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二轮复习之应用性问题(基础篇)


二轮复习之应用性问题(基础篇)
适用学科 适用区域
高中数学 人教版 1、解应用题的一般思路

适用年级 课时时长(分钟)

高三 60

知识点

2、解应用题的一般程序 3、中学数学中常见应用问题与数学模型

教学目标 教学重点 教学难点

1、注意数学模型中元素的实际意义,更要注意巧思妙作,优化过程

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2、实际问题中的“优选” “控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决 注重问题及方法的新颖性,提高了适应陌生情境的能力要求 注重问题及方法的新颖性,提高了适应陌生情境的能力要求

教学过程
一、高考解读
数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题
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高考对应用题的考查已逐步成熟,大体是三道左右的小题和
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一道大题,注重问题及方法的新颖性,提高了适应陌生情境的能力要求

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二、复习预习
如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统,那么把这四个要素中有两个是 未知的数学问题称之为探索性问题
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条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征

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解决探索性问题,对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求,高考题中一般对这类问题有如下方 法
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(1)直接求解; (2)观察——猜测——证明; (3)赋值推断; (4)数形结合; (5)联想类比; (6)特殊——一般——特殊
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三、知识讲解
考点 1 解应用题的一般思路可表示如下:
实际问题
问题解决 数学化 转化为数学问题 数学解答

数学问题

实际问题结论

数学问题结论
回到实际问题

考点 2 解应用题的一般程序
(1)读 (2) 建
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阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础 将文字语言转化为数学语言, 利用数学知识, 建立相应的数学模型
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熟悉基本数学模型, 正确进行建 “模”

是关键的一关 (3)解 程
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求解数学模型,得到数学结论

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一要充分注意数学模型中元素的实际意义,更要注意巧思妙作,优化过

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(4)答

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将数学结论还原给实际问题的结果

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考点 3 中学数学中常见应用问题与数学模型
(1)优化问题 (2)预测问题
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实际问题中的“优选” “控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决
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(3)最(极)值问题 (4)等量关系问题 (5)测量问题
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工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型” ,转化为求函数的最值 建立“方程模型”解决?
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可设计成“图形模型”利用几何知识解决

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四、例题精析
例题 1 为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱(如图) ,污水从 A 孔流入,经沉淀后 从 B 孔流出,设箱体的长度为 a 米,高度为 b 米,已知流出的水中该杂质的质量分数与 a、b 的乘 积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a、b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的 质量分数最小(A、B 孔的面积忽略不计)?
A B

【规范解答】解法一 满足 2a+4b+2ab=60①

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设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为 y,则由条件 y=

k (k>0 为比例系数)其中 a、b ab

要求 y 的最小值,只须求 ab 的最大值

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由①(a+2)(b+1)=32(a>0,b>0)且 ab=30–(a+2b) 应用重要不等式 a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥ 2 (a ? 2)(2b ? 2) ? 4 ? 12 ∴ab≤18,当且仅当 a=2b 时等号成立 将 a=2b 代入①得 a=6,b=3
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故当且仅当 a=6,b=3 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 解法二
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由 2a+4b+2ab=60,得 b ?

记 u ? ab ? 由 u? ?

(30 ? a)a (0<a<30)则要求 y 的最小值只须求 u 的最大值 2?a

30 ? a , 2?a

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64 ? (a ? 2) 2 ,令 u′=0 得 a=6 (a ? 2) 2

且当 0<a<6 时,u′>0,当 6<u<30 时 u′<0,
(30 ? a )a 在 a=6 时取最大值,此时 b=3 2?a k 从而当且仅当 a=6,b=3 时,y= 取最小值 ab

∴u ?

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【总结与思考】本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决 实际问题能力
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关键在于如何求出函数最小值,条件最值可应用重要不等式或利用导数解决

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例题 2 某租赁公司拥有汽车 100 辆, 当每辆车的月租金为 3000 元时, 可全部租出, 当每辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆,租出的车辆每月需要维护费 150 元,未租出的车辆每月需要维护费 50 元, (1)当每辆车的月租金为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

【规范解答】 (1)未租出的车辆数为

3600 ? 3000 ? 12 50

∴这时租出了 88 辆车。

(2)设每辆车的月租金为 x 元,则且租赁公司的月收益
x ? 3000 ? x ? 3000 ? f ? x ? ? ?100 ? ? 50 ? ? x ? 150 ? ? 50 ? 50 ? 1 1 2 ? ? x2 ? 162x ? 21000 ? ? ? x ? 4050? ? 307050 50 50

∴ 当 x=4050 时,f (x)最大,最大值为 307050 元。 【总结与思考】二次函数模型的应用问题

例题 3 某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷,为了解该地区沙漠面积的变化情况,进行了连续 5 年的观测,并将每 年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测: (1)如果不采取任何措施,那么到 2010 年底,该地区 的沙漠面积将大约变为多少万公顷; (2)如果从 2000 年底后采取植树造林等措施,每年改造 0.6 万公顷沙漠,那么到 哪一年年底该地区沙漠面积减少到 90 万公顷?

