3986.net
小网站 大容量 大智慧
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

第十五讲 二次函数的综合题及应用(2013-2014中考数学复习专题)


第十五讲

二次函数的综合题及应用

【重点考点例析】 考点一:确定二次函数关系式 2 例 1 (2013?牡丹江)如图,已知二次函数 y=x +bx+c 过点 A(1,0),C(0,-3) (1)求此二次函数的解析式; (2)在抛物线上存在一点 P 使△ABP 的面积为 10,请直接写出点 P 的坐标.

思路分析:(1)利用待定系数法把 A(1,0),C(0,-3)代入)二次函数 y=x +bx+c 中,即可算出 b、c 2 的值,进而得到函数解析式是 y=x +2x-3; (2)首先求出 A、B 两点坐标,再算出 AB 的长,再设 P(m,n),根据△ABP 的面积为 10 可以计算出 n 的值,然后再利用二次函数解析式计算出 m 的值即可得到 P 点坐标. 2 解:(1)∵二次函数 y=x +bx+c 过点 A(1,0),C(0,-3), ∴?

2

?1 ? b ? c ? 0 , ?c ? 3
?b ? 2 , ?c ? 3
2

解得 ?

∴二次函数的解析式为 y=x +2x-3; 2 (2)∵当 y=0 时,x +2x-3=0, 解得:x1=-3,x2=1; ∴A(1,0),B(-3,0), ∴AB=4, 设 P(m,n), ∵△ABP 的面积为 10, ∴

1 AB?|n|=10, 2

解得:n=±5, 2 当 n=5 时,m +2m-3=5, 解得:m=-4 或 2, ∴P(-4,5)(2,5); 2 当 n=-5 时,m +2m-3=-5, 方程无解, 故 P(-4,5)(2,5);

点评:此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式,以及求点的坐标,关键是掌握凡是函数图象经过的 点必能满足解析式. 对应训练 2 1.(2013?湖州)已知抛物线 y=-x +bx+c 经过点 A(3,0),B(-1,0). (1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线的顶点坐标. 2 1.解:(1)∵抛物线 y=-x +bx+c 经过点 A(3,0),B(-1,0). ∴抛物线的解析式为;y=-(x-3)(x+1), 2 即 y=-x +2x+3, 2 2 (2)∵抛物线的解析式为 y=-x +2x+3=-(x-1) +4, ∴抛物线的顶点坐标为:(1,4). 考点二:二次函数与 x 轴的交点问题 2 例 2 (2013?苏州)已知二次函数 y=x -3x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为(1,0),则关于 x 2 的一元二次方程 x -3x+m=0 的两实数根是( ) A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3 2 2 思路分析:关于 x 的一元二次方程 x -3x+m=0 的两实数根就是二次函数 y=x -3x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的两个交点的横坐标. 2 解:∵二次函数的解析式是 y=x -3x+m(m 为常数), ∴该抛物线的对称轴是:x=
2

3 . 2

又∵二次函数 y=x -3x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为(1,0), ∴根据抛物线的对称性质知,该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是(2,0), 2 ∴关于 x 的一元二次方程 x -3x+m=0 的两实数根分别是:x1=1,x2=2. 故选 B. 点评:本题考查了抛物线与 x 轴的交点.解答该题时,也可以利用代入法求得 m 的值,然后来求关于 x 的 2 一元二次方程 x -3x+m=0 的两实数根. 对应训练 2 2.(2013?株洲)二次函数 y=2x +mx+8 的图象如图所示,则 m 的值是( ) A.-8 B.8 C.±8 D.6

2.B 考点三:二次函数的实际应用 例 3 (2013?营口)为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收 入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克 20 元,市场调查发现,该

产品每天的销售量 y(千克)与销售价 x(元/千克)有如下关系:y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润 为 w 元. (1)求 w 与 x 之间的函数关系式. (2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元,该农户想要每天获得 150 元的销售利润, 销售价应定为每千克多少元? 思路分析:(1)根据销售额=销售量×销售价单 x,列出函数关系式; (2)用配方法将(2)的函数关系式变形,利用二次函数的性质求最大值; (3)把 y=150 代入(2)的函数关系式中,解一元二次方程求 x,根据 x 的取值范围求 x 的值. 解:(1)由题意得出: w=(x-20)?y =(x-20)(-2x+80) 2 =-2x +120x-1600, 2 故 w 与 x 的函数关系式为:w=-2x +120x-1600; 2 2 (2)w=-2x +120x-1600=-2(x-30) +200, ∵-2<0, ∴当 x=30 时,w 有最大值.w 最大值为 200. 答:该产品销售价定为每千克 30 元时,每天销售利润最大,最大销售利润 200 元. 2 (3)当 w=150 时,可得方程-2(x-30) +200=150. 解得 x^=25,x2=35. ∵35>28, ∴x2=35 不符合题意,应舍去. 答:该农户想要每天获得 150 元的销售利润,销售价应定为每千克 25 元. 点评:本题考查了二次函数的运用.关键是根据题意列出函数关系式,运用二次函数的性质解决问题. 对应训练 3.(2013?武汉)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不 同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表): 温度 x/℃ 植物每天高度增长量 y/mm ? ? -4 41 -2 49 0 49 2 41 4 25 4.5 19.75 ? ?

由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度 x 的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数 和二次函数中的一种. (1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由; (2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大? (3)如果实验室温度保持不变,在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm,那么实验室的温度 x 应该在哪个范围内选择?请直接写出结果. 2 3.解:(1)选择二次函数,设 y=ax +bx+c(a≠0), ∵x=-2 时,y=49, x=0 时,y=49, x=2 时,y=41,

? 4a ? 2b ? c ? 49 ? ∴ ?c ? 49 , ? 4a ? 2b ? c ? 41 ?

