3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

第二节 空间角的概念及其求法和空间距离的求法


第二节 空间角的概念及其求法和空间距离的求法
一、选择题 1.(2008 年福建)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( A. 6 3 2 6 B. 5 ) C. 15 5 D. 10 5

2. (2008 年四川延考)一个正方体的展开图如右图所示, C, B, D 为原正方体的顶点,A 为原正方体一条棱的中点.在原来的正 方体中,CD 与 AB 所成角的余弦值为 ( A. C. 5 10 5 5 B. D. 10 5 10 10 )

3.设 E,F 是正方体 AC1 的棱 AB 和 D1C1 的中点,在正方体的 12 条面对角线中,与截 面 A1ECF 成 60° 角的对角线的数目是( A.0 B.2 C.4 ) D.6

4.如右图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F 分别为棱 AA1、BB1 的中点,G 为棱 A1B1 上的一点,且 A1G =λ(0≤λ≤1),则点 G 到平面 D1EF 的距离为( A. 3 C. 2λ 3 B. D. 2 2 5 5 )

5.(2009 年重庆卷)已知二面角 α-l-β 的大小为 50° 为空间中任意一点,则过点 P ,P 且与平面 α 和平面 β 所成的角都是 25° 的直线的条数为( A.2 B.3 C. 4 D.5 )

1

二、填空题

6.(2009 年四川卷)如右图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各 条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所 成的角的大小是________.

7.(2008 年四川延考)已知∠AOB=90° 为空间中一点,且 ,C ∠AOC=∠BOC=60° ,则直线 OC 与平面 AOB 所成角的正弦值为_________.

8.PA,PB,PC 是从 P 点引出的三条射线,他们之间每两条的夹角都是 60° ,则直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦值为________________.

三、解答题 9.如右图所示,等腰三角形△ABC 的底边 AB=6 6,高 CD=3, E 是线段 BD 上异于 B、 的动点, F 在 BC 边上, 点 D 点 且 EF⊥AB, 现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置, PE⊥AE, 使 记 BE=x,V(x)表示四棱锥 P-ACEF 的体积. (1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值? (3)当 V(x)取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值.

10.(2008 年四川延考卷)如右图所示,一张平行四边形的硬纸片 ABC0D 中,AD=BD =1,AB= 2.沿它的对角线 BD 把△BDC0 折起,使点 C0 到达平面 ABC0D 外点 C 的位置. (1)证明:平面 ABC0D⊥平面 CBC0; (2)如果△ABC 为等腰三角形,求二面角 A-BD-C 的大小.

2

第三节 空间角的概念及其求法和空间距离的求法
一、选择题 1.(2008 年福建)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( A. 6 3 2 6 B. 5 ) C. 15 5 D. 10 5

解析:连 A1C1 与 B1D1 交与 O 点,再连 BO,则∠OBC1 为 BC1 与平面 BB1D1D 所成角. OC1 sin∠OBC1= ,OC1= 2,BC1= 5 BC1 ∴sin∠OBC1= 答案:D 2 10 = . 5 5

2. (2008 年四川延考)一个正方体的展开图如右图所示, C, B, D 为原正方体的顶点,A 为原正方体一条棱的中点.在原来的正 方体中,CD 与 AB 所成角的余弦值为 ( A. C. 5 10 5 5 B. D. 10 5 10 10 )

解析:还原正方体如下图所示,设 AD=1,则 AB= 5,AF=1,BE=EF=2 2,AE =3,CD 与 AB 所成角等于 BE 与 AB 所成角,

5+8-9 10 所以余弦值为 cos∠ABE= = ,选 D. 10 2× 5×2 2 答案:D

3.设 E,F 是正方体 AC1 的棱 AB 和 D1C1 的中点,在正方体的 12 条面对角线中,与截
3

面 A1ECF 成 60° 角的对角线的数目是( A.0 B.2 C.4

) D.6

解析:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系,并设 1 正方体的棱长为 1,则 A1(1,0,0),E?1,2,0?,C(0,1,0).设平面 A1ECF 的法向量为 n=(x, ? ? 1 → → → → y,z),则由A1E· n=0 及EC· n=0,可得 x=z= y,于是可取 n=(1,2,1).AB1=DC1=(0,1,1), 2 → → D1B1=DB=(1,1,0),而且可计算得到这四个向量与向量 n 所成的角为 30° ,于是这四个向量 与平面 A1ECF 所成的角为 60° .而其它的面对角线所在的向量均不满足条件. 答案:C

