底面
B

A

用表示顶点和底面各顶点的字母表示,如图所 示的棱锥表示为:“棱锥S—ABCD”

思考:下列多面体都是棱锥吗?如何在 名称上区分这些棱锥?如何用符号表示?
S

A S C B B

D

D

C E F
B

C

A

A

S

思考:一个棱锥至少有几个面?一个N棱 锥有分别有多少个底面和侧面?有多少 条侧棱?有多少个顶点?

至少有4个面;1个底面,N个侧 面,N条侧棱,1个顶点.

棱锥的分类:

按底面多边形的边数,可以分为三 棱锥、四棱锥、五棱锥、…… S A B
棱锥的性质:

D C

侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底 面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的 平方。

正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多 边形,并且顶点在底面的射影是 底面的中心,这样的棱锥是正棱 锥. E 正棱锥的基本性质

S

D
O C

各侧棱相等,各侧面 是全等 的等腰三角形,各等腰 三角形底 边上的高相等(它叫做正棱锥的 斜高)。

A

B

思考:用一个平行于棱锥底面的平面去 截棱锥,截面与底面的形状关系如何?

相似多边形

知识探究(三):棱台的结构特征

思考:用一个平行于棱锥底面的平面去 截棱锥,截面与底面之间的部分形成另 一个多面体,这样的多面体叫做棱台. 那么棱台有哪些结构特征?
有两个面是互相平行的相 似多边形,其余各面都是 梯形,每相邻两个梯形的 公共腰的延长线共点.

5、棱台的概念
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面 与截面之间的部分叫作棱台。 上底面 侧棱 侧面 高 顶点 下底面

棱台的分类: 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截 得的棱台,分别叫做三棱台,四棱台, 五棱台… 棱台的表示方法:“棱台ABCD— A'B'C'D'” 棱台的特点:两个底面是相似多边形, 侧面都是梯形;侧棱延长后交于一点。

思考:下列多面体一定是棱台吗?如何 判断?

正棱台

用正棱锥截得的棱台叫作正棱台。
正棱台的侧面是全等的等腰梯形,

它的高叫作正棱台的斜高。

斜高

正四棱台

正棱锥

想一想,怎样给多面体分类呢? 答:可以按面数分类,多面体有几个面就 称为几面体。如:三棱锥是四面体,四棱柱 是六面体. 思考:棱柱、棱锥和棱台都是多面体,当 底面发生变化时,它们能否互相转化?

上底扩大

上底缩小

6、旋转体 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条 定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面。 封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。

定义:以矩形的一边所在直线为 旋转轴,其余边旋转形成的曲面所 围成的几何体叫做圆柱。 (1)圆柱的轴——旋转轴. (2)圆柱的底面——垂直于轴 的边旋转而成的圆面。 (3)圆柱的侧面——平行于轴 的边旋转而成的曲面。 (4)圆柱侧面的母线——无论 旋转到什么位置,不垂直于轴的 边。

A’
母 线

O’
B’ 轴 侧 面

A

O B

底面

圆柱的表示方法:用表示它的轴的字母表 示,如:“圆柱OO'”

顶点

定义:以直角三角形的 一条直角边所在直线为 旋转轴,其余两边旋转 形成的曲面所围成的几 何体叫做圆锥。

S
母 线 轴 侧 面

A

O
B

底面

圆锥的表示方法:用表示 它的轴的字母表示,如:“ 圆锥SO”

定义:用一个平行于 圆锥底面的平面去截 圆锥,底面与截面之 间的部分是圆台. 想一想:圆台能否用 旋转的方法得到?若 能,请指出用什么图 形?怎样旋转?

O’

O

思考:圆柱、圆锥和圆台都是旋转体,当 底面发生变化时,它们能否互相转化?
上底扩大 上底缩小

10. 球
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一 周形成的旋转体叫作球体,简称球。

直径
O

球心 半径

想一想:用一个平面去截一个球,截面是什么?
用一个截面去截一 个球,截面是圆面。 O

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆。

球、圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别是什么图形?

几何体的分类

柱体

锥体

台体



多面体

旋转体

简单几何体

简单旋转体

简单多面体



圆 柱

圆 锥

圆 台

棱 柱

棱 锥

棱 台


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