? a ? ?1 ? 解得 ?b ? ?2 , ? c ? 49 ?
所以,y 关于 x 的函数关系式为 y=-x -2x+49; 不选另外两个函数的理由: ∵点(0,49)不可能在反比例函数图象上, ∴y 不是 x 的反比例函数, ∵点(-4,41)(-2,49)(2,41)不在同一直线上, ∴y 不是 x 的一次函数; 2 2 (2)由(1)得,y=-x -2x+49=-(x+1) +50, ∵a=-1<0, ∴当 x=-1 时,y 有最大值为 50, 即当温度为-1℃时,这种作物每天高度增长量最大; (3)∵10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm, ∴平均每天该植物高度增长量超过 25mm, 2 当 y=25 时,-x -2x+49=25, 2 整理得,x +2x-24=0, 解得 x1=-6,x2=4, ∴在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm,实验室的温度应保持在-6<x<4℃. 考点四:二次函数综合性题目 2 例 4 (2013?自贡)如图,已知抛物线 y=ax +bx-2(a≠0)与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,直 线 BD 交抛物线于点 D,并且 D(2,3),tan∠DBA=
2

1 . 2

(1)求抛物线的解析式; (2)已知点 M 为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点 B、M、C、A,求四边形 BMCA 面积的最大值; (3)在(2)中四边形 BMCA 面积最大的条件下,过点 M 作直线平行于 y 轴,在这条直线上是否存在一个 以 Q 点为圆心,OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆?若存在,求出圆心 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

思路分析:(1)如答图 1 所示,利用已知条件求出点 B 的坐标,然后用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)如答图 1 所示,首先求出四边形 BMCA 面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值; (3)本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解.如答图 2 所示,首先求出直线 AC 与直线 x=2 的 交点 F 的坐标,从而确定了 Rt△AGF 的各个边长;然后证明 Rt△AGF∽Rt△QEF,利用相似线段比例关系列 出方程,求出点 Q 的坐标. 解:(1)如答图 1 所示,过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E,则 DE=3,OE=2.

∵tan∠DBA=

DE 1 = , BE 2

∴BE=6, ∴OB=BE-OE=4, ∴B(-4,0). 2 ∵点 B(-4,0)、D(2,3)在抛物线 y=ax +bx-2(a≠0)上, ∴?

?16a ? 4b ? 2 ? 0 , ? 4a ? 2b ? 2 ? 3

1 ? a? ? ? 2 解得 ? , ?b ? 3 ? ? 2
∴抛物线的解析式为:y=

1 2 3 x + x-2. 2 2 1 2 3 x + x-2, 2 2

(2)抛物线的解析式为:y=

令 x=0,得 y=-2,∴C(0,-2), 令 y=0,得 x=-4 或 1,∴A(1,0). 设点 M 坐标为(m,n)(m<0,n<0), 如答图 1 所示,过点 M 作 MF⊥x 轴于点 F,则 MF=-n,OF=-m,BF=4+m. S 四边形 BMCA=S△BMF+S 梯形 MFOC+S△AOC

1 1 1 BF?MF+ (MF+OC)?OF+ OA?OC 2 2 2 1 1 1 = (4+m)×(-n)+ (-n+2)×(-m)+ ×1×2 2 2 2
= =-2n-m+1

∵点 M(m,n)在抛物线 y= ∴n=

1 2 3 x + x-2 上, 2 2

1 2 3 m + m-2,代入上式得: 2 2
2 2

S 四边形 BMCA=-m -4m+5=-(m+2) +9, ∴当 m=-2 时,四边形 BMCA 面积有最大值,最大值为 9.

(3)假设存在这样的⊙Q. 如答图 2 所示,设直线 x=-2 与 x 轴交于点 G,与直线 AC 交于点 F. 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,将 A(1,0)、C(0,-2)代入得:

?k ? b ? 0 , ? ?b ? ?2
解得:k=2,b=-2, ∴直线 AC 解析式为:y=2x-2, 令 x=-2,得 y=-6,∴F(-2,-6),GF=6. 在 Rt△AGF 中,由勾股定理得:AF=

AG 2 ? GF 2 = 32 ? 62 ? 3 5 .
2 2

设 Q(-2,n),则在 Rt△AGF 中,由勾股定理得:OQ= OG ? QF = n ? 4 .
2

设⊙Q 与直线 AC 相切于点 E,则 QE=OQ= n ? 4 .
2

在 Rt△AGF 与 Rt△QEF 中, ∵∠AGF=∠QEF=90°,∠AFG=∠QFE, ∴Rt△AGF∽Rt△QEF, ∴

3 5 3 AF AG ? ,即 = , 2 6?n QF QE n ?4
2

化简得:n -3n-4=0,解得 n=4 或 n=-1. ∴存在一个以 Q 点为圆心,OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆,点 Q 的坐标为(-2,4)或(-2,-1). 点评:本题是中考压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相 似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点,涉及考点众多,有一

定的难度.第(2)问面积最大值的问题,利用二次函数的最值解决;第(3)问为存在型问题,首先假设 存在,然后利用已知条件,求出符合条件的点 Q 坐标. 对应训练 2 4.(2013?张家界)如图,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的图象过点 C(0,1),顶点为 Q(2,3),点 D 在 x 轴正半轴上,且 OD=OC. (1)求直线 CD 的解析式; (2)求抛物线的解析式; (3)将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45°所得直线与抛物线相交于另一点 E,求证:△CEQ∽△CDO; (4)在(3)的条件下,若点 P 是线段 QE 上的动点,点 F 是线段 OD 上的动点,问:在 P 点和 F 点移动过 程中,△PCF 的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

4.解:(1)∵C(0,1),OD=OC,∴D 点坐标为(1,0). 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b(k≠0), 将 C(0,1),D(1,0)代入得: ? 解得:b=1,k=-1, ∴直线 CD 的解析式为:y=-x+1. (2)设抛物线的解析式为 y=a(x-2) +3, 将 C(0,1)代入得:1=a×(-2) +3,解得 a=∴y=2 2

?b ? 1 , ?k ? b ? 0

1 . 2

1 1 2 2 (x-2) +3=- x +2x+1. 2 2

(3)证明:由题意可知,∠ECD=45°, ∵OC=OD,且 OC⊥OD,∴△OCD 为等腰直角三角形,∠ODC=45°, ∴∠ECD=∠ODC,∴CE∥x 轴,则点 C、E 关于对称轴(直线 x=2)对称, ∴点 E 的坐标为(4,1). 如答图①所示,设对称轴(直线 x=2)与 CE 交于点 F,则 F(2,1),

∴ME=CM=QM=2,∴△QME 与△QMC 均为等腰直角三角形,∴∠QEC=∠QCE=45°. 又∵△OCD 为等腰直角三角形,∴∠ODC=∠OCD=45°, ∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°, ∴△CEQ∽△CDO.

(4)存在. 如答图②所示,作点 C 关于直线 QE 的对称点 C′,作点 C 关于 x 轴的对称点 C″,连接 C′C″,交 OD 于 点 F,交 QE 于点 P,则△PCF 即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,△PCF 的周长等 于线段 C′C″的长度. (证明如下: 不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F′, 在线段 QE 上取异于点 P 的任一点 P′, 连接 F′C″, F′P′,P′C′. 由轴对称的性质可知,△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′; 而 F′C″+F′P′+P′C′是点 C′,C″之间的折线段, 由两点之间线段最短可知:F′C″+F′P′+P′C′>C′C″, 即△P′CF′的周长大于△PCE 的周长.) 如答图③所示,连接 C′E,

∵C,C′关于直线 QE 对称,△QCE 为等腰直角三角形, ∴△QC′E 为等腰直角三角形, ∴△CEC′为等腰直角三角形, ∴点 C′的坐标为(4,5); ∵C,C″关于 x 轴对称,∴点 C″的坐标为(-1,0). 过点 C′作 C′N⊥y 轴于点 N,则 NC′=4,NC″=4+1+1=6, 在 Rt△C′NC″中,由勾股定理得:C′C″= NC ? ? NC ?? ?
2 2

42 ? 62 ? 2 13 .

