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2014年人教A版选修2-2教案 1.3.1函数的单调性与导数


§1.3.1 函数的单调性与导数(第 1 课时)
教学目标: 1.了解可导函数的单调性与其导数的关系; 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不超过三次; 教学重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点: 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程: 一.创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快 与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的. 通过研究函数的这些性质, 我们可以 对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数 在研究函数中的作用. 二.新课讲授 1 . 问 题 : 图 1.3-1 ( 1 ) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数 1.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化 h( t )? ? 4 . 2 9 t ? 6. t5 ? 的图像,图 10 的函数 v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?

通过观察图像,我们可以发现: (1) 运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 h(t ) 是增 函数.相应地, v(t ) ? h (t ) ? 0 .
'

(2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减 函数.相应地, v(t ) ? h (t ) ? 0 .
'

2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

如图 1.3-3,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x ) 在 点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率. 在 x ? x0 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左下右上”式的, 这时,函数 f ( x ) 在 x0 附近单调递增; 在 x ? x1 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左上右下”式的, 这时,函数 f ( x ) 在 x1 附近单调递减. 结论:函数的单调性与导数的关系
' 在某个区间 ( a , b) 内,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如果

f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减.
' 说明: (1)特别的,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数.

3.求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间;
'

(4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.
'

三.典例分析 例 1.已知导函数 f ' ( x) 的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状. 解:当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ,可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递增; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递减; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点” . 综上,函数 y ? f ( x) 图像的大致形状如图 1.3-4 所示. 例 2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x3 ? 3x ; (2) f ( x) ? x2 ? 2x ? 3

3 2 (3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1

解: (1)因为 f ( x) ? x ? 3x ,所以,
3

f ' ( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x2 ? 1) ? 0
因此, f ( x) ? x ? 3x 在 R 上单调递增,如图 1.3-5(1)所示.
3

1.3-5(1)

(2)因为 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,所以, f ( x) ? 2x ? 2 ? 2 ? x ?1?
'

当 f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 单调递增;
' 2

当 f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 单调递减;
' 2

函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 的图像如图 1.3-5(2)所示.
2 ' (3)因为 f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ,所以, f ( x) ? cos x ? 1 ? 0

1.3-5(2)

因此,函数 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 单调递减, 如图 1.3-5(3)所示.

1.3-5(3)

(4)因为 f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1 ,所以 当 f ' ( x) ? 0 ,即 当 f ' ( x) ? 0 ,即 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3

. ; ;

函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1 的图像如图所示. 注: (3) 、 (4)生练 例3 如图 1.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同 的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像. 分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得 慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上, (A)符合上述变化情况.同理可知其它三 种容器的情况.

解: ?1? ? ? B? , ? 2? ? ? A? , ?3? ? ? D? , ? 4? ? ?C ? 思考:例 3 表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结 合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗? 一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化的快, 这时,函数的图像就比较“陡峭” ; 反之,函数的图像就“平缓”一些. 如图 1.3-7 所示,函数 y ? f ( x) 在 ? 0 , b ? 或 ? a , 0? 内的图像“陡峭” , 在 ? b , ? ?? 或 ? ?? , a ? 内的图像“平缓” .

例4

求证:函数 y ? 2x3 ? 3x2 ?12x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.

' 2 2 证明:因为 y ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 6 x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 1?? x ? 2 ?

?

?

当 x ? ? ?2,1? 即 ?2 ? x ? 1 时, y ' ? 0 ,所以函数 y ? 2x3 ? 3x2 ?12x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内 是减函数. 说明:证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性步骤: (1)求导函数 f ' ? x ? ; (2)判断 f ' ? x ? 在 ? a , b ? 内的符号; (3)做出结论: f
'

? x? ? 0 为增函数, f ' ? x? ? 0 为减函数.
2

例5

已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax ? 值范围.

2 3 x ( x ? R ) 在区间 ??1,1? 上是增函数,求实数 a 的取 3

解 : f ' ( x) ? 4 ? 2ax ? 2 x2 , 因 为 f ? x ? 在 区 间 ? ?1,1? 上 是 增 函 数 , 所 以 f ' ( x) ? 0 对

x ???1,1? 恒成立,即 x2 ? ax ? 2 ? 0 对 x ???1,1? 恒成立,解之得: ?1 ? a ? 1
所以实数 a 的取值范围为 ? ?1,1? . 说明: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型, 常利用导数与函数单调性关 系:即“若函数单调递增,则 f ( x) ? 0 ;若函数单调递减,则 f ( x) ? 0 ”来求解,注意此
' '

时公式中的等号不能省略,否则漏解. 四.课堂练习 1.求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x3-6x2+7 2.f(x)=

1 +2x x

3. f(x)=sinx , x ? [0,2? ]

4. y=xlnx

2.课本 练习 五.回顾总结 (1)函数的单调性与导数的关系 (2)求解函数 y ? f ( x) 单调区间 (3)证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性 六.布置作业

§1.3.2 函数的极值与导数(第 2 课时)
教学目标: 1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤; 教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程: 一.创设情景 观察图 1.3-8,我们发现,t ? a 时,高台跳水运动员距水面高度最大.那么,函数 h(t ) 在此点的导数是多少呢?此点附近的图像有什么特点?相应地,导数的符号有什么变化规 律? 放大 t ? a 附近函数 h(t ) 的图像,如图 1.3-9.可以看出 h?( a ) ;在 t ? a ,当 t ? a 时, 函数 h(t ) 单调递增, h?(t ) ? 0 ;当 t ? a 时,函数 h(t ) 单调递减, h?(t ) ? 0 ;这就说明,在 .这样,当 t 在 a 的 t ? a 附近,函数值先增( t ? a , h?(t ) ? 0 )后减( t ? a , h?(t ) ? 0 ) 附近从小到大经过 a 时, h?(t ) 先正后负,且 h?(t ) 连续变化,于是有 h?(a) ? 0 .

