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江苏省南洋高级中学2015届高三第一次诊断性考试数学试题 Word版含答案


南洋高中 2015 届高三第一次诊断性考试 数 学 试 卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 1. 已知 A={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},则 A∩B=________. π 2. 设命题 p:α= ,命题 q:sinα=cosα,则 p 是 q 的___________条件. 4 3. 4. 已知 i 为虚数单位,则复数 1+2i 的模等于________. i-2

5. 6. 7.

π π 函数 y=2sin(x+ )+cos( -x)的最大值为_________. 2 2 2 x-1 (x≥0) 3 设函数 f (x)= 1 ,若 f (a)=a,则实数 a 的值是__________. (x<0) x

? ? ?

Read S←1 For i from 1 to 5 step 2 S←S+i 加其中一个小组,每位同学参加各个小组 End For 的可能性相同,则这两位同学参加同一个 Print S 兴趣小组的概率为_______. End a 3 8. 设 a∈ R,函数 f (x)=ex+ x是偶函数,若曲线 y=f (x)的一条切线的斜率是 ,则切点的 e 2 有 4 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参 横坐标为________. 9. 10. 1 2 已知 a=(m,n-1),b=(1,1)(m、n 为正数),若 a⊥ b,则 + 的最小值是________. m n 2S 设△ ABC 的三边长分别为 a、 b、 c, △ ABC 的面积为 S, 内切圆半径为 r , 则 r= ; a+b+c

阅读下列程序,输出的结果是______.

类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径 为 R,四面体 P-ABC 的体积为 V,则 R=__________. 11. 12. 设 i、j 分别表示平面直角坐标系 x、y 轴上的单位向量,且|a-i|+|a-2j|= 5,则|a 已知等差数列 {an}和等比数列{bn}满足:a1+b1=3,a2+b2=7,a3+b3=15,a4+b4 +2i|的取值范围是___________. =35,则 a5+b5=__________. 1 已知函数 f (x)=ax2+bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1), 若对任意 x∈ [1,9], 不等式 f (x 4 -t)≤x 恒成立,则所有满足条件的实数 t 组成的集合 为__________. .. 13. 14. x2 y2 点 M 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的点, 以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F, a b

圆 M 与 y 轴相交于 P,Q,若△ PQM 是锐角三角形,则椭圆离心率的取值范围是__________. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. π 15. 【本题 14 分】已知向量 a=(sinθ,1),b=(cosθ, 3),且 a∥ b,其中 θ∈ (0, ). 2 (1)求 θ 的值; 3 π (2)若 sin(x-θ)= ,0<x< ,求 cosx 的值. 5 2

16. 【本题 14 分】如图,空间几何体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形,直角梯形 ADFE 所在平面与面 ABCD 垂直,且 AE?AD,EF//AD,其中 P,Q 分别为棱 BE,DF 的中 点. (1)求证:BD?CE; (2)求证:PQ∥ 平面 ABCD. P A C E F Q D

B

17. 【本题 14 分】某商店经销一种纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖出一件产 品需向税务部门上交 a 元(a 为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的售价为 x 元 (35≤x≤41) ,根据市场调查,日销售量与 ex(e 为自然对数的底数)成反比例.已知 当每件产品的售价为 40 元时,日销售量为 10 件. (1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商店的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大 值.

x2 y2 4 18. 【本题 16 分】若椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e 为 ,且椭圆 C 的一个焦点与 a b 5 抛物线 y2=-12x 的焦点重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 M(2,0),点 Q 是椭圆上一点,当|MQ|最小时,试求点 Q 的坐标; (3)设 P(m,0)为椭圆 C 长轴(含端点)上的一个动点,过 P 点斜率为 k 的直线 l 交椭 圆与 A,B 两点,若|PA|2+|PB|2 的值仅依赖于 k 而与 m 无关,求 k 的值.
y

O

x

19. 【本题 16 分】已知函数 f ( x) ? x2 ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x) 图象与 x 轴异于 原点的交点 M 处的切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2 , 并且 l1 与 l2 平 行. (1)求 f (2) 的值; (2)已知实数 t∈ R,求函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ??1, e? 的最小值; (3)令 F (x) ? g (x) ?g '( x) ,给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 ,对于两个大于 1 的正数