综上所述,在 P 点和 F 点移动过程中,△PCF 的周长存在最小值,最小值为 2 13 .

【聚焦山东中考】 2 1. (2013?淄博)如图,Rt△OAB 的顶点 A(-2,4)在抛物线 y=ax 上,将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°, 得到△OCD,边 CD 与该抛物线交于点 P,则点 P 的坐标为( ) A. ( 2, 2) B. (2,2) C. ( 2 ,2) D. (2, 2 )

1.C 2.(2013?滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形.其中,抽屉底面周长 为 180cm,高为 20cm.请通过计算说明,当底面的宽 x 为何值时,抽屉的体积 y 最大?最大为多少?(材 质及其厚度等暂忽略不计). 2.解:已知抽屉底面宽为 x cm,则底面长为 180÷2-x=(90-x)cm. 由题意得:y=x(90-x)×20 2 =-20(x -90x) 2 =-20(x-45) +40500 当 x=45 时,y 有最大值,最大值为 40500. 3 答:当抽屉底面宽为 45cm 时,抽屉的体积最大,最大体积为 40500cm . 3.(2013?日照)一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车 100 辆.公司在经营中发现每辆车的月租金 x(元) 与每月租出的车辆数(y)有如下关系: x y 3O00 100 3200 96 3500 90 4000 80

(1)观察表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数 y(辆) 与每辆车的月租金 x(元)之间的关系式. (2) 已知租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. 用含 x (x≥3000) 的代数式填表: 租出的车辆数 租出每辆车的月收益 未租出的车辆数 所有未租出的车辆每月的维护费

(3)若你是该公司的经理,你会将每辆车的月租金定为多少元,才能使公司获得最大月收益?请求出公 司的最大月收益是多少元. 3.解:(1)由表格数据可知 y 与 x 是一次函数关系, 设其解析式为 y=kx+b.

1 ? ?3000k ? b ? 100 ?k ? ? 由题: ? ,解之得: ? 50 , ?3200k ? b ? 96 ? ?b ? 160
∴y 与 x 间的函数关系是 y=-

1 x+160. 50

(2)如下表: 租出的车辆数 租出的车每辆的月收益 -

1 x+160 50
x-150

未租出的车辆数 所有未租出的车辆每月的维护费

1 x-60 50
x-3000

(3)设租赁公司获得的月收益为 W 元,依题意可得:

1 x+160)(x-150)-(x-3000) 50 1 2 =(x +163x-24000)-(x-3000) 50 1 2 =x +162x-21000 50 1 2 =(x-4050) +30705 50
W=(当 x=4050 时,Wmax=307050, 即:当每辆车的月租金为 4050 元时,公司获得最大月收益 307050 元. 故答案为:-

1 1 x+160, x-60. 50 50
2

4. (2013?枣庄)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=x +bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,A 点在 原点的左侧,B 点的坐标为(3,0) ,与 y 轴交于 C(0,-3)点,点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点. (1)求这个二次函数的表达式. (2)连接 PO、PC,并把△POC 沿 CO 翻折,得到四边形 POP′C,那么是否存在点 P,使四边形 POP′C 为 菱形?若存在,请求出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大?求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面 积.

4.解: (1)将 B、C 两点的坐标代入得 ?

?9 ? 3b ? c ? 0 , ?c ? -3

解得: ?

?b ? -2 ; ?c ? -3
2

所以二次函数的表达式为:y=x -2x-3。 (2)存在点 P,使四边形 POP′C 为菱形;

如图,设 P 点坐标为(x,x -2x-3) ,PP′交 CO 于 E 若四边形 POP′C 是菱形,则有 PC=PO; 连接 PP′,则 PE⊥CO 于 E, ∴OE=EC= ∴y=2

2

3 , 2

3 ; 2 3 2

∴x -2x-3=-

解得 x1=

2 ? 10 2 ? 10 ,x2= (不合题意,舍去) 2 2 2 ? 10 3 ,- ) 。 2 2

∴P 点的坐标为(

(3) 过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q, 与 OB 交于点 F, 设P (x, x -2x-3) , 易得,直线 BC 的解析式为 y=x-3 则 Q 点的坐标为(x,x-3) ; S 四边形 ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

2

1 1 1 AB?OC+ QP?BF+ QP?OF 2 2 2 1 1 2 = ×4×3+ (-x +3x)×3 2 2 3 3 2 75 =(x- ) + 。 2 2 8 3 当 x= 时,四边形 ABPC 的面积最大 2 3 15 75 此时 P 点的坐标为( ,),四边形 ABPC 的面积的最大值为 . 2 4 8
=

5.(2013?潍坊)为了改善市民的生活环境,我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场,在 Rt△ABC 内修建矩形水池 DEFG,使定点 D,E 在斜边 AB 上,F,G 分别在直角边 BC,AC 上;又分别以 AB,BC,AC 为直径作半圆,它们交出两弯新月(图中阴影部分),两弯新月部分栽 植花草;其余空地铺设瓷砖,其中 AB=24 3 米,∠BAC=60°,设 EF=x 米,DE=y 米. (1)求 y 与 x 之间的函数解析式; (2)当 x 为何值时,矩形 DEFG 的面积最大?最大面积是多少? (3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积,并求当 x 为何值时,矩形 DEFG 的面积及等于两弯新月面积的

1 ? 3

5.解:(1)在 Rt△ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=24 3 米,∠BAC=60°, ∴AC=

1 AB=12 3 米,BC= 3 AC=36 米,∠ABC=30°, 2
3 DG EF = x,BE= = 3 x, ? 3 tan 60 tan 30?

∴AD=

∵AD+DE+BE=AB, ∴

3 x+y+ 3 x=24 3 , 3 3 4 3 x- 3 x=24 3 x, 3 3 4 3 x(0<x<18); 3

∴y=24 3 -

即 y 与 x 之间的函数解析式为 y=24 3 -

(2)∵y=24 3 +108 3 ,

4 3 4 3 4 3 2 4 3 x,∴矩形 DEFG 的面积=xy=x(24 3 x)=x +24 3 x=(x-9) 3 3 3 3

2

∴当 x=9 米时,矩形 DEFG 的面积最大,最大面积是 108 3 平方米;

