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【全程复习方略】(陕西专用)2014高考数学 第六章 第六节 直接证明与间接证明课时提升作业 文 北师大版


【全程复习方略】 (陕西专用)2014 高考数学 第六章 第六节 直接证明与间接 证明课时提升作业 文 北师大版
一、选择题 1.在证明命题“对于任意角θ ,cos θ -sin θ =cos2θ ”的过程:“cos θ -sin θ =(cos θ +sin θ )·(cos θ -sin θ )=cos θ -sin θ =cos2θ ”中应用了 ( (A)分析法 (B)综合法 (C)分析法和综合法综合使用 (D)间接证法 2.要证明 a +b -1-a b ≤0,只要证明 ( (A)2ab-1-a b ≤0 (C) -1-a b ≤0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2

)

) ≤0
2

(B)a +b -12

2

2

(D)(a -1)(b -1)≥0 )

3.(2013·西安模拟)若 a,b∈R,ab>0,则下列不等式中恒成立的是 ( (A)a +b >2ab (C) + >
2 2

(B)a+b≥2 (D) + ≥2

4.(2013·宿州模拟)用反证法证明命题“a,b∈N,如果 ab 可被 5 整除,那么 a,b 至少有 1 个能被 5 整除”, 则假设的内容是 ( (A)a,b 都能被 5 整除 (B)a,b 都不能被 5 整除 (C)a 不能被 5 整除 (D)a,b 有一个不能被 5 整除 5.(2013·延安模拟)在不等边三角形 ABC 中,a 为最大边,要想得到 A 为钝角的结论,三边 a,b,c 应满足的 条件是 ( (A)a <b +c (C)a >b +c
2 2 2 2 2

)

) (B)a =b +c
2 2 2 2 2

2

(D)a ≤b +c

2

-1-

6.(2013·铜川模拟)若|loga |=loga ,|logba|=-logba,则 a,b 满足的条件是 ( (A)a>1,b>1 (C)a>1,0<b<1 (B)0<a<1,b>1 (D)0<a<1,0<b<1 ) )

7.(2013·长安模拟)若 a>0,b>0,且 a+b=1,则- - 的最大值为 ( (A)-3 (B)-4 (C)(D)-5 )

8.(2013·渭南模拟)设 x,y,z>0,则三个数 + , + , + ( (A)都大于 2 (C)至少有一个不小于 2 二、填空题 9.如果 a +b >a +b ,则 a,b 应满足的条件是 . (B)至少有一个大于 2 (D)至少有一个不大于 2

10.完成反证法证题的全过程. 已知:a1,a2,?,a7 是 1,2,?,7 的一个排列. 求证:乘积 P=(a1-1)(a2-2)?(a7-7)为偶数. 证明:假设 P 为奇数,则 得出矛盾,所以 P 为偶数. 11.已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N+(m,n∈N+),且对任意的 m,n∈N+都有: (1)f(m,n+1)=f(m,n)+2. (2)f(m+1,1)=2f(m,1). 给出以下三个结论:①f(1,5)=9;②f(5,1)=16; ③f(5,6)=26.其中正确结论的序号有 三、解答题 12.若 x,y 都是实数,且 x+y>2.求证: <2 与 <2 中至少有一个成立. . 均为奇数,因为奇数个奇数之和为奇数,故有奇数= = =0,

13.(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1)sin 13°+cos 17°-sin 13°cos 17°.
-22 2

(2)sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°. (3)sin 18°+cos 12°-sin 18°cos 12°. (4)sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos 48°. (5)sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos 55°. ①试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数. ②根据①的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 14.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图像与 x 轴有两个不同的交点.若 f(c)=0,且 0<x<c 时,f(x)>0. (1)证明: 是函数 f(x)的一个零点. (2)试比较 与 c 的大小.
2 2 2 2 2 2 2

2

2

答案解析 1.【解析】选 B.从已知条件出发,推出要证的结论,满足综合法. 2.【解析】选 D.a +b -1-a b ≤0 ?(a -1)(b -1)≥0. 3.【解析】选 D.A 中 a +b ≥2ab,B,C 中,若 a<0,b<0 时不成立. 4.【解析】选 B.该命题意思是说“a,b 有能被 5 整除的”,所以反设应是“a,b 都不能被 5 整除”. 5.【解析】选 C.当 A 为钝角时,cosA<0, 因此 <0,于是 a >b +c .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6.【思路点拨】先利用|m|=m,则 m≥0,|m|=-m,则 m≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可 求出 a 和 b 的范围. 【解析】选 B.∵|loga |=loga , ∴loga ≥0=loga1,根据对数函数的单调性可知 0<a<1. ∵|logba|=-logba, ∴logba≤0=logb1,但 b≠1,所以根据对数函数的单调性可知 b>1.
-3-

7.【解析】选 C.- - =-( + )(a+b)=-( + + )≤-( +2)=- , 当且仅当 = ,即 a= ,b= 时取等号. 8.【解析】选 C.∵( + )+( + )+( + ) =( + )+( + )+( + )≥2+2+2=6, ∴ + , + , + 中至少有一个不小于 2. 【变式备选】设实数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则实数 a,b,c 中至少有一个不小于 【解析】假设 a,b,c 都小于 ,即 a< ,b< ,c< , 则 a+b+c<1,这与 a+b+c=1 矛盾,因此实数 a,b,c 中至少有一个不小于 . 答案: 9.【解析】a ?( )(
2

.

+b +

>a

+b

)>0?a≥0,b≥0,且 a≠b.

答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 10.【解析】第一个空应填:a1-1,a2-2,?,a7-7. 第二个空应填:(a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7). 第三个空应填:(a1+a2+?+a7)-(1+2+?+7). 答案:a1-1,a2-2,?,a7-7 (a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7) 11.【解析】在(1)式中令 m=1 可得 f(1,n+1)=f(1,n)+2, 则 f(1,5)=f(1,4)+2=?=9; 在(2)式中,由 f(m+1,1)=2f(m,1)得, f(5,1)=2f(4,1)=?=16f(1,1)=16, 从而 f(5,6)=f(5,1)+10=26,故①②③均正确. 答案:①②③ 12.【证明】假设 <2 与 <2 均不成立,
-4-

(a1+a2+?+a7)-(1+2+?+7)



≥2 且

≥2,

∴1+x≥2y 且 1+y≥2x, ∴2+x+y≥2x+2y, ∴x+y≤2,与已知 x+y>2 矛盾, ∴ <2 与 <2 中至少有一个成立.
2 2

13.【解析】①选择(2)式计算如下 sin 15°+cos 15°sin 15°cos 15°=1- sin 30°= . ②三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= . 证明如下:sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) =sin α +(cos 30°cosα +sin30°sinα ) -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) =sin α + cos α + sinα cosα + sin α sinα cosα - sin α = sin α + cos α = . 14.【解析】(1)∵f(x)的图像与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2. ∵f(c)=0, ∴x1=c 是 f(x)=0 的根. 又 x1x2= , ∴x2= ( ≠c), ∴ 是 f(x)=0 的一个根, 即 是函数 f(x)的一个零点. (2)假设 <c, ∵ >0, 由 0<x<c 时,f(x)>0,
-52 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

知 f( )>0,这与 f( )=0 矛盾,∴ ≥c. 又∵ ≠c,∴ >c.

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