? , ? ,存在实数 m 满足: ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,并且使得不
等式 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20. 【本题 16 分】有 n 个首项都是 1 的等差数列,设第 m 个数列的第 k 项为 a(m,k)(其中 m,k=1,2,3,· · · ,n,n≥3) ,公差为 dm,并且 a(1,n), a(2,n), a(3,n), · · · , a(n,n)成等差数列. (1)证明:dm=p1d1+p2d2(3≤m≤n,p1, p2 是 m 的多项式) ,并求 p1+p2 的值; (2)当 d1=1,d2=3 时,将数列{dm}分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),…(每 组数的个数构成等差数列) .设前 m 组中所有数之和为(cm)4(cm>0) ,求数列{2cm· dm } 的前 n 项和 Sn; (3)设 N 是不超过 20 的正整数,当 n>N 时,对于(1)中的 Sn,求使得不等式 -6)>dn 成立的所有 N 的值. 1 (S 50 n

高三第一次考试数学答题纸
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题……………… 一、 填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 ) 1._____________ 2.____________ 5._____________ 6.____________ 9._____________ 10.___________ 13.____________ 14.___________ 二、 解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分) 15. 3.____________ 7.____________ 11.___________ 4.____________ 8.____________ 12.___________

姓名_____________

学号________

16.

E

F Q

P

A C

D

B

高三___________

17.

18.

y

O

x

高三___________ 19.

学号________

姓名_____________

………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

20.

高三数学(理科)加试题
参考公式: 1 ? 2 ? 3 ?
2 2 2

? n2 ?

n(n ? 1)(2n ? 1) . 6

21. B. 选修 4 - 2:矩阵与变换 3 4 ? 求矩阵 A=? 的逆矩阵. ? 1 2 ? C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

1 ? x? t? ? ? t 已知曲线 C 的参数方程为 ? , ( t 为参数, t ? 0 ).求曲线 C 的普通方程。 ? y ? 3(t ? 1) ? 2 ? t ?
22.(本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2) ,其焦点 F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m,0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点间的距离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式。 23. (本题满分 10 分) 对于正整数 n ≥2,用 Tn 表示关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实数根的有序数
2

组 ( a, b) 的 组 数 , 其 中 a, b ??1,2,

;对于随机选取的 , n? ( a 和 b 可 以 相 等 )

a, b ??1,2,

2 ,记 Pn 为关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 , n? ( a 和 b 可以相等)

有实数根的概率。 (1)求 Tn2 和 Pn2 ; (2)求证:对任意正整数 n ≥2,有 Pn ? 1 ?

1 . n

高三___________

学号________

姓名_____________

………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

参考公式: 1 ? 2 ? 3 ?
2 2 2

B. 选修 4 - 2:矩阵与变换

C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) . 6

高三数学附加题答题纸

22.

23.

高三数学答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 21. 已知 A={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},则 A∩B=________. {2,4} π 22. 设命题 p:α= ,命题 q:sinα=cosα,则 p 是 q 的__________条件. 充分不必要 4 1+2i 23. 已知 i 为虚数单位,则复数 的模等于________. 1 i-2 π π 24. 函数 y=2sin(x+ )+cos( -x)的最大值为_________. 5 2 2 2 x-1 (x≥0) 3 25. 设函数 f (x)= 1 ,若 f (a)=a,则实数 a 的值是__________. -1 (x<0) x Read S←1 26. 阅读下列程序,输出的结果是______. 10 27. 有 4 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, For i from 1 to 5 step 2 S←S+i 每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加 End For 1 同一个兴趣小组的概率为_______. Print S 4 End a 3 28. 设 a∈ R,函数 f (x)=ex+ x是偶函数,若曲线 y=f (x)的一条切线的斜率是 ,则切点的 e 2 横坐标为________. ln2 1 2 29. 已知 a=(m,n-1),b=(1,1)(m、n 为正数),若 a⊥ b,则 + 的最小值是_____.3+2 2 m n 2S 30. 设△ ABC 的三边长分别为 a、 b、 c, △ ABC 的面积为 S, 内切圆半径为 r , 则 r= ; a+b+c 类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的 3V 半径为 R,四面体 P-ABC 的体积为 V,则 R=__________. S1+S2+S3+S4 31. 设 i、j 分别表示平面直角坐标系 x、y 轴上的单位向量,且|a-i|+|a-2j|= 5,则|a 6 5 +2i|的取值范围是___________. [ ,3] 5 32. 已知等差数列 {an}和等比数列{bn}满足:a1+b1=3,a2+b2=7,a3+b3=15,a4+b4 =35,则 a5+b5=__________. 91 1 33. 已知函数 f (x)=ax2+bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1), 若对任意 x∈ [1,9], 不等式 f (x 4 -t)≤x 恒成立,则所有满足条件的实数 t 组成的集合 为__________.{4} .. 2 2 x y 34. 点 M 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的点, 以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F, a b 圆 M 与 y 轴相交于 P,Q ,若 △ PQM 是锐角三角形,则椭圆离心率的取值范围是 6- 2 5-1 __________.( , ) 2 2 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. π 35. 【本题 14 分】已知向量 a=(sinθ,1),b=(cosθ, 3),且 a∥ b,其中 θ∈ (0, ). 2 (1)求 θ 的值; 3 π (2)若 sin(ω-θ)= ,0<ω< ,求 cosω 的值. 5 2 解: (1)∵ a=(sinθ,1),b=(cosθ, 3),且 a∥ b,∴ 3sinθ-cosθ=0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 3 π π ∴ tanθ= ,∵ θ∈ (0, ) ∴ θ= 6 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3 2