(3)记 AC、BC、AB 为直径的半圆面积分别为 S1、S2、S3,两弯新月面积为 S, 则 S1=
2

1 1 1 2 2 2 π AC ,S2= π BC ,S3= π AB , 8 8 8
2 2

∵AC +BC =AB , ∴S1+S2=S3, ∴S1+S2-S=S3-S△ABC, ∴S=S△ABC,

1 1 AC?BC= ×12 3 ×36=216 3 (平方米). 2 2 1 如果矩形 DEFG 的面积及等于两弯新月面积的 , 3
∴两弯新月的面积 S= 那么-

4 3 1 2 (x-9) +108 3 = ×216 3 , 3 3
2

化简整理,得(x-9) =27, 解得 x=9±3 3 ,符合题意. 所以当 x 为(9±3 3 )米时,矩形 DEFG 的面积及等于两弯新月面积的

1 . 3
2

6. (2013?烟台)如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是边长为 2 的正方形,二次函数 y=ax +bx+c 的 图象经过点 A,B,与 x 轴分别交于点 E,F,且点 E 的坐标为(-

2 ,0 ) ,以 0C 为直径作半圆,圆心为 D. 3

(1)求二次函数的解析式; (2)求证:直线 BE 是⊙D 的切线; (3)若直线 BE 与抛物线的对称轴交点为 P,M 是线段 CB 上的一个动点(点 M 与点 B,C 不重合) ,过点 M 作 MN∥BE 交 x 轴与点 N,连结 PM,PN,设 CM 的长为 t,△PMN 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并写 出自变量 t 的取值范围.S 是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.

6.解: (1)由题意,得 A(0,2) ,B(2,2) ,E 的坐标为(-

2 ,0) , 3

9 ? ? ?a ? - 8 ?c ? 2 ? ? 9 ? 则 ? 2 ? 4a ? 2 ,解得 ?b ? , 4 ?4 2 ? ? a- b?c ?0 ?c ? 2 ?9 3 ? ?
∴该二次函数的解析式为:y=-

9 2 9 x + x+2; 8 4

(2)如图 1,过点 D 作 DG⊥BE 于点 G. 由题意,得 ED=

2 5 2 8 +1= ,EC=2+ = ,BC=2, 3 3 3 3
64 10 ?4= . 9 3

∴BE=

∵∠BEC=∠DEG,∠EGD=∠ECB=90°, ∴△EGD∽△ECB, ∴

DG DE , ? BC BE

∴DG=1. ∵⊙D 的半径是 1,且 DG⊥BE, ∴BE 是⊙D 的切线; (3)如图 2,由题意,得 E(-

2 ,0) ,B(2,2) . 3

设直线 BE 为 y=kx+h(k≠0) .则

? 2k ? h ? 2 ? , ? 2 ? ? h ? 0 ? ? 3

3 ? k ? ? ? 4, 解得, ? 1 ?h ? ? ? 2
∴直线 BE 为:y=

3 1 x+ . 4 2 5 5 ,即 P(1, ) . 4 4

∵直线 BE 与抛物线的对称轴交点为 P,对称轴直线为 x=1, ∴点 P 的纵坐标 y= ∵MN∥BE, ∴∠MNC=∠BEC. ∵∠C=∠C=90°, ∴△MNC∽△BEC,

CN MC , ? EC BC 4 CN t ∴ ? ,则 CN= t, 8 3 2 3 5 ∴DN= t-1, 4 1 1 4 5 5 5 ∴S△PND= DN?PD= ( t-1)? = t- . 2 2 3 4 6 8 1 1 4 2 2 S△MNC= CN?CM= × t?t= t . 2 2 3 3 1 1 5 5 1 S 梯形 PDCM= (PD+CM)?CD= ?( +t)?1= + t. 2 2 4 8 2 2 4 ∵S=S△PND+S 梯形 PDCM-S△MNC=- t2+ t(0<t<2) . 3 3 2 4 ∵抛物线 S=- t2+ t(0<t<2)的开口方向向下, 3 3 2 ∴S 存在最大值.当 t=1 时,S 最大= . 3 1 2 7. (2013?泰安)如图,抛物线 y= x +bx+c 与 y 轴交于点 C(0,-4) ,与 x 轴交于点 A,B,且 B 点的坐 2
∴ 标为(2,0) (1)求该抛物线的解析式. (2)若点 P 是 AB 上的一动点,过点 P 作 PE∥AC,交 BC 于 E,连接 CP,求△PCE 面积的最大值. (3)若点 D 为 OA 的中点,点 M 是线段 AC 上一点,且△OMD 为等腰三角形,求 M 点的坐标.

7.解: (1)把点 C(0,-4) ,B(2,0)分别代入 y=

1 2 x +bx+c 中, 2

?c ? -4 ? 得 ?1 , ? 22 ? 2b ? c ? 0 ? ?2
解得 ?

?b ? 1 。 ?c ? -4

∴该抛物线的解析式为 y= (2)令 y=0,即

1 2 x +x-4. 2

1 2 x +x-4=0,解得 x1=-4,x2=2, 2 1 ∴A(-4,0) ,S△ABC= AB?OC=12. 2
设 P 点坐标为(x,0) ,则 PB=2-x. ∵PE∥AC, ∴∠BPE=∠BAC,∠BEP=∠BCA, ∴△PBE∽△ABC, ∴

SVPBE PB 2 S 2? x 2 ?( ) ,即 VPBE ? ( ) , SVABC AB 12 6

1 2 (2-x) . 3 1 1 1 2 S△PCE=S△PCB-S△PBE= PB?OC-S△PBE= ×(2-x)×4- (2-x) 2 2 3 1 2 2 8 =- x - x+ 3 3 3 1 2 =- (x+1) +3 3
化简得:S△PBE= ∴当 x=-1 时,S△PCE 的最大值为 3.

(3)△OMD 为等腰三角形,可能有三种情形: (I)当 DM=DO 时,如答图①所示. DO=DM=DA=2, ∴∠OAC=∠AMD=45°, ∴∠ADM=90°,

∴M 点的坐标为(-2,-2) ; (II)当 MD=MO 时,如答图②所示. 过点 M 作 MN⊥OD 于点 N,则点 N 为 OD 的中点, ∴DN=ON=1,AN=AD+DN=3, 又△AMN 为等腰直角三角形,∴MN=AN=3, ∴M 点的坐标为(-1,-3) ; (III)当 OD=OM 时, ∵△OAC 为等腰直角三角形, ∴点 O 到 AC 的距离为

2 ×4=2 2 ,即 AC 上的点与点 O 之间的最小距离为 2 2 . 2

∵2 2 >2,∴OD=OM 的情况不存在. 综上所述,点 M 的坐标为(-2,-2)或(-1,-3) . 8. (2013?威海)如图,在平面直角坐标系中,直线 y=

1 3 1 x+ 与直线 y=x 交于点 A,点 B 在直线 y= x+ 2 2 2

3 2 上,∠BOA=90°.抛物线 y=ax +bx+c 过点 A,O,B,顶点为点 E. 2
(1)求点 A,B 的坐标; (2)求抛物线的函数表达式及顶点 E 的坐标; (3)设直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C,直线 BC 交抛物线于点 D,过点 E 作 FE∥x 轴,交直线 AB 于

点 F,连接 OD,CF,CF 交 x 轴于点 M.试判断 OD 与 CF 是否平行,并说明理由.

