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浅谈中学数学中的零点问题


浅谈中学数学中的零点问题
杨志斌
摘要: 本文从数学零点问题出发,讨论了如何运用零点求解不等式和函数零点的求解方法以及 怎么利用零点解决一些实际问题。 关键词: 零点定义; 函数; 不等式

在数学领域里,求零点是个常见的问题。我们可以用已知条件求出零点,也可以用 零点去解决问题,比如解不等式,方程的有关问题,还有函数问题等等。用零点问题解 有些不等式可以把问题简单化,而解方程实际上就是求零点,通过零点问题可以把函数 问题形象化。我们了解零点在函数中所反映出来的特点,并且要学会通过零点去解决相 应的问题。

一、零点的有关定义
函数零点的定义是:对于函数 y ? f ( x) 使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零 点。零点的特征是:零点附近两侧的函数值异号。当 f ( x) ? 0 时,在坐标轴上显示的是 图象在 x 轴的上方部分的图象;当 f ( x) ? 0 时,在坐标轴上显示的是图象在 x 轴的下方 部分的图象。而 f ( x) ? 0 时,在坐标轴上显示的是图象在 x 轴的上的 x 的取值。 对于零点还有一个重要的定理,就是零点存在定理。 2004 年教育部推出的高中新课程的数学配套教材必修 1 中就引入了零点存在定理。 零点存在定理:连续函数 y ? f ( x) 在 ? a, b? 的端点处的函数值符号相反,则 y ? f ( x) 在 ? a, b ? 内至少有一个零点存在。 交点存在定理:两连续函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 ? a, b? 的端点处的函数的函数值大 小相反,则 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 ? a, b ? 内至少存在一个交点。 在中学,很多的问题都可以用零点问题的方法来解决的,有时通过用零点问题的解 法可以让问题变得简单化和形象化。 通过学习和对照中学教材的要求,在不等式中,零点问题有它的独特解法。
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二、利用零点解不等式
在中学数学课本中,不等式解法都是用不等式的运算法则去求解。这里,我向大家 介绍另外一种方法去解不等式,就是利用零点去解不等式。 它的一般步骤可以分为: (1)求零点:变不等式的不等号为等号,求出等值中未知数的值。分式方程要求 出分母为零时未知数的值; (2)列区间:把上述所求的零点按从小到大的顺序排好,从 ?? 开始定区间,一直 到 ?? 。看不等号是否含有等号,如果有则用闭区间,如果没有则用开区间; (3)利用特殊值:将一个比较简单的数代进不等式转化的等式中,看这个数是不 是不等式的一个解。如果是,则所求区间是不等式的一个解集;如果不是,则所在区间 不是不等式的解集; (4)得出解集:由区间的相间性及第(3)步所求得出的结论得到不等式的解。

(一)整式不等式
1. 只有一个不等号的不等式
下面用简单的例子说明如何应用零点解不等式,例如这道例子,先用原来的方法求 不等式。 例 1 求不等式 2 x ? 3 ? 5 。 先用一般的解法解这道不等式。 方法一 解:去绝对值符号,
?5 ? 2 x ? 3 ? 5 ,

则 ?2 ? 2 x ? 8 , ∴ ?1 ? x ? 4 。 方法二 (1)求零点 (2)列区间 我们先解出 2 x ? 3 ? 5 的解,得到 x ? 4, x ? ?1 。 ∵不等式的符号为“≤” , ∴区间为 ? ??, ?1? , ? ?1, 4? , ? 4, ?? ? 。 ? (3)利用特殊值 我们取 x ? 0 代入原不等式,不等式成立,所以 x ? 0 为原不
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等式的解之一。 (4)得出解集 因为 x ? 0 在区间 ? ?1, 4? 上,而不等式的解集都是相间出现的, 所以原不等式的解集为 ?1 ? x ? 4 。 两种方法第一种解法简便多了。举这个例子更好地说明这种解法的过程。

2.有两个不等号的不等式
当不等式中含有两个不等号时,我们又要如何应用零点呢? 例 2 解不等式 2 ? 3x ? 5 ? 8 。
? 3x ? 5 ? 2 ? 解法一:原不等式等价于 ? , 3x ? 5 ? 8 ? ?

