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导学案38 4.3.1空间直角坐标系


4.3.1

空间直角坐标系

第四章 圆的方程 【课前导学】

1.数轴Ox上的点M,用代数的方法怎样表示呢?

0

M

x

人 教 A 版 数 学

数轴Ox上的点M,可用 与它对应的实数x表示;

第四章 圆的方程 【课前导学】

2.直角坐标平面上的点M,怎样表示呢?
人 教 A 版 数 学

M(x,y)

直角坐标平面上的点M,可用一对有序 实数(x,y)表示.

【课前导学】
3.以点O为坐标原点,建立三条两两互相垂直的数轴

x 轴、 y 轴、 z 轴,这时称建立了一个空间直角坐标
系O-xyz. 教材中所用的坐标系都是 右手直角坐标系 ,其规则

是:让右手拇指指向x轴正方向,食指指向y轴正方向,

则中指能指向z轴正方向 .
4、数轴Ox 上点M用实数x表示,直角坐标平面上的点

(x,y) 表示,建立空间直角坐标系后, M用一对有序实数
空间的点M可用有序实数组

(x,y,z)

表示.其中 x 叫做点M

y 叫做点M的纵坐标, z 叫做点M的竖坐标. 的横坐标,

第四章

圆的方程

下图是一个房间的示意图,我们来探讨板凳 和气球位置的表示方法. z
人 教 A 版 数 学

p 墙 墙 地面 a O

1 1
p1

b

y
(a,b)

x

第四章

圆的方程



z


yOz


zOx
面 Ⅱ Ⅰ

xOy
Ⅶ Ⅷ



o

y
Ⅵ Ⅴ

人 教 A 版 数 学

x
八个部分

坐标面把空间分成 每一个部分叫卦限

特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下

点的 位置 坐标

原点

x轴

y轴

z轴

xOy 平面

yOz 平面

xOz 平面

(x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) (0,0,0) 表示

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5

在平面直角坐标系 xoy 中,点(x1,y1)与点(x2,y2)

?x1+x2 y1+y2? ? 的中点坐标为? ;类比可知,在空间直角坐 , ? 2 2 ? ? ?

标系 o-xyz 中,点 P(x1,y1,z1)、Q(x2,y2,z2)的中点 M

x1 ?. x2 的坐标为________ ( 2
6. 标如下:

y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 2 2

在平面直角坐标系中,点P(x,y)的几种特殊的对称点的坐

(1)关于原点的对称点是P′(-x,-y),

(2)关于x轴的对称点是P″(x,-y),
(3)关于y轴的对称点是P?(-x,y), 那么,在空间直角坐标系内,点P(x,y,z)的几种特殊的对称 点坐标:

(1)关于原点的对称点是P1________;

(-x,-y,-z);

(x,- y,-z); (2)关于横轴(x轴)的对称点是P2________ ;

(- x, y,-z); (3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3________ ;
(4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4________ ; y,z); (-x,-
(5)关于xOy坐标平面的对称点是P5________; (6)关于yOz坐标平面的对称点是P6________; (7)关于zOx坐标平面的对称点是P7________.

(x,y,-z); (-x,y,z); (x,-y,z).

记忆方法:“关于谁对称谁不变,其余变相反”,

【典例探究】 知识应用 例、长方体 OABC—D A B C 中, AB =8, BC =6, CC =2,E 为 CC 的中点, OB ∩BD =Q:(1)写出 E、Q 的坐标; (2)写出 C 关于 y 轴、z 轴的对称点的坐标; (3)写出 C 关于 xOy 面、xOz 面的对称点的坐标; (4)写出 B 点关于 O 点、C 点的对称点的坐标。
/ / / / / / / / /
/

/

.

iii.

Q

i. E

E ·

. 答案:(1)(0,8,1)、(3,4,1); (2)(0,8,—2)、(0,—8,2); (3) )(0,8,—2)、(0,—8,2); (4)(—6,—8,—2)、(—6,8,—2)。
/

(4)分析:令B (6,8, 2)关于C (0,8, 0)的对称点是 (a , b , c ), a?6 b?8 c?2 则 ? 0, ? 8, ? 0。 2 2 2

小结
1、空间直角坐标系的产生 2、空间直角坐标系的定义及空间中点的坐标和 点的对应关系 3、空间直角坐标系的应用。

【课后作业】
/ 1、 如图,长方体 OABC ? D / A/ B / C / 中, OA = OD =2,

2、 已知点 A 在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标为(-2,4,-3), 试建立空间直角坐标系,画出该点的位置.

3 (2, 3, 2) 、____________ (0, 3, 0) 。 (1, , 2) 、 ____________ 分别是____________ 2

OC =3, A/ C / ∩ B / D / =P,则 P、B / 、C 的坐标

z

2
0

4
3
y

x

A

1、 如图正方体 OABC–D 3

/

A B C 的棱长为 2,
/ / / /

/

/

/

E、F、G、H、I、J 分别是棱 C D 、A D 、 / / A A 、AB、BC、CC 的中点。 写出正六边形 EFGHIJ 各顶点的坐标。

解:E(0,1,2)、F(1,0,2)、 G(2,0,1)、H(2,1,0)、 I(1,2,0)、J(0,2,1)。
G

z
F A1 D1 E B1 O B C I C1 J

y

x A H

2、如图,正三棱柱 ABC–A1B1C1 的棱长都为 2,OC1⊥A1B1: 4 (1)写出 A、C 点的坐标; (2)写出 A 关于 x 轴、O 点、xOy 面、B1 点的对称点的坐标。

答案: (1) A(0, ?1,2)、C ( 3,0,2); (2)(0, 1, ? 2)、 (0, 1, ? 2)、 (0, ? 1, ? 2)、 (0, 3, ?2)。
分析 : (2)令A(0, ? 1, 2)关于B1 (0,1,0) a b ?1 的对称点为(a, b, c), 则 ? 0, ? 1, 2 2 c?2 ? 0。 2
A C

z
B

A1

O

B1

y

x

C1( 3,0,0)

4 、三棱锥 V ? ABC 的各个面是边长为 2 5 的正三角形,且顶点 V 在底面上的射影 O 为 ?ABC 的中心,如图,以 O 为坐标原点,

OB 为 y 轴, OV 为 z 轴,由
正三角形的性质知 OB ? CA , 于是可以过 O 且平行于 CA 的 直线为 x 轴建立直角坐标系, 写出各点的坐标


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