8.解: (1)由直线 y=

1 3 x+ 与直线 y=x 交于点 A,得 2 2

?y ? x ? ? 1 3, y ? x? ? ? 2 2
解得, ?

?x ? 3 , ?y ? 3

∴点 A 的坐标是(3,3) . ∵∠BOA=90°, ∴OB⊥OA, ∴直线 OB 的解析式为 y=-x. 又∵点 B 在直线 y=

1 3 x+ 上, 2 2

? y ? ?x ? ∴? 1 3, y ? x? ? ? 2 2
解得, ?

? x ? ?1 , ?y ?1

∴点 B 的坐标是(-1,1) . 综上所述,点 A、B 的坐标分别为(3,3) , (-1,1) . (2)由(1)知,点 A、B 的坐标分别为(3,3) , (-1,1) . 2 ∵抛物线 y=ax +bx+c 过点 A,O,B,

?9a ? 3b ? c ? 3 ? ∴ ?c ? 0 , ?a - b ? c ? 1 ?

1 ? ?a ? 2 ? 1 ? 解得 ?b ? ? , 2 ? ?c ? 0 ? ?

1 2 1 1 1 2 1 x - x,或 y= (x- ) - . 2 2 2 2 8 1 1 ∴顶点 E 的坐标是( ,- ) ; 2 8
∴该抛物线的解析式为 y= (3)OD 与 CF 平行.理由如下: 由(2)知,抛物线的对称轴是 x=

1 . 2

∵直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C, ∴C(

1 1 , ) . 2 2 1 1 , )代入,得 2 2

设直线 BC 的表达式为 y=kx+b(k≠0) ,把 B(-1,1) ,C(

?-k ? b ? 12 ? ?1 1, k ? b ? ? ?2 2

1 ? k ?? ? 3 解得 ? , ?b ? 2 ? 3 ?
∴直线 BC 的解析式为 y=-

1 2 x+ . 3 3

∵直线 BC 与抛物线交于点 B、D,

1 2 1 2 1 x+ = x - x, 3 3 2 2 4 解得,x1= ,x2=-1. 3
∴-

4 1 2 2 代入 y=- x+ ,得 y1= , 3 3 3 9 4 2 ∴点 D 的坐标是( , ) . 3 9
把 x1= 如图,作 DN⊥x 轴于点 N. 则 tan∠DON=

DN 1 ? . ON 6 1 1 ,- ) . 2 8

∵FE∥x 轴,点 E 的坐标为( ∴点 F 的纵坐标是-

1 . 8 1 1 3 13 把 y=- 代入 y= x+ ,得 x=- , 8 2 2 4 13 1 ∴点 F 的坐标是(,- ) , 4 8 1 13 15 ∴EF= + = . 2 4 8 1 1 5 ∵CE= + = , 2 8 8 CE 1 ∴tan∠CFE= ? , EF 6
∴∠CFE=∠DON. 又∵FE∥x 轴, ∴∠CMN=∠CFE, ∴∠CMN=∠DON, ∴OD∥CF,即 OD 与 CF 平行. 2 9. (2013?潍坊)如图,抛物线 y=ax +bx+c 关于直线 x=1 对称,与坐标轴交与 A,B,C 三点,且 AB=4,点 D(2,

3 )在抛物线上,直线 l 是一次函数 y=kx-2(k≠0)的图象,点 O 是坐标原点. 2

(1)求抛物线的解析式; (2)若直线 l 平分四边形 OBDC 的面积,求 k 的值; (3)把抛物线向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线与直线 l 交于 M,N 两点,问在 y 轴 正半轴上是否存在一定点 P,使得不论 k 取何值,直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称?若存在,求出 P 点坐 标;若不存在,请说明理由.

9.解: (1)因为抛物线关于直线 x=1 对称,AB=4,所以 A(-1,0) ,B(3,0) ,

设抛物线的解析式为 y=a(x+1) (x-3) ,

3 )在抛物线上, 2 3 1 ∴ =a×3×(-1) ,解得 a=- , 2 2 1 1 2 3 ∴抛物线解析式为:y=- (x+1) (x-3)=- x +x+ . 2 2 2
∵点 D(2,

1 2 3 3 3 x +x+ ,令 x=0,得 y= ,∴C(0, ) , 2 2 2 2 3 3 ∵D(2, ) ,∴CD∥OB,直线 CD 解析式为 y= . 2 2 2 3 7 直线 l 解析式为 y=kx-2,令 y=0,得 x= ;令 y= ,得 x= ; k 2 2k
(2)抛物线解析式为:y=-

如答图 1 所示,设直线 l 分别与 OB、CD 交于点 E、F,则 E( OE=

2 7 3 ,0) , F( , ) , k 2k 2

2 2 7 7 ,BE=3- ,CF= ,DF=2. k k 2k 2k

∵直线 l 平分四边形 OBDC 的面积, ∴S 梯形 OEFC=S 梯形 FDBE,

1 1 (OE+CF)?OC= (FD+BE)?OC, 2 2 2 7 2 7 ∴OE+CF=FD+BE,即: + =(3- )+(2) , k 2k k 2k 11 11 解方程得:k= ,经检验 k= 是原方程的解且符合题意, 5 5 11 ∴k= . 5


(3)假设存在符合题意的点 P,其坐标为(0,t) . 抛物线解析式为:y=-

1 2 3 1 2 x +x+ =- (x-1) +2, 2 2 2 1 2 x. 2

把抛物线向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线解析式为:y=依题意画出图形,如答图 2 所示,过点 M 作 MD⊥y 轴于点 D,NE⊥y 轴于点 E, 设 M(xm,ym) ,N(xn,yen) ,则 MD=-xm,PD=t-ym;NE=xn,PE=t-yen. ∵直线 PM 与 PN 关于 y 轴对称,∴∠MPD=∠NPE, 又∠MDP=∠NEP=90°, ∴Rt△PMD∽Rt△PNE, ∴

?x t ? ym MD PD ,即 m ? ? xn t ? yn NE PE

①,

∵点 M、N 在直线 y=kx-2 上,∴ym=kxm-2,yen=kxn-2, 代入①式化简得: (t+2) (xm+xn)=2kxmxn ② 把 y=kx-2 代入 y=-