? ? ?

π π π π π 3 π 4 (2)∵ 0<ω< ∴ - <ω- < ∵ sin(ω- )= ,∴ cos(ω- )= ,· · · · · · · · · · · · · 10 分 2 6 6 3 6 5 6 5 π π π π π π ∴ cosω=cos(ω- + )=cos(ω- )cos -sin(ω- )sin 6 6 6 6 6 6 3 4 1 3 4 3-3 = ×- ×= . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 2 5 2 5 10 36. 【本题 14 分】如图,空间几何体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形,直角梯形 ADFE 所在平面与面 ABCD 垂直,且 AE?AD,EF//AD,其中 P,Q 分别为棱 BE,DF 的中 点. F E (1)求证:BD?CE; (2)求证:PQ∥ 平面 ABCD. P A C

Q D

B

37. 【本题 14 分】某商店经销一种纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖出一件产 品需向税务部门上交 a 元(a 为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的售价为 x 元 (35≤x≤41) ,根据市场调查,日销售量与 ex(e 为自然对数的底数)成反比例.已知 当每件产品的售价为 40 元时,日销售量为 10 件. (1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商店的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大 值. k k 10e40 解: (1)设日销售量为 x,则 40=10,∴ k=10e40. 则日销售量为 x 件. e e e 售价为 x 元时,每件利润为(x-30-a)元, x-30-a 10e40 则日利润 L(x)=(x-30-a) x =10e40· (35≤x≤41) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5? e ex

31+a-x (2)L?(x)=10e40· . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7? ex ① 当 2≤a≤4 时,33≤31+a≤35,而 35≤x≤41, ∴ L?(x)≤0,L(x)在[35,41]上是单调递减函数. 则当 x=35 时,L(x)取得最大值为 10(5-a)e5. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9? ② 当 4<a≤5 时,35<31+a≤36,令 L?(x)=0,得 x=a+31. 当 x∈ [35,a+31)时,L?(x)>0,L(x)在[35,a+31)上是单调递增函数; 当 x∈ (a+31,41]时,L?(x)<0,L(x)在(a+31,41]上是单调递减函数. ∴ 当 x=a+31 时,L(x)取得最大值为 10e9?a. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13? 5 综上,当 2≤a≤4 时,L(x)max=10(5-a)e . 当 4<a≤5 时,L(x)max=10e9?a. · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14? x2 y2 4 38. 【本题 16 分】若椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e 为 ,且椭圆 C 的一个焦点与 a b 5 2 抛物线 y =-12x 的焦点重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 M(2,0),点 Q 是椭圆上一点,当|MQ|最小时,试求点 Q 的坐标; (3)设 P(m,0)为椭圆 C 长轴(含端点)上的一个动点,过 P 点斜率为 k 的直线 l 交椭 圆与 A,B 两点,若|PA|2+|PB|2 的值仅依赖于 k 而与 m 无关,求 k 的值. y x2 y2 解: (1)∵ · · · · · · · · · · · · · · · · · ∴ 椭圆 C 的方程为: + =1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4? 25 16 (2)设 Q(x,y),-5≤x≤5 16 9 O ∴ |MQ|2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+16- x2= x2-4x+20 25 25 50 ∵ 对称轴 x= >5∴ 当 x=5 时,|MQ|2 达到最小值, 9 ∴ 当|MQ|最小时,Q 的坐标为(5,0) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8? (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(m,0)(-5≤m≤5),直线 l:y=k(x-m) k(x-m) ? ?y= 25m2k2-400 50mk2 2 y2 由? x 得 x1+x2= 2 ,x1x2=- , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10? 25k +16 25k2+16 ?25+16=1 ? 32mk ∴ y1+y2=k(x1-m)+k(x2-m)=k(x1+x2)-2km=- 2 25k +16 (16m2-400)k2 y1y2=k2(x1-m)(x2-m)=k2x1x2-k2m(x1+x2)+k2m2= · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12? 25k2+16 2 2 ∴ |PA|2+|PB|2=(x1-m)2+y1+(x2-m)2+y2 =(x1+x2)2-2x1x2-2a(x1+x2)+(y1+y2)2-2y1y2-2y1y2+2a2 (512-800k2)m2+800(16+25k2) =(k2+1)· (25k2+16)2 2 2 ∵ |PA| +|PB| 的值仅依赖于 k 而与 m 无关 4 ∴ 512-800k2=0∴ k=± . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16? 5
2 39. 【本题 16 分】已知函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x) 图象与 x 轴异于

