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(人教版)高中数学必修二《2.1.1 平面》教学设计


2.1.1 平面
东莞市南城中学 陈立 1.内容和内容解析 (1)内容 《2.1.1 平面》是人教 A 版《数学》必修二的第二章第一节,教学内容安排一个课时,主要内容是平 面的描述性概念及三个公理。 (2)内容解析 平面是最基本的几何概念,教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。平面的基 本性质即公理 1、公理 2、公理 3,是研究立体图形的理论基础,也是进一步推理的出发点和根据。其中公 理 1 可以用来判断直线或者点是否在平面内;公理 2 用来确定一个平面,判断两平面重合,或者证明点、 线共面;公理 3 用来判断两个平面相交,证明点共线或者线共点的问题。平面的基本性质在高考中一般以 选择和填空题型为主。 学生在第一章的学习过程中,经历了对立体图形的整体把握,这节课以学生熟知的长方体为载体,引 出本节课的主要内容,拓展学生已有的平面几何观念,帮助学生观念逐步从平面转向空间。因此,本节课 的教学重点是使学生了解平面的描述性概念,了解平面的表示方法和画法;理解平面的基本性质即三个公 理,会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系。 2.目标和目标解析 (1)目标 根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求,结合学生现有的知识水平和理解水平,确定 本节课的教学目标如下: ①了解平面的描述性概念; ②了解平面的表示方法和基本画法; ③理解公理 1、公理 2、公理 3; ④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。 ⑤感知数学语言的美,激发学习兴趣。 (2)目标解析 通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识,借助学生已有的直线的 描述性概念, 通过类比让学生体验获得平面的描述性概念的思维过程。 在学生了解平面的描述性概念以后, 首先给出平面的表示方法,然后类比画直线的方式,从“直观性”角度给出平面的画法。尽管平面的描述 性概念、平面的表示方法和基本画法这些内容不难,但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度, 没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点,因此,将这些内容定位为了解。平面的三个公理,是本节 课的重点内容,要求学生充分重视,并且能够理解这些知识点。通过文字语言的严谨、图形语言的直观和 符号语言的简洁以及三种语言的相互转化使学生体会数学的美,提高学生的学习兴趣。让学生认识到我们 生活的世界就是一个三维空间,进而激发学生的求知欲。 3.教学问题诊断分析 本节课是一节较为抽象的几何概念课。学生了解平面的无限延展性可能有难度,因此,在教学时一定 要让学生多感受,多举例。学生不好接受为什么通常用平行四边形表示水平放置的平面,教学中要引导让 学生通过观察,体会用平行四边形表示水平放置的平面的“直观性” 。三个公理是研究立体几何的理论基 础,也是以后论证推理的逻辑依据,学生容易掌握文字语言、图形语言,但符号语言较难掌握,教学中可 适当安排一些问题让学生用符号语言规范的完成表达。 基于上述分析,本节课教学难点是理解三个公理以及用符号语言规范的完成对问题的表示。 4.教学支持条件分析 立体几何教具,多媒体,直尺。 5.教学过程设计

问题 问题:如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,它有 多少个顶点、多少条棱、多少个面? D1 C1 A1 B1

设计意图

师生活动

D A B

C

以学生最熟悉的正方体 为载体切入,先让学生回 答最简单的问题,激发学 生兴趣。然后以探究形式 提出本节要研究的主要 内容,进而导入新课。

教师通过多媒体展示问 题让学生回答,然后组织 学生思考讨论,导入新 课。

探究:观察哪些顶点在底面 ABCD 内?哪些顶点 不在底面 ABCD 内?哪些顶点在直线 AB 上?哪 些顶点不在直线 AB 上?哪些棱在底面 ABCD 内?哪些棱不在底面 ABCD 内? 问题 1:课桌面、黑板面、海平面等画面给我们留 下怎样的印象呢? 问题 2: 请你举例说明生活中哪些物体给人以平面 印象? 问题 3: 你觉得平面可以拉伸吗?平面有厚薄之分 吗? 创设与日常生活相联系 的简单问题,使学生直观 感知平面,引出平面的概 念。 引导学生观察、思考、举 例和相交交流,教师要对 学生举例给予评价,以鼓 励为主。

给出平面的描述性概念: 平面没有大小、 厚薄和宽 窄,平面在空间是无限延展的,不可度量。 例 1、已知命题: ①10 个平面重叠起来, 要比 5 个平面重叠起来厚。 ②有一个平面的长是 50m,宽是 20m。 加深学生对平面概念的 ③黑板面是平面。 理解。 ④平面是绝对的平,没有大小、没有厚度,可以无 限延展的抽象的数学概念。 其中正确的的命题是__________。 问题 1:在平面几何中,怎样画直线? 问题 2:我们能否根据直线的画法画平面,哪位同 学来画一下?