1 2 2 x. ,整理得:x +2kx-4=0, 2

∴xm+xn=-2k,xmxn=-4,代入②式解得:t=2,符合条件. 所以在 y 轴正半轴上存在一个定点 P(0,2) ,使得不论 k 取何值,直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称. 【备考真题过关】 一、选择题 2 1.(2013?大庆)已知函数 y=x +2x-3,当 x=m 时,y<0,则 m 的值可能是( ) A.-4 B.0 C.2 D.3 1.B 2 2.(2013?南昌)若二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴有两个交点,坐标分别为(x1,0),(x2, 0),且 x1<x2,图象上有一点 M(x0,y0)在 x 轴下方,则下列判断正确的是( ) 2 A.a>0 B.b -4ac≥0 C.x1<x0<x2 D.a(x0-x1)(x0-x2)<0 2.D 3. (2013?湖州)如图,在 10×10 的网格中,每个小方格都是边长为 1 的小正方形,每个小正方形的顶点 称为格点.若抛物线经过图中的三个格点,则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角 形”.以 O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,若抛物线与网格对角线 OB 的两个交点之间的距

离为 3 2 ,且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点,则满足上述条件且对 称轴平行于 y 轴的抛物线条数是( A.16 B.15 ) C.14 D.13

3.C 二、填空题 2 4.(2013?宿迁)若函数 y=mx +2x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点,则常数 m 的值是 . 4.0 或 1 2 5. (2013?贵港)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,若动点 P 在抛物线 y=ax 上,⊙P 恒过点 F(0,n) ,且 与直线 y=-n 始终保持相切,则 n= (用含 a 的代数式表示) .

5.

1 4a 2 2 x 的图象如图,点 A0 位于坐标原点,点 A1,A2,A3?An 在 y 轴的正半轴上, 3

6. (2013?锦州)二次函数 y=

点 B1,B2,B3?Bn 在二次函数位于第一象限的图象上,点 C1,C2,C3?Cn 在二次函数位于第二象限的图象上, 四边形 A0B1A1C1,四边形 A1B2A2C2,四边形 A2B3A3C3?四边形 An-1BnAnCn 都是菱形,∠A0B1A1=∠A1B2A1=∠A2B3A3?= ∠An-1BnAn=60°,菱形 An-1BnAnCn 的周长为 .

6.4n 三、解答题

7.(2013?鞍山)某商场购进一批单价为 4 元的日用品.若按每件 5 元的价格销售,每月能卖出 3 万件; 若按每件 6 元的价格销售,每月能卖出 2 万件,假定每月销售件数 y(件)与价格 x(元/件)之间满足一 次函数关系. (1)试求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少? 7.解:(1)由题意,可设 y=kx+b, 把(5,30000),(6,20000)代入得: ?

?30000 ? 5t ? b , ?20000 ? 6t ? b

解得: ?

?k ? ?10000 , ?b ? 80000

所以 y 与 x 之间的关系式为:y=-10000x+80000; (2)设利润为 W,则 W=(x-4)(-10000x+80000) =-10000(x-4)(x-8) 2 =-10000(x -12x+32) 2 =-10000[(x-6) -4] 2 =-10000(x-6) +40000 所以当 x=6 时,W 取得最大值,最大值为 40000 元. 答:当销售价格定为 6 元时,每月的利润最大,每月的最大利润为 40000 元. 8.(2013?乌鲁木齐)某公司销售一种进价为 20 元/个的计算机,其销售量 y(万个)与销售价格 x(元/ 个)的变化如下表: 价格 x(元/个) 销售量 y(万个) ? ? 30 5 40 4 50 3 60 2 ? ?

同时,销售过程中的其他开支(不含造价)总计 40 万元. (1)观察并分析表中的 y 与 x 之间的对应关系,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关知 识写出 y(万个)与 x(元/个)的函数解析式. (2)求出该公司销售这种计算器的净得利润 z(万个)与销售价格 x(元/个)的函数解析式,销售价格 定为多少元时净得利润最大,最大值是多少? (3)该公司要求净得利润不能低于 40 万元,请写出销售价格 x(元/个)的取值范围,若还需考虑销售量 尽可能大,销售价格应定为多少元? 8.解:(1)根据表格中数据可得出:y 与 x 是一次函数关系, 设解析式为:y=ax+b, 则?

?30a ? b ? 5 , ?40a ? b ? 4

1 ? ?a ? ? 解得: ? 10 , ? ?b ? 8
故函数解析式为:y=-

1 x+8; 10

(2)根据题意得出:

z=(x-20)y-40=(x-20)(2

1 1 2 1 1 2 x+8)-40=x +10x-200=(x -100x)-200=[(x-50) 10 10 10 10

-2500]-200=-

1 2 (x-50) +50, 10

故销售价格定为 50 元/个时净得利润最大,最大值是 50 万元.

(3)当公司要求净得利润为 40 万元时,即-

1 2 (x-50) +50=40,解得:x1=40,x2=60. 10

如上图,通过观察函数 y=-

1 2 (x-50) +50 的图象,可知按照公司要求使净得利润不低于 40 万元,则销 10 1 x+8,y 随 x 的增大而减少, 10

售价格的取值范围为:40≤x≤60. 而 y 与 x 的函数关系式为:y=-

9.(2013?达州)今年,6 月 12 日为端午节.在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为 2 元的粽 子的销售情况.请根据小丽提供的信息,解答小华和小明提出的问题.

(1)小华的问题解答: (2)小明的问题解答:

; .

9.解:(1)设定价为 x 元,利润为 y 元,则销售量为:(500由题意得,y=(x-2)(5002

x?3 ×10) 0.1

x?3 ×10), 0.1

=-100x +1000x-1600 2 =-100(x-5) +900, 当 y=800 时, 2 -100(x-5) +900=800, 解得:x=4 或 x=6, ∵售价不能超过进价的 240%, ∴x≤2×240%, 即 x≤4.8, 故 x=4, 即小华问题的解答为:当定价为 4 元时,能实现每天 800 元的销售利润; (2)由(1)得 y=-100(x-5) +900, ∵-100<0, ∴函数图象开口向下,且对称轴为 x=5, ∵x≤4.8, 故当 x=4.8 时函数能取最大值, 2 即 ymax=-100(4.8-5) +900=896. 故小明的问题简答为:800 元的销售利润不是最多,当定价为 4.8 元是,每天的销售利润最大. 故答案为:当定价为 4 元时,能实现每天 800 元的销售利润;800 元的销售利润不是最多,当定价为 4.8 元是,每天的销售利润最大. 10.(2013?黄冈)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎,每年可在国内、国外市场上全部 售完.该公司的年产量为 6 千件,若在国内市场销售,平均每件产品的利润 y1(元)与国内销售量 x(千 件)的关系为: y1= ?
2

?15 x ? 90(0 ? x ? 2) , ??5 x ? 130(2 ? x ? 6)

若在国外销售,平均每件产品的利润 y2(元)与国外的销售数量 t(千件)的关系为 y2= ?