x

原点的交点 M 处的切线为 l1 ,g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2 , 并且 l1 与 l2 平 行. (1)求 f (2) 的值; (2)已知实数 t∈ R,求函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ??1, e? 的最小值; (3)令 F (x) ? g (x) ?g '( x) ,给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 ,对于两个大于 1 的正数

? , ? ,存在实数 m 满足: ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,并且使得不 等式 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.

解: (1) y ? f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M (a,0) , f '( x) ? 2 x ? a

y ? g ( x ? 1) ? ln( x ? 1) 图象与 x 轴的交点 N (2, 0) , g '( x ? 1) ?
由题意可得 kl1 ? kl2 ,即 a ? 1 , ∴ f ( x) ? x2 ? x, , f (2) ? 22 ? 2 ? 2
2 2

1 x ?1

………………2 分 ………………4 分

(2) y ? f [ xg ( x)+t ] ? [ x ln x+t ] ? ( x ln x+t ) = ( x ln x) ? (2t ?1)( x ln x) ? t 2 ? t …………………5 分 令 u ? x ln x ,在 x ??1, e? 时, u ' ? ln x ? 1 ? 0 , ∴u ? x ln x 在 ?1, e? 单调递增, 0 ? u ? e, …………6 分

y ? u 2 ? (2t ?1)u ? t 2 ? t 图象的对称轴 u ?
① 当u ?

1 ? 2t 1 ? 0 即 t ? 时, ymin ? y |u?0 ? t 2 ? t ………………7 分 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e ? e 即t ? ② 当u ? 时, ymin ? y |u ?e ? e2 ? (2t ?1)e ? t 2 ? t …8 分 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 1 ?e即 ? t ? 时, ③ 当0 ? 2 2 2 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 1 ……………9 分 ymin ? y | 1?2t ? ( ) ? (2t ? 1) ?t ?t ? ? u? 2 2 4 2 1 1 1 x ?1 (3) F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ? ln x ? F '( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 , x x x x F ( x ) (1, ?? ) 所以 在区间 上单调递增 …………………10 分 得x ? 1 ,
? F(1) ?0 ∴当x ? 1 时, F(x)
① 当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

1 ? 2t ,抛物线开口向上 2

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 , 得 ? ? ( x1 , x2 ) ,同理 ? ? ( x1 , x2 ) , ……………………11 分 0 ? F ( x1 ) ? F (? ) 、 F (? ) ? F ( x2 ) ∴ 由 f ( x) 的单调性知 从而有 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,符合题设. …12 分 ② 当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 由 f ( x) 的单调性知 0 ? F (? ) ? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (? ) , ∴| F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符 ………14 分 ③ 当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 , 得 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符. ……15 分
∴ 综合① 、② 、③ 得 m ? (0,1) …………16 分 说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分. 40. 【本题 16 分】有 n 个首项都是 1 的等差数列,设第 m 个数列的第 k 项为 a(m,k)(其中 m,k=1,2,3,· · · ,n,n≥3) ,公差为 dm,并且 a(1,n), a(2,n), a(3,n), · · · , a(n,n)成等差数列. (1)证明:dm=p1d1+p2d2(3≤m≤n,p1, p2 是 m 的多项式) ,并求 p1+p2 的值; (2)当 d1=1,d2=3 时,将数列{dm}分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),…(每 组数的个数构成等差数列) .设前 m 组中所有数之和为(cm)4(cm>0) ,求数列{2cm· dm } 的前 n 项和 Sn;

