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2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1练习2.3.1双曲线及其标准方程.doc


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第二章

圆锥曲线与方程 双曲线

2.3 2.3.1

双曲线及其标准方程

A 级 基础巩固 一、选择题 1.已知 M(-2,0)、N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点 P 的轨迹是( A.双曲线 C.双曲线右边一支 B.双曲线左边一支 D.一条射线 )

解析:由双曲线的定义知动点 P 的轨迹是双曲线右支. 答案:C x2 y2 2. 设点 P 在双曲线 - =1 上, 若 F1、 F2 为双曲线的两个焦点, 且|PF1|∶|PF2|=1∶3, 9 16 则△ F1PF2 的周长等于( A.22 C.14 ) B.16 D.12

解析:由双曲线定义知|PF2|-|PF1|=6, 又|PF1|∶|PF2|=1∶3,由两式得|PF1|=3, |PF2|=9,进而易得周长为 22. 答案:A 1 3.平面内动点 P(x,y)与 A(-2,0),B(2,0)两点连线的斜率之积为 ,动点 P 的轨迹 4 方程为(
2

) x2 B. -y2=1 4 x2 D. -y2=1(x≠±2) 4

x A. +y2=1 4 x2 C. +y2=1(x≠±2) 4

1 y y 1 解析:依题意有 kPA·kPB= ,即 · = (x≠±2), 4 x+2 x-2 4 x2 整理得 -y2=1(x≠±2). 4 答案:D
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x2 y2 4.若 k∈R,则方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线的充要条件是( k+3 k+2 A.-3<k<-2 C.k<-3 或 k>-2 B.k<-3 D.k>-2

)

?k+3>0, ? 解析:由题意可知,? 解得-3<k<-2. ?k+2<0, ?

答案:A 5.已知双曲线的两个焦点为 F1(- 10,0)、F2( 10,0),M 是此双曲线上的一点,且 → → → → 满足MF1·MF2=0,|MF1|·|MF2|=2,则该双曲线的方程是( x2 A. -y2=1 9 x2 y2 C. - =1 3 7 答案:A 二、填空题 x2 y2 x2 y2 6.已知椭圆 + 2 =1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则实数 a=________. 4 a a 2 x2 y2 解析:由双曲线 - =1 可知 a>0,且焦点在 x 轴上. a 2 根据题意知 4-a2=a+2,即 a2+a-2=0, 解得 a=1 或 a=-2(舍去),故实数 a=1. 答案:1 x2 y2 7.已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4), P 是双曲线右支上的动点,则|PF| 4 12 +|PA|的最小值为________. 解析:设右焦点为 F1,依题意,|PF|=|PF1|+4, 所以|PF|+|PA|=|PF1|+4+|PA|=|PF1|+|PA|+4≥|AF1|+4=5+4=9. 答案:9 x2 y2 8.双曲线 - =1 的一个焦点到中心的距离为 3,那么 m=________. m m-5 答案:7 或-2 三、解答题 x2 y2 9.双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同焦点,且经过点( 15,4). 27 36 (1)求双曲线 C 的方程; (2)若 F1, F2 是双曲线 C 的两个焦点, 点 P 在双曲线 C 上, 且∠F1PF2=120°, 求△ F1PF2 的面积.
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)

y2 B.x2- =1 9 x2 y2 D. - =1 7 3

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解:(1)椭圆的焦点为 F1(0,-3),F2(0,3), y2 x2 设双曲线的方程为 2 - 2=1,则 a2+b2=32=9.① a b 又双曲线经过点( 15,4),所以 16 15 - =1,② a2 b2

解①②得 a2=4,b2=5 或 a2=36,b2=-27(舍去), y2 x2 所以所求双曲线 C 的方程为 - =1. 4 5 (2)由双曲线 C 的方程,知 a=2,b= 5,C=3. 设|PF1|=m, |PF2|=n,则|m-n|=2a=4, 平方得 m2-2mn+n2=16.① 在△ F1PF2 中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos 120°=m2+n2+mn=36.② 20 由①②得 mn= , 3 1 5 3 所以△ F1PF2 的面积为 S= mnsin 120°= . 2 3 10.如图,已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程.

解:设动圆 M 的半径为 r,则由已知得,|MC1|=r+ 2,|MC2|=r- 2, 所以|MC1|-|MC2|=2 2, 又 C1(-4,0),C2(4,0), 所以|C1C2|=8.所以 2 2<|C1C2|. 根据双曲线定义知,点 M 的轨迹是以 C1(-4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. 因为 a= 2,c=4,所以 b2=c2-a2=14. x2 y2 所以点 M 的轨迹方程是 - =1(x≥ 2). 2 14 B 级 能力提升 1. 已知方程(1+k)x -(1-k)y =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线, 则 k 的取值范围为( A.-1<k<1 C.k<-1 答案:A 2. 已知曲线 x2-y2=1 的两个焦点分别为 F1、 F2, P 为双曲线上一点, 且∠F1PF2=60°, 则|PF1|+|PF2|=________.
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2 2

)

B.k>1 D.k>1 或 k<-1

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解析:由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2, 所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4. 在△ F1PF2 中,由余弦定理得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60° 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=(2 2)2=8, 所以|PF1|·|PF2|=4. 所以(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=(4+2|PF1|·|PF2|)+2|PF1|·|PF2|=20. 所以|PF1|+|PF2|=2 5 答案:2 5 y2 3. 已知双曲线的方程为 x2- =1, 如图, 点 A 的坐标为(- 5, 0), B 是圆 x2+(y- 5)2 4 =1 上的点,点 M 在双曲线的右支上,求|MA|+|MB|的最小值.

解:设点 D 的坐标为( 5,0),则点 A,D 是双曲线的焦点, 由双曲线的定义,得|MA|-|MD|=2a=2. 所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|, 又 B 是圆 x2+(y- 5)2=1 上的点,圆的圆心为 C(0, 5),半径为 1, 故|BD|≥|CD|-1= 10-1, 从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥ 10+1, 当点 M,B 在线段 CD 上时取等号,即|MA|+|MB|的最小值为 10+1.

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