?100(0 ? t ? 2) 。 ??5t ? 110(2 ? t ? 6)

(1)用 x 的代数式表示 t 为:t= ;当 0<x≤4 时,y2 与 x 的函数关系为:y2= ; 当 时,y2=100; (2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w(千元)与国内销售数量 x(千件)的函数关系式,并指 出 x 的取值范围; (3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时,可使公司每年的总利润最大?最大值为多少? 10.解:(1)由题意,得 x+t=6, ∴t=6-x; ∵y2= ?

?100(0 ? t ? 2) , ??5t ? 110(2 ? t ? 6)

∴当 0<x≤4 时,2≤6-x<6,即 2≤t<6,

此时 y2 与 x 的函数关系为:y2=-5(6-x)+110=5x+80; 当 4≤x<6 时,0≤6-x<2,即 0≤t<2, 此时 y2=100. 故答案为 6-x;5x+80;4,6; (2)分三种情况: 2 ①当 0<x≤2 时,w=(15x+90)x+(5x+80)(6-x)=10x +40x+480; 2 ②当 2<x≤4 时,w=(-5x+130)x+(5x+80)(6-x)=-10x +80x+480; 2 ③当 4<x<6 时,w=(-5x+130)x+100(6-x)=-5x +30x+600;

?10 x 2 ? 40 x ? 480(0 ? x ? 2) ? 2 综上可知,w= ??10 x ? 80 x ? 480(2 ? x ? 4) ; ??5 x 2 ? 30 x ? 600(4 ? x ? 6) ?
(3)当 0<x≤2 时,w=10x +40x+480=10(x+2) +440,此时 x=2 时,w 最大=600; 2 2 当 2<x≤4 时,w=-10x +80x+480=-10(x-4) +640,此时 x=4 时,w 最大=640; 2 2 当 4<x<6 时,w=-5x +30x+600=-5(x-3) +645,4<x<6 时,w<640; ∴x=4 时,w 最大=640. 故该公司每年国内、国外的销售量各为 4 千件、2 千件,可使公司每年的总利润最大,最大值为 64 万元. 11.(2013?湛江)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交 y 轴于 A 点,交 x 轴于 B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧),已知 A 点坐标为(0,-5). (1)求此抛物线的解析式; (2)过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D,如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切,请判断抛物线的对 称轴 l 与⊙C 有什么位置关系,并给出证明; (3)在抛物线上是否存在一点 P,使△ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形?若存在,求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由.
2 2

11.解:(1)设抛物线解析式为:y=a(x-3) +4, 将 A(0,-5)代入求得:a=-1, 2 2 ∴抛物线解析式为 y=-(x-3) +4=-x +6x-5.

2

(2)抛物线的对称轴 l 与⊙C 相离.证明: 2 令 y=0,即-x +6x-5=0,得 x=1 或 x=5,∴B(1,0),C(5,0). 如答图①所示,设切点为 E,连接 CE,由题意易证 Rt△ABO∽Rt△BCE, ∴

52 ? 12 1 AB OB ? ,即 , ? 4 CE BC CE

求得⊙C 的半径 CE=

4 ; 26 4 , 26

而点 C 到对称轴 x=3 的距离为 2,2> ∴抛物线的对称轴 l 与⊙C 相离.

(3)存在.理由如下: 有两种情况: (I)如答图②所示,点 P 在 x 轴上方. ∵A(0,-5),C(5,0),∴△AOC 为等腰直角三角形,∠OCA=45°; ∵PC⊥AC,∴∠PCO=45°. 过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F,则△PCF 为等腰直角三角形.

设点 P 坐标为(m,n),则有 OF=m,PF=CF=n, OC=OF+CF=m+n=5 ① 2 又点 P 在抛物线上,∴n=-m +6m-5 ② 联立①②式,解得:m=2 或 m=5. 当 m=5 时,点 F 与点 C 重合,故舍去, ∴m=2,∴n=3, ∴点 P 坐标为(2,3);

(II)如答图③所示,点 P 在 x 轴下方. ∵A(0,-5),C(5,0),∴△AOC 为等腰直角三角形,∠OAC=45°; 过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F, ∵PA⊥AC,∴∠PAF=45°,即△PAF 为等腰直角三角形. 设点 P 坐标为(m,n),则有 PF=AF=m,OF=-n=OA+AF=5+m, ∴m+n=-5 ① 2 又点 P 在抛物线上,∴n=-m +6m-5 ② 联立①②式,解得:m=0 或 m=7. 当 m=0 时,点 F 与原点重合,故舍去, ∴m=7,∴n=-12, ∴点 P 坐标为(7,-12). 综上所述,存在点 P,使△ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形.点 P 的坐标为(2,3)或(7,-12). 12. (2013?曲靖)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=x+4 与坐标轴分别交于 A、B 两点,过 A、B 两 2 点的抛物线为 y=-x +bx+c.点 D 为线段 AB 上一动点,过点 D 作 CD⊥x 轴于点 C,交抛物线于点 E. (1)求抛物线的解析式. (2)当 DE=4 时,求四边形 CAEB 的面积. (3)连接 BE,是否存在点 D,使得△DBE 和△DAC 相似?若存在,求此点 D 坐标;若不存在,说明理由.

12.解: (1)在直线解析式 y=x+4 中,令 x=0,得 y=4;令 y=0,得 x=-4, ∴A(-4,0) ,B(0,4) . 2 ∵点 A(-4,0) ,B(0,4)在抛物线 y=-x +bx+c 上, ∴?