对于一般的函数 y ? f ? x ? ,是否也有这样的性质呢? 附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就 函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断极值 点的关键是这点两侧的导数异号 二.新课讲授 1 . 问 题 : 图 13-1 ( 1 ) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数
王新敞
奎屯 新疆

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像,图 1.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化
的函数 v(t ) ? h (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像.
'

运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: (3) 运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 h(t ) 是增 函数.相应地, v(t ) ? h (t ) ? 0 .
'

(4) 从最高点到入水,运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减 函数.相应地, v(t ) ? h' (t ) ? 0 . 2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 如图 1.3-3 ,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率.在 x ? x0 处,

f ' ( x0 ) ? 0,切线是“左下右上”式的,这时,函数 f ( x) 在 x0 附近单调递增;在 x ? x1 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左上右下”式的,这时,函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减.
结论:函数的单调性与导数的关系 在某个区间 ( a , b) 内,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如果

f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减.
说明: (1)特别的,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数. 3.求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间;
'

(4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.
'

三.典例分析 例 1.已知导函数 f ( x) 的下列信息:
' 当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ; '

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0
'

试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状.
' 解:当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ,可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递增; ' 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递减;

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点” . 综上,函数 y ? f ( x) 图像的大致形状如图 1.3-4 所示. 例 2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x3 ? 3x ; (2) f ( x) ? x2 ? 2x ? 3

(3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1 解: (1)因为 f ( x) ? x3 ? 3x ,所以, f ' ( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x2 ? 1) ? 0 因此, f ( x) ? x3 ? 3x 在 R 上单调递增,如图 1.3-5(1)所示. (2)因为 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,所以, f ( x) ? 2x ? 2 ? 2 ? x ?1?
'

当 f ' ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 单调递增; 当 f ' ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 单调递减; 函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 的图像如图 1.3-5(2)所示. (5) 因为 f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ,所以, f ' ( x) ? cos x ? 1 ? 0 因此,函数 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 单调递减,如图 1.3-5(3)所示. (6) 因为 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 ,所以
3 2


2

当 f ( x) ? 0 ,即
'

时,函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 时,函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3
2 2

; ;

当 f ( x) ? 0 ,即
' 3

函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 的图像如图 3.3-5(4)所示. 注: (3) 、 (4)生练 例6 如图 1.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同 的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像. 分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得 慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上, (A)符合上述变化情况.同理可知其它三 种容器的情况. 解: ?1? ? ? B? , ? 2? ? ? A? , ?3? ? ? D? , ? 4? ? ?C ? 思考:例 3 表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结 合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗? 一般的, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化的快,

这时, 函数的图像就比较 “陡峭” ; 反之, 函数的图像就 “平缓” 一些. 如图所示, 函数 y ? f ( x) 在 ? 0 , b ? 或 ? a , 0? 内的图像“陡峭” ,在 ? b , ? ?? 或 ? ?? , a ? 内的图像“平缓” . 例7 求证:函数 y ? 2x3 ? 3x2 ?12x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.

' 2 2 证明:因为 y ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 6 x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 1?? x ? 2 ?

?

?

当 x ? ? ?2,1? 即 ?2 ? x ? 1 时, y ' ? 0 ,所以函数 y ? 2x3 ? 3x2 ?12x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内 是减函数. 说明:证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性步骤: (1)求导函数 f
' ' (2)判断 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的符号; ? x? ; '

(3)做出结论: f 例8

? x? ? 0 为增函数, f ' ? x? ? 0 为减函数.
2

已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax ? 值范围.

2 3 x ( x ? R ) 在区间 ??1,1? 上是增函数,求实数 a 的取 3

解 : f ' ( x) ? 4 ? 2ax ? 2 x2 , 因 为 f ? x ? 在 区 间 ? ?1,1? 上 是 增 函 数 , 所 以 f ' ( x) ? 0 对

x ???1,1? 恒成立,即 x2 ? ax ? 2 ? 0 对 x ???1,1? 恒成立,解之得: ?1 ? a ? 1
所以实数 a 的取值范围为 ? ?1,1? . 说明: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型, 常利用导数与函数单调性关 系:即“若函数单调递增,则 f ( x) ? 0 ;若函数单调递减,则 f ( x) ? 0 ”来求解,注意此
' '

时公式中的等号不能省略,否则漏解. 四.课堂练习 1.求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x3-6x2+7 2.f(x)=

1 +2x x

3. f(x)=sinx , x ? [0,2? ]

4. y=xlnx

2.课本练习 五.回顾总结 (1)函数的单调性与导数的关系 (2)求解函数 y ? f ( x) 单调区间 (3)证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性 六.布置作业


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