观测时间

1996 年 底

1997 年 底 0.4000

1998 年 底 0.6001

1999 年 底 0.7999

2000 年 底 1.0001

该地区沙漠比原有面 积增加数(万公顷)

0.2000

【规范解答】 (1)由表观察知,沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为一次函数 y=kx+b 的图象 将 x=1,y=0.2 与 x=2,y=0.4,代入 y=kx+b, 求得 k=0.2,b=0, 所以 y=0.2x(x∈N) 。 因为原有沙漠面积为 95 万公顷,则到 2010 年底沙漠面积大约为 95+0.5×15=98(万公顷) 。 (2)设从 1996 年算起,第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷,由题意得 95+0.2x-0.6(x-5)=90, 解得 x=20(年) 。 故到 2015 年年底,该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。 【总结与思考】初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质,我们要牢固掌握。特别是题目中 出现的“成正比例” 、 “成反比例”等条件要应用好

例题 4 某造船公司年造船量是 20 艘,已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3700x+45x2-10x3(单位:万元) ,成本函数为 C(x)=460x+5000(单位:万元) ,又在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x)。 (Ⅰ)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (提示:利润=产值成本) (Ⅱ)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (Ⅲ)求边际利润函数 MP(x)单调递减时 x 的取值范围,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?

【 规 范 解 答 】 ( Ⅰ ) P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000,(x MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275,(x ? N*,且 1≤x≤19) (Ⅱ) P?( x) ? ?30 x 2 ? 90 x ? 3240 ? ?30( x ? 12)(x ? 9) . ∴当 0<x<12 时 P?( x) >0,当 x<12 时, P?( x) <0. ∴x=12,P(x)有最大值. 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大. (Ⅲ)∵MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305, 所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减,x 的取值范围为[1,19],且 x ? N*
MP( x) 是减函数的实际意义:随着产量的增加,每艘船的利润在减少.

?

N*, 且

1 ≤ x ≤ 20);

【总结与思考】一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型,解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质, 解决好实际问题。

例题 5 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增汽 车数量相等
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为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

【规范解答】 解 新增汽车 x 万辆,则

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设 2001 年末的汽车保有量为 b1 万辆,以后各年汽车保有量依次为 b2 万辆,b3 万辆,……每年

b1=30,b2=b1×0

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94+x,…
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对于 n>1,有 bn+1=bn×0 所以 bn+1=b1×0 =b1×0 当 30 ? 94n+
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94+x=bn–1×0
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942+(1+0
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1 ? 0.94n x x ?x ? ? (30 ? ) ? 0.94n 0.06 0.06 0.06
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x ≥0,即 x≤1 8 时,bn+1≤bn≤…≤b1=30 0.06 x x x x ? (30 ? ) ? 0.94 n?1 ] ? 当 30 ? <0,即 x>1 8 时, lim[ n?? 0.06 0.06 0.06 0.06 x 并且数列{bn}逐项递增,可以任意靠近 0.06
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因此如果要求汽车保有量不超过 60 万辆,

即 bn≤60(n=1,2,…)则有

x ≤60,所以 x≤3 0.06
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6

综上,每年新增汽车不应超过 3

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6 万辆

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【总结与思考】 本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的 能力
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建立第 n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易,但解题过程中的准
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确性要求较高

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课程小结
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解应用题的一般思路可表示如下:
实际问题
问题解决 数学化 转化为数学问题 数学解答

数学问题

实际问题结论

数学问题结论
回到实际问题

2

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解应用题的一般程序
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(1)读 (2) 建
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阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础 将文字语言转化为数学语言, 利用数学知识, 建立相应的数学模型
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熟悉基本数学模型, 正确进行建 “模”

是关键的一关 (3)解 程
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求解数学模型,得到数学结论

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一要充分注意数学模型中元素的实际意义,更要注意巧思妙作,优化过

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(4)答 3
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将数学结论还原给实际问题的结果

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中学数学中常见应用问题与数学模型
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(1)优化问题 (2)预测问题

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实际问题中的“优选” “控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决
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(3)最(极)值问题 (4)等量关系问题 (5)测量问题
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工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型” ,转化为求函数的最值 建立“方程模型”解决?
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可设计成“图形模型”利用几何知识解决

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