用投影仪展示好中差几 个层次学生的答案,并点 评。

让学生到黑板演示直线 从已学的直线画法入手, 的画法,教师说明这位同 简单易懂,将平面和直线 学画的实质上是直线的 进行类比,培养学生知识 部分,通过想象两端无限 迁 移 能 力 和 空 间 想 象 能 延伸而认为是一条直线, 力。 因此仿照直线的画法,让 学生动手画平面,并让部 分学生解释他们所画的 平面是基于什么样的一 种想法。

平面的基本画法及表示 平面的基本画法 ①通常用平行四边形来表示平面。 当平面水平放置 时, 通常把平行四边形的锐角画成 45 ? ,横边画成

借助多媒体的直观、形

邻边的 2 倍长。如图

??
②两个平面相交时, 画出交线, 被遮挡部分用虚线 画出来;如图 ??

在学生动手之后再给出 基本画法和表示方法,这 样做让学生易于接受和 掌握。

象,用投影仪展示平面的 画法,可展示水平放置平 面、竖直放置的平面、相 交平面、平行平面等,让 学生经历直观感受。

??

l

平面的表示: 1﹒用一个希腊字母?,?,?, ??来表示,如: 平面?、平面?等。 2﹒用平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字 母来表示。如:平面 ABCD,平面 AC, 平面 BD 等。 问题:观察下图,你认为点和直线、平面的位置关 系有几种?直线和平面的位置关系有几种? D1 A1 B1 C1 让学生回答简单的位置 关系问题,自然引出点线 面之间的数学符号表示。 例题是为了让学生初步 了解三种语言的转化。这 部分内容对学生较难掌 握,因此除例题外还增加 一个练习题。 先让学生归纳点与直线、 平面的位置关系、直线与 平面的位置关系,再由教 师使用多媒体将点与直 线、平面的位置关系、直 线与平面的位置关系以 表格形式按三种语言进 行展示。例题强化文字语 言、图形语言和符号语言 的转化,让学生演板,老 师点评和小结。

D A B

C

给出点和直线、 平面的位置关系; 直线和平面的位 置关系,并给出符号语言表示。 例 2、如图,用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的位置关系。 (1)

??
A B

??

a

(2) a

??
ι b P

??

练习:用符号表示下列语句,并画出相应的图形: (1)点 A 在平面?内,点 B 不在平面?内,点 A, B 都在直线 a 上; (2)平面?与平面?相交于直线 m,直线 a 在平面 ?内且平行于直线 m.

问题 1:将手中的笔假想成一条直线,将课桌面假 想成一个平面, 你觉得在什么情况下, 才能使你的 笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上? 教师归纳总结, 多媒体展示公理 1 的三种语言并板 书。 思考:公理 1 有什么作用? 问题 2:两点确定一直线,两点能确定一个平面 吗?任意三点能确定一个平面吗? 教师归纳总结, 多媒体展示公理 2 的三种语言并板 书。 思考:公理 2 有什么作用? 探究:下列命题是真命题吗? (1) 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一 个平面。 (2)经过两条相交直线,有且只有一个平面。 (3)经过两条平行直线,有且只有一个平面。 根据学生回答的情况, 教师小结这三个命题其实就 是公理 2 的变式。 问题 3:如图,把三角板的一个角立在平面 ? 上, 三角板所在平面与平面 ? 是否只相交于点 P ?为 什么?(让学生以课桌面为平面 ? 通过自己实验 观察得到结论)

问题 1 通过笔和课桌面直 观感知原本难以想象的 直线和平面的关系,将抽 象问题直观化,有利于对 公理 1 的理解。问题 2 以 学生熟知的两点确定一 条直线提出确定一个平 面需要什么条件,教师启 发,由学生讨论、归纳出 不共线的三点确定一个 平面的准确含义。设计探 究的目的是为了加深对 确定平面条件的理解。问 题 3 通过学生主动参与教 学过程,借助身边模型获 得新知。例题是为了进一 步加深对三个公理的理 解。

问题的解决主要由学生 完成,教师借助多媒体直 观形象的展示有关图形, 在问题解决的过程中,教 师只需引导学生,启发思 维,最后进行归纳。在每 一个问题得到解决以后, 教师用三种语言规范板 书。

??

P

教师归纳总结, 多媒体展示公理 3 的三种语言并板 书。 思考:公理 3 有什么作用?