?3x ? 5 ? 2 ?3x ? 5 ? ?2 ∴? 或? ??8 ? 3x ? 5 ? 8 ??8 ? 3x ? 5 ? 8
7 ? ? x ? ?1 ?x ? ? 3 ? ? ∴ ? 13 或? ?? 3 ? x ? 1 ?? 13 ? x ? 1 ? ? ? 3

∴ ?1 ? x ? 1 或 ?

13 7 ?x?? 。 3 3

7 13 解法二: (1)求零点 由 3x ? 5 ? 2 及 3x ? 5 ? 8 解出 x =-1, x ? ? , x ? 1 , x ? ? 。 3 3 13 13 7 (2)列区间 它的取值区间为(-∞, ? )( ? , ? ) , , 3 3 3 7 ( ? ,-1)(-1,1)(1,+∞) , , 。 3

(3)利用特殊值 (4) 得出解集

将 x=0 代入不等式,2<5<8,所以 x=0 为它的一个值。 以

而 x=0 在区间 (-1, 里, 1) 而区间相间出现, 所 不等式的解集为( ?
13 7 , ? )及(-1,1) 。 3 3

3.转化为等式时有二重根的不等式 那当不等式化为等式时求出来有重根要怎么办呢? 首先我们要先求出不等式相应等式的根,当出现重根时,比如有且仅有 x0 为等式的 二重根时, 除了跟上面不等式两道例题一样取出区间外, 还要有区间 ( x0 , x0 ) (或者 [ x0 , x0 ] ),
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因为区间 ( x0 , x0 ) 无解,所以无论 ( x0 , x0 ) 是不是不等式的解,它最后都不是不等式的解。 若不等式的符号为“≤”时,则要写 [ x0 , x0 ] ,即将 x0 看成一个区间。 例 3 解不等式 x 2 ? 9 ? x ? 3 。 解一: (1)求零点 我们先解出 x2 ? 9 ? x ? 3 的解,得到 x ? ?3, x ? 4 。 再解出 x2 ? 9 ? ?( x ? 3) 的解,得到 x ? ?3, x ? 2 。 (2)列区间 ∵不等式的符号为“ ? ” ∴区间为 (??, ?3) , (?3, ?3) , (?3, 2) , (2, 4) , (4, ??) 。 (3)利用特殊值 我们取 x ? 0 代入原不等式,不等式不成立,所以 x ? 0 不为

原不等式的解,则区间 (?3, 2) 不是原不等式的解。 (4)得出解集 因为区间 (?3, 2) 不为原不等式的解,而不等式的解集都是相间 所

出现的, 所以原不等式的解为 (?3, ?3) 和 (2, 4) ,因为区间 (?3, ?3) 无解, 以原不等式的解集为 2 ? x ? 4 。
?? x ? 3 ? x 2 ? 9 ? 解二:原不等式可化为方程组 ? 2 。 ?x ? 9 ? x ? 3 ? ? x2 ? x ? 6 ? 0 ? ∴? 2 , ? x ? x ? 12 ? 0 ?

? x ? ?3 ?x ? 2 ∴? 或? ??3 ? x ? 4 ??3 ? x ? 4
∴原不等式的解集为 2 ? x ? 4 。

(二)分式不等式
当不等式含有分式时,如果用经典的解法解,一般都要分为好几种情况。而如果要 利用零点解不等式又是怎么样的呢?

1.只有一个不等号的不等式
例 4 解不等式
x2 ? 1 ?5。 x ?1

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解: (1)求零点 (2)列区间

由 x ?1 ? 0 及

x2 ? 1 ?5得 x ?1

x ?1, x ? 2 , x ? 3。

(??,1) , (1, 2) , (2,3) , (3, ??) 。

(3)利用特殊值 (4)得出解集

0 在 (??,1) 上,故由区间的相间性,推出第(4) 。
(?? , 1、 (2,3) 。 )

例 5 求不等式 解一:不等式

8x ? 5 ? ?3 。 2 x 2 ? 3x ? 1

8x ? 5 (2 x ? 1)(3x ? 2) ? ?3 可化为 ? 0, 2 2 x ? 3x ? 1 ( x ? 1)(2 x ? 1) 1 1 2 在坐标轴上取点 ? , , ,1,如下图 2 2 3

?

