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高中数学选修2-2章末复习课(二)


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题型一
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合情推理与演绎推理

1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到 整体的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由 已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真, 有待进一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同,它是由一般到特殊的推理,是 数学中证明的基本推理形式,也是公理化体系所采用的推 理形式.另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成 的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性.

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例1

(1)有一个奇数列1,3,5,7,9,?,现在进行如下分组:第

一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数 {7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};?试观察每组内
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各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________. (2)在平面几何中,对于Rt△ABC,设AB=c,AC=b,BC =a,则 ①a2+b2=c2; ②cos2A+cos2B=1; a2+b2 ③Rt△ABC的外接圆半径为r= . 2

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把上面的结论类比到空间写出相类似的结论;如果你能证 明,写出证明过程;如果在直角三角形中你还发现了异于上 面的结论,试试看能否类比到空间?

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(1)由于1=13,3+5=8=23,

7+9+11=27=33,13+15+17+19=64=43,?, 猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)=n3.
答案 f(n)=n3
(2)选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对 象. ①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1,S2,S3,底面面积
2 2 2 为S,则S2 1+S2+S3=S .

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②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α,β,γ,则
本 课 ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a,b,c,则这 时 栏 a2+b2+c2 . 目 个四面体的外接球的半径为R= 2 开 关

cos2α+cos2β+cos2γ=1.

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小结
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(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容,通过观

察给定的规律,得到一些简单数列的通项公式是数列中的常 见方法. (2)类比推理重在考查观察和比较的能力,题目一般情况下较 为新颖,也有一定的探索性.

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跟踪训练1

② ,是类比推 (1)下列推理是归纳推理的是________

③④ . 理的是________
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①A、B为定点,若动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则点P的 轨迹是椭圆; ②由a1=1,an+1=3an-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的通 项an和Sn的表达式; ③由圆x2+y2=1的面积S=πr2,猜想出椭圆的面积S=πab; ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.

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(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8, S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n T16 项积为Tn, 则T4,______,______, 成等比数列. T12 本 课 解析 等差数列类比于等比数列时,和类比于积,减法类比
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于除法, 可得类比结论为:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4, T8 T12 T16 , , 成等比数列. T4 T8 T12
T8 答案 T 4
T12 T8

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题型二

综合法与分析法

综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,
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但两种证明方法思路截然相反,分析法既可用于寻找解题 思路,也可以是完整的证明过程,分析法与综合法可相互 转换,相互渗透,要充分利用这一辩证关系,在解题中综 合法和分析法联合运用,转换解题思路,增加解题途 径.一般以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理 地表示证明过程.

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例2

用综合法和分析法证明.

sin α 已知α∈(0,π),求证:2sin 2α≤ . 1-cos α 证明 (分析法)
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sin α 要证明2sin 2α≤ 成立. 1-cos α sin α 只要证明4sin αcos α≤ . 1-cos α ∵α∈(0,π),∴sin α>0. 1 只要证明4cos α≤ . 1-cos α 1 上式可变形为4≤ +4(1-cos α). 1-cos α

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∵1-cos α>0, 1 1 ∴ +4(1-cos α)≥2 · 4?1-cos α?=4, 1-cos α 1-cos α 1 π 当且仅当cos α=2,即α=3时取等号. 1 ∴4≤ +4(1-cos α)成立. 1-cos α sin α ∴不等式2sin 2α≤ 成立. 1-cos α (综合法) 1 ∵ +4(1-cos α)≥4, 1-cos α 1 π (1-cos α>0,当且仅当cos α=2,即α=3时取等号)

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1 ∴4cos α≤ . 1-cos α
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∵α∈(0,π),∴sin α>0. sin α ∴4sin αcos α≤ . 1-cos α sin α ∴2sin 2α≤ . 1-cos α

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sin?2α+β? sin β 跟踪训练2 求证: -2cos(α+β)= . sin α sin α
证明 ∵sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α
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=sin[(α+β)+α] -2cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-2cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =sin[(α+β)-α] =sin β, 两边同除以sin α得 sin?2α+β? sin β sin α -2cos(α+β)=sin α.

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题型三

反证法

反证法是一种间接证明命题的方法,它从命题结论的反面
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出发引出矛盾,从而肯定命题的结论. 反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性,从逻辑角度 看,命题:“若p则q”的否定是“若p则綈q”,由此进行 推理,如果发生矛盾,那么就说明“若p则綈q”为假,从 而可以导出“若p则q”为真,从而达到证明的目的.

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例3

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中的a、b、c都为整

数,已知f(0)、f(1)均为奇数,求证:方程f(x)=0无整数根.
证明 假设方程f(x)=0有一个整数根k,

则ak2+bk+c=0
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∵f(0)=c,f(1)=a+b+c都为奇数,∴a+b必为偶数.

当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),则ak2+bk=4n2a+2nb= 2n(2na+b)必为偶数,与①式矛盾;
当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),则ak2+bk=(2n+1)· (2na+a+b)为一奇数与一偶数乘积,必为偶数,也与①式 矛盾.

综上可知方程f(x)=0无整数根.

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小结
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反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命

题;涉及“都是??”“都不是??”“至少??”“至 多??”等形式的命题时,也常用反证法.

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跟踪训练3 已知:ac≥2(b+d). 求证:方程x2+ax+b=0与方程x2+cx+d=0中至少有一个方
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程有实数根.
证明 假设两方程都没有实数根, 则Δ1=a2-4b<0与Δ2=c2-4d<0,有a2+c2<4(b+d),而a2+ c2≥2ac, 从而有4(b+d)>2ac,即ac<2(b+d),与已知矛盾,故原命题 成立.

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题型四

数学归纳法

数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论
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证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必 须真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继 传递性的保证,两步合在一起为完全归纳步骤,这两步缺 一不可,第二步中证明“当n=k+1时结论正确”的过程 中,必须用“归纳假设”,否则就是错误的.

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例4

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用数学归纳法证明当n∈N*时,1· n+2· (n-1)+3· (n-2) 1 +?+(n-2)· 3+(n-1)· 2+n· 1= n(n+1)· (n+2). 6 1 证明 (1)当n=1时,1=6· 1· 2· 3,结论成立. (2)假设n=k时结论成立,
即1· k+2· (k-1)+3· (k-2)+?+(k-2)· 3+(k-1)· 2+k· 1 1 = k(k+1)(k+2). 6 当n=k+1时,则1· (k+1)+2· k+3· (k-1)+?+(k-1)· 3+
k· 2+(k+1)· 1
=1· k+2· (k-1)+?+(k-1)· 2+k· 1+[ 1+2+3+…+k+(k +1)]

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1 1 = k(k+1)(k+2)+ (k+1)(k+2) 6 2 1 =6(k+1)(k+2)(k+3), 本
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即当n=k+1时结论也成立. 综合上述,可知结论对一切n∈N*都成立.

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跟踪训练4 是否存在常数a,b使等式 1 1· n+2· (n-1)+3· (n-2)+?+(n-2)· 3+(n-1)· 2+n· 1= n(n 6 +a)(n+b)对一切自然数n都成立,并证明你的结论.
本 解 令n=1,得1=1(1+a)(1+b), 6 课 时 2 栏 令n=2,得4= (2+a)(2+b), 6 目 开 ? 关 ?ab+a+b=5,

整理得? 解得a=1,b=2. ? ?ab+2?a+b?=8.
下面只需证明a=1,b=2时等式对n∈N*成立,证明过程同例 4.


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