例 3、判断下列命题是否正确。 (1)经过三点确定一个平面。 (2)经过同一点的三条直线确定一个平面。 (3)若 A ? 直线 a , A ? 平面 ? ,则 a ? ? 。 (4)平面 ? 与 ? 相交,它们只有有限个公共点。 (提高体)已知△ABC 在平面?外,它的三边所在 直线分别交?于 P,Q,R. 求证:P,Q,R 三点 共线. A C B Q P 回顾与小结 1、平面的基本特征是 2、通常用平行四边形表示平面,并把它的锐角画 成 , 且横边长等于其邻边长的 倍。 如果一 个平面被另一个平面挡住,为了增强它的立体感, 我们常把被遮挡部分用 线画出来。 3、表示平面的方法如下几种? 4、如何描述点与直线、平面的关系? 5、①公理 1:文字语言:如果 一个平面 内,那么这条直线在此平面内。 符号语言: 。 图形语言: ②公理 2:文字语言: 的三点,有且只有一 个平面。 符号语言: 。 图形语言: ③如果两个不重合的平面 , 那么它们有且 只有一条过该点的公共直线。 符号语言: 。 图形语言: R

?

由学生自己来讲,调动学 生的积极性,使学生及时 回顾,再次加深对平面的 概念、画法、表示以及基 本性质的认识,同时还可 以提升学生自我整合知 识的能力,进一步完成教 学目标。

学生根据教师设计的几 点进行归纳、总结,教师 在学生回答完以后以多 媒体形式展示相关内容。

6.目标检测设计 1.判断下列命题的真假,真的打“√” ,假的打“×” (1)可画一个平面,使它的长为 4 cm ,宽为 2 cm . ( (2)一条直线把它所在的平面分成两部分,一个平面把空间分成两部分. ( (3)一个平面的面积为 20 cm . 法都正确的是( )
2

) )





2.下面是一些命题的叙述语( A , B 表示点, a 表示直线, ? 、 ? 表示平面) ,其中命题和叙述方 A.∵ A ? ? , B ? ? ,∴ AB ? ? . B.∵ a ?? , a ? ? ,∴ ? ? ? ? a . C.∵ A ? a , a ? ? ,∴ A ? ? . D.∵ A ? a , a ? ? ,∴ A ? ? .

3.下列命题正确的是( ) A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 4.如图在四面体中,若直线 EF 和 GH 相交,则它们的交点一定( )E A.在直线 DB 上 A B.在直线 AB 上 C.在直线 CB 上 F D.都不对 5.用符号表示下列语句,并画出相应的图形: (1)点 A 在平面 ? 内,但点 B 在平面 ? 外. (2)直线 a 经过平面 ? 外的一点 M.

D
G
C

B

H

6.如右图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,判断下列命题是否正确,并说明理由. D1 (1)直线 AC1 在平面 CC1B1B 内. (2)设正方形 ABCD 与 A1B1C1D1 的中心分别为 O 、 O1 , 则平面 AAC 1 1C 与平面 BB 1D 1 D 的交线为 OO 1. (3)由点 A、O、C 可以确定一个平面. (4)由 A、 C1 、 B1 确定的平面与由 A、 C1 、D 确定的平面是同一平面. A A1 O1 B1 C1

D

O B

C

设计意图: 1、强化对平面特征的理解。 2、强化点、直线、平面位置关系的符号语言表示。 3、强化对公理 2 的理解。 4、强化公理 3 的应用。 5、强化三种语言的转化,为后续的推理规范打基础。 6、全面回顾本节课的难点三个公理的应用。 7.教学评价 本节课是第二章第一课时,其重要性可想而知,它是培养学生建立正确空间观念的基础,使学生对图 形的认识由平面向立体过渡,逐步培养学生根据立体图形可以想象出组成立体图形的点、线、面的空间位 置关系。其中,三个公理还是后续几何命题证明的出发点和根据。因此,高质量的达成本节课的教学目标 至关重要。 学生在学习这节课以前,已经学习了空间几何体,对空间几何体已有整体认识,因此,这节便以学生 熟知的正方体为载体,通过问题串的形式展开教学。教学过程中,用学生身边的物体为例,设计比较简单 的问题,或将一些抽象的概念具体化,先由学生主动探究、分析获得结论,教师根据学生获得的结论做总 结、归纳,最后以多媒体、板书等形式给出规范表达。本节课在设计时考虑到平面的概念和平面的基本性 质比较抽象,为了强化学生对知识点的理解,每学完一个知识点都会配以例题或练习用来诊断课堂效果。 本节课的设计,以学生为本,学生参与度高,应该可以较好的完成教学目标。 本节课对点、直线、平面之间的位置关系设置内容略显不足,其次对三个公理的应用还可加深。



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