1 2

1 2

2 3

1


1 1 2 ∴不等式的解为 x ? ? , ? x ? 或 x ? 1 。 2 2 3 8x ? 5 1 1 2 x ? ?3 得到 x ? ? , ? , ? , ? 1 。 x x 解二:1) ( 求方程 2 x2 ? 3x ? 1 ? 0 及方程 2 2 x ? 3x ? 1 2 2 3 1 1 1 1 2 1 (2)列区间 (??, ? ) , (? , ) , ( , ) , ( ,1) , (1, ??) 。 2 2 2 2 3 3 1 1 (3)0 不是不等式的解,且 0 在区间 (? , ) 中。 2 2 1 1 2 (4)不等式的解为 (??, ? ) , ( , ) , (1, ??) 。 2 2 3

而事实上,上面例题解一和解二(即利用“零点” )的方法差不多。前者先化简方 程,使不等式的右边为零,后者则要先求出方程 2 x2 ? 3x ? 1 ? 0 及方程
8x ? 5 ? ?3 。 2 x 2 ? 3x ? 1

然后前者画出坐标轴,后者列区间。前者利用曲线的最右端是向上得到区间解,而后者 则是利用特殊值,求出不等式的解。这两种方法大同小异。

2.有两个不等号的不等式
当不等式有两个不等号时,如下列不等式,求解分式的分母相应的等式所得的根为
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二重根。 例 6 解不等式
?2 ? x ?1 ? 3。 x

我们先用经典的解法: 解: (1)当 x ? 0 时,原不等式等价于 ?2 x ? x ? 1 ? 3x , ∴ ?2 x ? x ? 1 并且 x ? 1 ? 3x , ∴
x? 1 1 并且 x ? ? , 3 2 1 ∴x ? 。 3

(2)当 x ? 0 时,原不等式等价于 ?2 x ? x ? 1 ? 3 x , ∴ ?2 x ? x ? 1 并且 x ? 1 ? 3x ,
1 1 并且 x ? ? , 3 2 1 ∴x?? , 2 1 1 ∴原不等式的解为 x ? 或 x ? ? 。 3 2



x?

现在我们再利用“零点”来解上面这道不等式。 解: (1)求零点 解方程 ?2 x ? x ? 1 和方程 x ? 1 ? 3x , x ? 0 及 x ? 0 (由于有两个不等式

1 符号,所以有两个使分母为零的式子) ,得出 x ? ? , x ? 0 (二重) 2 1 及x ? 。 3 1 1 1 1 (2)列区间 (? ?, ? ) (? , 0) , (0, 0) , (0, ) , ( , ??) 。 , 2 2 3 3

(3)利用特殊值 (4)得出解集

当 x ? 1 时,有 ?2 ? 0 ? 3 ,所以 x ? 1 为不等式的一个解。
1 1 1 1? ( ,? ? ,故原不等式的解为 x ? 或 x ? ? 。 ) 3 3 2

三、 零点问题的其他应用
零点不仅能应用于不等式中,还在其它方面有各种作用。下面简略地介绍有关零点 的一些应用。

(一)交点问题
零点存在定理引出了交点存在定理。 交点存在定理:两连续函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 ? a, b? 的端点处的函数的函数值大
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小相反,则 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 ? a, b ? 内至少存在一个交点。 例 8 张三和李四两同学很喜欢数学,平时总喜欢把身边的事变成数学问题互相提 问。暑假时同登泰山,早上 6 时从山下出发边走边玩至 12 时到达南天门,第二天早上 6 时从南天门出发估计至 12 时也可回到山下,下山走到半途一块石刻时张三突然发现昨 天也是 9 时 30 分经过这块石刻 (上山和下山都看成是匀速运动) 于是张三问李四: 。 “我 们在上山和下山都在同一时刻经过同一地点,这是偶然现象还是必然现象?” 分析 如图,以时间 x(6 ? x ? 12) 为自变量,距离山下的路程 y 为因变量建立函数