?-16 - 4b ? c ? 0 , ?c ? 4

解得:b=-3,c=4, 2 ∴抛物线的解析式为:y=-x -3x+4. (2)设点 C 坐标为(m,0) (m<0) ,则 OC=-m,AC=4+m. ∵OA=OB=4,∴∠BAC=45°, ∴△ACD 为等腰直角三角形,∴CD=AC=4+m, ∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m, ∴点 E 坐标为(m,8+m) . 2 ∵点 E 在抛物线 y=-x -3x+4 上, 2 ∴8+m=-m -3m+4,解得 m=-2. ∴C(-2,0) ,AC=OC=2,CE=6, S 四边形 CAEB=S△ACE+S 梯形 OCEB-S△BCO=

1 1 1 ×2×6+ (6+4)×2- ×2×4=12. 2 2 2

(3)设点 C 坐标为(m,0) (m<0) ,则 OC=-m,CD=AC=4+m,BD= 2 OC=- 2 m,则 D(m,4+m) . ∵△ACD 为等腰直角三角形,△DBE 和△DAC 相似 ∴△DBE 必为等腰直角三角形. i)若∠BED=90°,则 BE=DE, ∵BE=OC=-m, ∴DE=BE=-m, ∴CE=4+m-m=4, ∴E(m,4) . 2 ∵点 E 在抛物线 y=-x -3x+4 上, 2 ∴4=-m -3m+4,解得 m=0(不合题意,舍去)或 m=-3, ∴D(-3,1) ; ii)若∠EBD=90°,则 BE=BD=- 2 m,

在等腰直角三角形 EBD 中,DE= 2 BD=-2m, ∴CE=4+m-2m=4-m, ∴E(m,4-m) . 2 ∵点 E 在抛物线 y=-x -3x+4 上, 2 ∴4-m=-m -3m+4,解得 m=0(不合题意,舍去)或 m=-2, ∴D(-2,2) . 综上所述,存在点 D,使得△DBE 和△DAC 相似,点 D 的坐标为(-3,1)或(-2,2) .

13. (2013?钦州)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线 y= 点为 A,连接 OA. (1)求点 A 的坐标和∠AOB 的度数; (2)若将抛物线 y=

1 2 x +2x 与 x 轴相交于 O、B,顶 2

1 2 x +2x 向右平移 4 个单位,再向下平移 2 个单位,得到抛物线 m,其顶点为点 C.连 2 1 2 x +2x 上,请说明理由; 2

接 OC 和 AC,把△AOC 沿 OA 翻折得到四边形 ACOC′.试判断其形状,并说明理由; (3)在(2)的情况下,判断点 C′是否在抛物线 y=

(4)若点 P 为 x 轴上的一个动点,试探究在抛物线 m 上是否存在点 Q,使以点 O、P、C、Q 为顶点的四边 形是平行四边形,且 OC 为该四边形的一条边?若存在,请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

13.解: (1)∵由 y=

1 2 1 2 x +2x 得,y= (x-2) -2, 2 2

∴抛物线的顶点 A 的坐标为(-2,-2) , 令

1 2 x +2x=0,解得 x1=0,x2=-4, 2

∴点 B 的坐标为(-4,0) , 如图 1,过点 A 作 AD⊥x 轴,垂足为 D, ∴∠ADO=90°, ∴点 A 的坐标为(-2,-2) ,点 D 的坐标为(-2,0) , ∴OD=AD=2, ∴∠AOB=45°;

(2)四边形 ACOC′为菱形.

1 ,且过顶点 C 的坐标是(2,-4) , 2 1 1 2 2 ∴抛物线的解析式为:y= (x-2) -4,即 y= x -2x-2, 2 2
由题意可知抛物线 m 的二次项系数为 过点 C 作 CE⊥x 轴,垂足为 E;过点 A 作 AF⊥CE,垂足为 F,与 y 轴交与点 H, ∴OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE-EF=2, ∴OC= OE ? EC ?
2 2

22 ? 42 ? 2 5 ,

同理,AC=2 5 ,OC=AC, 由反折不变性的性质可知,OC=AC=OC′=AC′, 故四边形 ACOC′为菱形.

(3)如图 1,点 C′不在抛物线 y=

1 2 x +2x 上. 2

理由如下: 过点 C′作 C′G⊥x 轴,垂足为 G, ∵OC 和 OC′关于 OA 对称,∠AOB=∠AOH=45°, ∴∠COH=∠C′OG, ∵CE∥OH, ∴∠OCE=∠C′OG, 又∵∠CEO=∠C′GO=90°,OC=OC′, ∴△CEO≌△C′GO, ∴OG=4,C′G=2, ∴点 C′的坐标为(-4,2) ,

1 2 x +2x 得 y=0, 2 1 2 ∴点 C′不在抛物线 y= x +2x 上; 2
把 x=-4 代入抛物线 y=

(4)存在符合条件的点 Q. ∵点 P 为 x 轴上的一个动点,点 Q 在抛物线 m 上, ∴设 Q(a,

1 2 (a-2) -4) , 2

∵OC 为该四边形的一条边, ∴OP 为对角线,

1 (a ? 2) 2 ? 4 ? 4 2 ∴ ? 0 ,解得 x1=6,x2=4, 2
∴P(6,4)或(-2,4) (舍去) , ∴点 Q 的坐标为(6,4) .


推荐相关:

第十五讲 二次函数的综合题及应用(2013-2014中考数学复习专题)

第十五讲 二次函数的综合题及应用(2013-2014中考数学复习专题)_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 180份文档 CET四六级高分通关宝典 ...


第十五讲__二次函数的综合题及应用(2013-2014中考数学复习专题)

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 第十五讲__二次函数的综合题及应用(2013-2014中考数学复习专题)_数学_初中教育_教育专区。第十五讲 二次函数的综合题及应用...


2014年中考数学专题复习第15讲二次函数的综合题及应用

2014中考数学专题复习第15讲二次函数的综合题及应用_初三数学_数学_初中教育_教育专区。2014中考数学专题复习第15讲二次函数的综合题及应用第...


2013年中考数学专题复习第15讲:二次函数的应用(含详细参考答案)

2014中考数学专题复习第十五讲【基础知识回顾】 一、 二次函数与一元二次方程: 二次函数的应用 二次函数 y= ax2+bx+c 的同象与 x 轴的交点的横坐标...


河南教育2014年中考数学专题复习:第十五讲 二次函数的应用

河南教育2014中考数学专题复习:第十五讲 二次函数的应用_初三数学_数学_初中教育...第十五讲 二次函数的综合题及应用 【重点考点例析】 考点一:确定二次函数关...


2013年中考数学专题复习第十五讲:二次函数的应用(学生版)

2013中考数学专题复习第十五讲 二次函数的应用 【基础知识回顾】 一、 二次...有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现,解决此类 问题时要将题目分解...


2014年中考数学专题复习第15讲:二次函数的应用(含详细参考答案)

2014中考数学专题复习第15讲:二次函数的应用(含详细参考答案) 2014年武汉市中考数学专题复习共30讲---(含详细参考答案)2014年武汉市中考数学专题复习共30讲--...


2014年中考数学专题复习第十五讲 二次函数的应用

2014中考数学专题复习第十五讲 二次函数的应用_中考_初中教育_教育专区。2014...是中考中常考的综合题. 对应训练 3. (2012?株洲)如图,已知抛物线与 x 轴的...


2013年中考数学专题复习第15讲:二次函数的应用(含详细参考答案)

2013中考数学专题复习第15讲:二次函数的应用(含详细参考答案)_中考_初中教育...是中考中常考的综合题. 对应训练 3.(2012?株洲)如图,已知抛物线与 x 轴的...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com