(3)设 N 是不超过 20 的正整数,当 n>N 时,对于(1)中的 Sn,求使得不等式

1 (S 50 n

-6)>dn 成立的所有 N 的值. a(1,1), a(1,2), a(1,3), · · · , a(1,n) 解: (1)由题意知 a(m,n)=1+(n-1)dm. a(2,1), a(2,2), a(2,3), · · · , a(2,n) ∴ a(2,n)-a(1,n)=[1+(n-1)d2]-[1+(n-1)d1]=(n-1)(d2-d1), a(3,1), a(3,2), a(3,3), · · · , a(3,n) 同理,a(3,n)-a(2,n)=(n-1)(d3-d2), · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · a(4,n)-a(3,n)=(n-1)(d4-d3),…, a(m,1), a(m,2), a(m,3), · · · , a(m,n) a(n,n)-a(n-1,n)=(n-1)(dn-dn-1). 又∵ a(1,n), a(2,n), a(3,n), · · · , a(n,n)成等差数列, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ∴ a(2,n)-a(1,n)=a(3,n)-a(2,n)=· · · =a(n,n)-a(n-1,n) a(n,1), a(n,2), a(n,3), · · · , a(n,n) 故 d2-d1=d3-d2=· · · =dn-dn-1,即{dn}是公差为 d2-d1 的等差数列. ∴ dm=d1+(m-1) (d2-d1)=(2-m)d1+(m-1)d2 令 p1=2-m,p2=m-1,则 dm=p1d1+p2d2(3≤m≤n,p1,p2 是 m 的多项式) 此时 p1+p2=1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4? (2)当 d1=1,d2=3 时,dm=2m-1 数列{dm}分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),… 按分组规律,第 m 组中有 2m-1 个奇数, ∴ 第 1 组到第 m 组共有 1+3+5+· · · +(2m-1)=m2 个奇数. ∵ 前 k 个奇数的和为 1+3+5+· · · +(2k-1)=k2,∴ 前 m2 个奇数的和为 m4. 4 4 cm m ∴ (cm) =m ,∵ cm>0∴ cm=m,∴ 2 · dm=(2m-1)· 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6? 2 3 n?1 n ∴ Sn=1· 2+3· 2 +5· 2 +· · · +(2n-3)· 2 +(2n-1)· 2. 2Sn= 1· 22+3· 23+· · · +(2n-5)· 2n?1+(2n-3)· 2n+(2n-1)· 2n+1. 2 3 n?1 n n+1 相减得:-Sn=2+2· 2 +2· 2 +· · · +2· 2 +2· 2 -(2n-1)· 2 . =2× (2+22+23+· · · +2n)-2-(2n-1)· 2n+1. =2× 2(2n-1)-2-(2n-1)· 2n+1=(3-2n)· 2n+1-6 n+1 ∴ Sn=(2n-3)· 2 +6; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10? (3)由(2)得 dn=2n-1,Sn=(2n-3)· 2n+1+6. 1 故不等式 (Sn-6)>dn 等价于(2n-3)· 2n+1>50(2n-1). 50 即 f (n)=(2n-3)· 2n+1-50(2n-1)=(2n-3)· (2n+1-50)-100. 当 n=1,2,3,4,5 时,都有 f (n)<0,即(2n-3)· 2n+1<50(2n-1) 7 而 f (6)=9× (2 -50)-100= 9× (128-50)-100=602>0 ∵ 当 n≥6 时,f (n)单调递增,故有 f (n)>0. 1 ∴ 当 n≥6 时,(2n-3)· 2n+1>50(2n-1)成立,即 (Sn-6)>dn 成立. 50 ∴ 满足条件的所有正整数 N=5,6,7,· · · ,20. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16?

数学Ⅱ (附加题)
B. 选修 4 - 2:矩阵与变换

求矩阵 A=?

3 4 ? 的逆矩阵. ? 1 2 ?

C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

1 ? x? t? ? ? t 已知曲线 C 的参数方程为 ? , ( t 为参数, t ? 0 ).求曲线 C 的普通方程。 ? y ? 3(t ? 1) ? 2 ? t ?
[必做题]第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定 区域 内作答,解答时 ..... .. 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22. (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 抛物线 C 的顶点在原点, 经过点 A (2, 2) , 其焦点 F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m,0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点 间的距离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式。 【解析】 [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识,考查运 算求解能力。满分 10 分。

23. (本题满分 10 分)对于正整数 n ≥2,用 Tn 表示关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0
2

有实数根的有序数组 ( a, b) 的组数,其中 a, b ??1,2, 取的 a, b ??1,2, 有实数根的概率。 (1)求 Tn2 和 Pn2 ; (2)求证:对任意正整数 n ≥2,有 Pn ? 1 ?

;对于随机选 , n? ( a 和 b 可以相等)

2 ,记 Pn 为关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 , n? ( a 和 b 可以相等)

1 . n


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