关系。设上山为函数 y ? f ( x) ,下山为函 数 y ? g ( x) 。因 y ? f ( x) 为严格增函数,
y ? g ( x) 为严格减函数, 在区间 ?6,12? 的端

y 山顶

y ? f ( x)

点处的两函数值大小相反,所以两函数图 象在 (6,12) 内不但有交点, 而且是唯一的, 这说明上山和下山都在同一时刻经过同一 地点为必然现象。

y ? g ( x)
山下 0
6 12 x

(二)函数中零点的求解
事实上,方程 f ( x) ? 0 的根就是上面函数 y ? f ( x) 为 0 时实数 x 的值。 (1) ? x 2 ? 3x ? 5 ? 0 (2) 2 x( x ? 2) ? ?3 (3) x2 ? 4 x ? 4 (4) 5 x 2 ? 2 x ? 5 为什么以上这四道方程会没根呢? 我们把它们化为相应函数后再看下函数在坐标轴上的图象,发展它们有个共同的特 点,就是图象都跟坐标轴没交点,即函数没零点。 在二次函数中,零点就是二次函数对应的一元二次方程根的问题。 例9 已知 f ( x) ? x 2 ? 1 ? m x ? 1 ? a 有极小值 f (2) ? ?4 求 f ( x) 的零点。
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解:当 x ? 1 时,函数为

f ( x)? 2 ? m x ( a m1 ) x ? ? ?,
由题设知 ?
m ? 2 时, f (2) ? ?4 , 2

∴ a ? 5 , m ? ?4 ., ∴ f ( x) ? x2 ? 4 x( x ? 1) ,其零点为 x1 ? 4 。 当 ?1 ? x ? 1 时,同理得到 f ( x) ? ? x2 ? 4x ? 2 ,令 f ( x) ? 0 ,得到零点为 x2 ? 6 ? 2 。 当 x ? ?1 时,同理可有 f ( x) ? x2 ? 4x ? 8 ,因△= 42 ? 4 ? 8 = ?16 ? 0 , f ( x) 无零点。 故所求 f ( x) 的零点为 4 和 6 ? 2 。

(三)零点个数的求解
零点的个数的求法有好多种,有直接求出来然后数数多少个的,也有利用极值去求 个数的,当然,也有利用图象来求的,正如下面这道例子。 例 10 讨论方程 2 x ? 1 ? x 2 的零点个数. 解 该题可以利用数形结合的方法.将方程转化为方程组
? y ? 2x ? ? 2 ? y ? x ?1 ?

这就转化成了求两条曲线交点的问题.如图, 通过图形观察,可知:两条曲线有三个交点.也就是原方程有三个根.
-8-

通过上面的例子,我们不难发现,很多问题都能用零点解决的.只要我们能够掌握 并灵活运用自己的知识,就能从更多的角度求解问题.

四、几点思考
“零点”是我们常见的数学问题。因此,在具体的学习中我们应该把握以下几个方 面: 正确理解零点的定义及相关的定理。只有了解了正确的概念,再应用到题目中,才 能说是真正地学到了知识。 可以用到零点知识的地方相当广泛。一般常见的如:函数中的问题,不等式中的问 题,极值的问题,最值问题等等。 在不等式的解题中要注意有几个不等号,要怎么用零点问题去解决它,要不很容易 得到错误的答案。 总之,通过对数学零点问题的学习,不只是单纯地掌握一种基本解决数学问题的能 力,同时转变了数学的思维方式,有助于创新思维的增长,提高学习兴趣。这样才能让 学生在学习的过程中真正做到学以致用。

【附件 1】 [1]方良秋. 零点存在定理与幂、指函数的比较. [J]数学通报, 2006. [2]周丽馥,刘自新. 函数的零点问题. [J]大连大学学报,2003, 8.第 24 卷(4) [3]潘正义. 关于函数零点问题的注记. [J]高等数学研究, 1998, 9.

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