4.如右图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F 分别为棱 AA1、BB1 的中点,G 为棱 A1B1 上的一点,且 A1G =λ(0≤λ≤1),则点 G 到平面 D1EF 的距离为( A. 3 C. 2λ 3 B. D. 2 2 5 5 )

解析:因为 A1B1∥EF,G 在 A1B1 上,所以 G 到平面 D1EF 的距离即是 A1 到面 D1EF 1 1× 2 5 5 的距离,即是 A1 到 D1E 的距离,D1E= ,由三角形面积可得所求距离为 = ,故选 2 5 5 2 D. 答案:D 5.(2009 年重庆卷)已知二面角 α-l-β 的大小为 50° 为空间中任意一点,则过点 P ,P 且与平面 α 和平面 β 所成的角都是 25° 的直线的条数为( A.2 答案:B 二、填空题 B.3 C. 4 D.5 )

6.(2009 年四川卷)如右图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各 条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所 成的角的大小是________. 解析:作 BC 的中点 N,连接 AN,则 AN⊥平面 BCC1B1, 连接 B1N,则 B1N 是 AB1 在平面 BCC1B1 的射影, ∵B1N⊥BM,∴AB1⊥BM.即异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是 90° .
4

答案:90° 7.(2008 年四川延考)已知∠AOB=90° ,C 为空间中一点,且∠AOC=∠BOC=60° , 则直线 OC 与平面 AOB 所成角的正弦值为_________. 解析:由对称性知点 C 在平面 AOB 内的射影 D 必在∠AOB 的平分线上,作 DE⊥OA 于 E,连结 CE,则由三垂线定理 CE⊥OE,

设 DE=1?OE=1, OD= 2, 又∠COE=60° CE⊥OE?OC=2, , 所以 CD= OC2-OD2 = 2,因此直线 OC 与平面 AOB 所成角的正弦值 sin∠COD= 答案: 2 2 2 . 2

8.PA,PB,PC 是从 P 点引出的三条射线,他们之间每两条的夹角都是 60° ,则直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦值为________________. 答案: 3 3

三、解答题 9.如右图所示,等腰三角形△ABC 的底边 AB= 6 6,高 CD=3,

点 E 是线段 BD 上异于 B、D 的动点,点 F 在 BC 边上,且 EF⊥AB,现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的 位置,使 PE⊥AE,记 BE=x,V(x)表示四棱锥 P-ACEF 的体积. (1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值? (3)当 V(x)取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值. 解析:(1)由折起的过程可知,PE⊥平面 ABC, x2 6 SΔABC=9 6,S△BEF= · S = x2, 108 △BDC 12 V(x)= 1 2 6 ? x 9- x ?(0<x<3 6). 3 ? 12 ? 6? 1 2? 9- x , 所以 x∈(0,6)时, V′(x)>0 , V(x)单调递增; 6<x<3 6时 V′(x) 3? 4 ?

(2)V′(x)=

5

<0 ,V(x)单调递减;因此 x=6 时,V(x)取得最大值 12 6; (3)过 F 作 MF∥AC 交 AD 于 M,则 BM BF BE BE = = = ,MB=2BE=12,PM=6 2, AB BC BD 1 AB 2 MF=BF=PF= 6 3 6 BC= 6 54+9= 42, 3 84-72 1 = , 42×2 7

在△PFM 中, cos∠PFM=

1 ∴异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值为 . 7

10.(2008 年四川延考卷)如右图所示,一张平行四边形的硬纸片 ABC0D 中,AD=BD =1,AB= 2.沿它的对角线 BD 把△BDC0 折起,使点 C0 到达平面 ABC0D 外点 C 的位置. (1)证明:平面 ABC0D⊥平面 CBC0; (2)如果△ABC 为等腰三角形,求二面角 A-BD-C 的大小.

