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2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质答案


2.4.2
一、选择题

抛物线的简单几何性质一
)

1.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( 1 A. 2 B.1 C.2 D.4

p 解析: 圆的标准方程为(x-3)2+y2=16,圆心(3,0)到抛物线准线 x=- 的距离为 4, 2 p ∴ =1,∴p=2,故选 C. 2 答案: C 2.边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,AB⊥x 轴,以 O 为顶点且过 A、B 的抛物线方 程是( ) 3 x 6 3 B.y2=± x 6 C.y2=- 3 x 6 3 D.y2=± x 3

A.y2=

解析: 当抛物线开口向右时,可设抛物线方程为 y2=2px(p>0). ∵A? 1 3 3 3 1? ,∴ = 3p,即 p= .∴y2= x. 4 12 6 ? 2 ,2? 3 x. 6

同理,当抛物线开口向左时,抛物线标准方程为 y2=- 答案: B

3.已知抛物线 y2=2px(p>0),以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与 y 轴的位置关系是 ( ) A.相交 解析: B.相离 C.相切 D.不确定

如图,|PP2|=|PP1|-|P1P2| 1 = (|MM1|+|FF1|)-|P1P2| 2 1 = (|MM2|+|M1M2|+|FO|+|OF1|)-P1P2 2

1

1 = (|MM2|+|OF|) 2 1 1 = |MM1|= |MF|, 2 2 ∴该圆与 y 轴相切. 答案: C 4.抛物线 y ? x 2 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是 A. (1,1) B. ( ( )

1 1 , ) 2 4

C. ( , )

3 9 2 4

D. (2,4) )

5.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水 面宽为( A. 6 m B. 2 6 m C.4.5m D.9m

6.抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是 6,则抛物线 的方程是 A. y 2=-2x 二、填空题 7. 抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴, 若 AB 的长为 4 3 , 则焦点到 AB 的距离为 . 2 8.过抛物线 y ? 2 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,则 ( ) C. y 2=2x D. y 2=-4x 或 y 2=-36x

B. y 2=-4x

AB =



→ → 9.已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A、B 满足AF=3FB,则弦 AB 的中点到准线的
距离为________. 解析: 如图,设 A(xA,yA),B(xB,yB),

由题意设 AB 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),
? ?y=k?x-1? 由? 2 , ?y =4x ?

消去 y 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
2

∴xA· xB=1, 又∵AF=3FB, ∴xA+3xB=4, 1 解得 xA=3,xB= , 3 ∴AB 的中点 M 到准线的距离|MN|= 答案: 三、解答题 10.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若 O A · A F =-4, 求点 A 的坐标. 解析: 由 y2=4x,知 F(1,0). ∵点 A 在 y2=4x 上, y2 ? ∴不妨设 A? ? 4 ,y?,
2 2 → y ,y? → ?1-y ,-y? 则 O A =? , A F = ?4 ? ? 4 ?.





xA+xB+2 8 = . 2 3

8 3

→ →

代入 O A · A F =-4 中,
2 y2? y ? 1 - 得 ? 4 ?+y(-y)=-4, 4

→ →

化简得 y4+12y2-64=0. ∴y2=4 或-16(舍去),y=± 2. ∴点 A 的坐标为(1,2)或(1,-2).

11.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶 5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4 米,高 2 米, 载货后船露出水面上的部分高 0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开 始不能通航?

3

12.如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点 到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM|= |BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程. ,|AN|=3,且

[来源:学科网 ZXXK]

13.(能力提高)已知直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点.(1) 若|AF|=4,求点 A 的坐标;(2)求线段 AB 的长的最小值.

4


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