解析:(1)证明:因为 AD=BC0=BD=1, AB=C0D= 2, 所以∠DBC0=90° ,∠ADB=90° . 因为折叠过程中,∠DBC=∠DBC0=90° , 所以 DB⊥BC,又 DB⊥BC0,故 DB⊥平面 CBC0. 又 DB?平面 ABC0D,所以平面 ABC0D⊥平面 CBC0. (2)法一:如右图,延长 C0B 到 E,使 BE=C0B,连结 AE, CE. 因为 AD 綊 BE,BE=1,DB=1,∠DBE=90° ,所以 AEBD 为正方形,AE=1. 由于 AE,DB 都与平面 CBC0 垂直,所以 AE⊥CE,可知 AC>1. 因此只有 AC=AB= 2时,△ABC 为等腰三角形. 在 Rt△AEC 中,CE= AC2-AE2=1,又 BC=1, 所以△CEB 为等边三角形,∠CBE=60° . 由(1)可知,BD⊥BC,BD⊥BE,所以∠CBE 为二面角 A-BD-C 的平面角,即二面角
6

A-BD-C 的大小为 60° . 法二:以 D 为坐标原点,射线 DA,DB 分别为 x 轴正半轴和 y 轴正

半轴,建立如右图的空间直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,0,0). 由(1)可设点 C 的坐标为(x,1,z),其中 z>0,则有 x2+z2=1.① 因为△ABC 为等腰三角形,所以 AC=1 或 AC= 2. 若 AC=1,则有(x-1)2+1+z2=1. 由此得 x=1,z=0,不合题意. 若 AC= 2,则有(x-1)2+1+z2=2.② 1 3 联立①和②得 x= ,z= . 2 2 1 3 故点 C 的坐标为? ,1, ?. 2? ?2 → → 由于 DA⊥BD,BC⊥BD,所以DA与BC夹角的大小等于二面角 A-BD-C 的大小. 1 3 → → 又DA=(1,0,0),BC=? ,0, ?, 2? ?2 → → DA· BC 1 → → cos〈DA,BC〉= = . → → 2 |DA||BC| → → 所以〈DA,BC〉=60° ,即二面角 A-BD-C 的大小为 60° .

7


推荐相关:

空间角的求法一、异面直线所成角的求法 平移法 常见三种平移方法:直接平移;...,( A 3 ) 3 B O C D α 二、二面角的四种求法 1.定义法:从一条直线...


空间角与距离求法(高二)_数学_高中教育_教育专区。空间角点面距离求法 求...1.空间角的求法 在立体几何中,求空间角是学习的重点, 也是学习的难点, 更是...


2 4 4 第二节一、选择题 空间角的概念及其求法和空间距离的求法 1.(2008 年福建)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1...


空间角的求法一般是:一找、二证、三计算。 一、异面直线所成角的求法异面...从找平面角的角度出发,有以下几种方法: (一)定义法: 在棱上选一恰当的“点...


(2)直线与平面所成的角 定义:直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内...2.利用空间向量求空间距离 构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点...


空间角的求法_数学_高中教育_教育专区。空间角的求法一、二面角的常见求法:(1)定义法(2)垂线法(3)垂面法(4)延伸法(5)射影法 1、定义法: 例 1:如图 ...


空间角和距离的求法空间角和距离的求法隐藏>> 空间角和距离的求法教学目标:使...?直线与平面所成的角: 设法找出射影 ?两个平面所成的二面角 :方法:定义法;...


空间角及其求法 11页 免费 向量法求解空间距离与空间...空间中的角的求法 6页 5财富值 空间角的求法1 ...其一般步 找出或作出有关的平面角; 证明它符合定义...


2.考查简单的空间距离的计算(点面距是重点). 1.掌握空间角的定义、范围,掌...点面距的求法如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量...


空间角的求法_数学_高中教育_教育专区。空间角的求法一、异面直线所成角的求...(二、二面角的四种求法 1.定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com