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广东2012届高考仿真试题理科数学(五)


2012 届高考模拟仿真试题· 广东(五)· 理科数学
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1+ai 1.若复数 (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( C ) 1+i 1 A.- 2 解析: C. 2.已知集合 M={x|-1≤x<2},N={x|x≤a},若 a≥-1,则( C ) A.M?N B.M∪N=N C.M∩N≠? D.M∩N=? 解析:因 C、D 选项是对立的,排除 A、B 项,利用 a=-1 时 M∩N≠?,可得选 C,或 利用数轴分析选 C. 3.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=4,S4=20,则数列{an}的公比 q=( B ) A.2 B.± C. 3 D.± 3 2 解析:由已知 S2=4,S4=20 可得,a3+a4=S4-S2=16,a3+a4=q2·2=4q2=16,所以 S q2=4,所以 q=± 2,故选 B. π 1 4.把函数 y=sin(x+ )图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变), 再将图象向 6 2 π 右平移 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( A ) 3 π π π π A.x=- B.x=- C.x= D.x= 2 4 8 4 π 1 解析:把函数 y=sin(x+ )图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍可得到函数 y=sin(2x+ 6 2 π π π )的图象,再将图象向右平移 个单位,可得到函数 y=sin(2x- )=-cos2x 的图象,故选 A. 6 3 2 5.下边所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成,箭头将告诉你下 一步到哪一个框图.阅读该流程图解决如下问题:若 0<m<1,a=m2、b=2m、c=log2m,则 输出的数是( B ) 1 B. C.-1 D.1 2

?a+1=0 ? 1+ai ?1+ai??1-i? ?1+a?+?a-1?i 1+ai = = ,由 是纯虚数,得 ? ,故选 2 2 1+i 1+i ? ?a-1≠0

A.a B.b C.c D.a 或 c 解析:阅读所示的流程图可知:该流程图的功能是输出 a、b、c 三个数中的最大者.若 0<m<1,由函数性质可知:0<m2<1,1<2m<2,log2m<0,所以 c<a<b,故选 B. 1 6.函数 y=f(x)的图象如图 1 所示,则函数 y=log f(x)的图象大致是( C ) 2

1 解析:相同区间上,函数 y=f(x)与函数 y=log f(x)的单调性相反,故选 C. 2 7.给出以下三个命题: ①“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件; ② 若 命 题 p : “ ? x ∈ R , 使 得

x2 + x + 1<0” , 则

?瘙 綈 p:“?x∈R,均有 x2+x+1≥0”;

?x-y+2≥0 ? ③如果实数 x,y 满足?x+y-4≥0 ?2x-y-5≤0 ?

,则 z=|x+2y-4|的最大值为 21.

其中真命题的个数为( D ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:满足题意的区域内的点中,直线 x-y+2=0 与直线 2x-y-5=0 的交点(7,9)到直 线 x+2y-4=0 的距离最大,此时 z=|x+2y-4|取最大值 21,三个命题均是真命题,故选 D. 8.定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为 d=b-a,多个区间并集的长度 为各区间长度之和,例如,(1,2)∪[3,5)的长度 d=(2-1)+(5-3)=3.用[x]表示不超过 x 的最 大整数,记{x}=x-[x],其中 x∈R.设 f(x)=[x]· {x},g(x)=x-1,若用 d1,d2,d3 分别表示不 等式 f(x)>g(x),方程 f(x)=g(x),不等式 f(x)<g(x)解集区间的长度,则当 0≤x<2012 时,有( A ) A.d1=1,d2=1,d3=2010 B.d1=1,d2=2,d3=2009 C.d1=2,d2=3,d3=2007 D.d1=3,d2=5,d3=2004 解析:f(x)=x[x]-[x]2,所以 x∈[0,1]时,f(x)=0,所以当 x∈[0,1)时,f(x)>g(x);当 x∈ [1,2)时,f(x)=x-1=g(x);当 x∈[n,n+1),n≥2,n∈N*时,x-1-(nx-n2)=(n-1)(n+1 -x)>0,即 f(x)<g(x),由 d1,d2,d3 的定义易知选 A. 二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.) (一)必做题(9~13 题) 9.某工厂经过技术改造后,生产某种产品的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤) 有如下几组样本数据, x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

根据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线 的斜率为 0.7,那么这组数据的回归直线方程是 y =0.7x+0.35 . 9 7 7 9 解析:这组样本数据的样本中心为( , ),y - =0.7(x- ),即回归直线方程 y =0.7x 2 2 2 2 +0.35. 10.某单位有 7 个连在一起的车位,现有 3 辆不同型号的车需停放,如果要求剩余的 4 个车位连在一起,则不同的停放方法的种数为 24 . 解析:用“捆绑法”与“插空法”易得:不同的停放方法的种数为 4A3=24. 3 1 6 11.设 a=?π(sinx+cosx)dx, 则二项式(a x- ) 的展示式中含 x2 项的系数是 -192 . x ?0 解析:a=?π(sinx+cosx)dx=2,故展示式中含 x2 项为 C5(2 x)5(- 6

?0

1 1 ) ,故展示式中含 x

x 项的系数是-192. → → → → → → AB· BC BC· CA CA· AB 12.在△ABC 中,若 = = ,则 tanA∶tanB∶tanC= 6∶2∶3 . 3 2 1 → → → → → → AB· BC BC· CA CA· AB accosB abcosC bccosA 解析:由 = = ,得- =- =- , 3 2 1 3 2 1

2

2 tanB= tanC,tanA=2tanC,所以 tanA∶tanB∶tanC=6∶2∶3. 3 13.空间点到平面的距离如下定义:过空间一点作平面的垂线,该点和垂足之间的距离 即为该点到平面的距离.平面 α,β,γ 两两互相垂直,点 A∈α,点 A 到 β,γ 的距离都是 3, 点 P 是 α 上的动点,满足 P 到 β 的距离是 P 到点 A 距离的 2 倍,则点 P 的轨迹上的点到 γ 的距离的最小值为 3- 3 . 解析:以平面 α,β,γ 的交点为直角坐标原点,平面 α,β 的交线为 x 轴,平面 α,γ 的 交线为 y 轴建立直角坐标系,则点 Ρ 的轨迹方程为:2 ?x-3?2+?y-3?2=|y|,所以 4(x-3)2 =-3(y-4)2+12≤12, 所以 3- 3≤x≤3+ 3, P 的轨迹上的点到 γ 的距离的最小值为 3 故 - 3. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题.) 14.(坐标系与参数方程选做题)

?x= 22t 若极点与直角坐标系的坐标原点重合,极轴与 x 轴的正方向重合,直线? 2 ?y=1+ 2 t

(t

为参数)与曲线 ρ=2 交于点 A、B,则线段 AB 的长度为 14 . 解析:直线为 y=x+1,ρ=2 表示(0,0)为圆心,2 为半径的圆,(0,0)到直线 y=x+1 的 距离为 2 ,故 AB=2× 2 1 14 4- =2× = 14. 2 2

15.(几何证明选讲选做题) 如图,已知 PC、DA 为⊙O 的切线,C、A 分别为切点,AB 为⊙O 的直径,若 DA=2, CD 1 = ,则 AB= DP 2 4 3 .

CD 1 解析:DC=DA=2, = ,故 DP=4,PC=6, DP 2 又 DA⊥PB,可得∠DPA=30° ,连接 OC,OC⊥PC, 故 OC=PCtan30° =2 3,故 AB=4 3. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 1 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b、c,a=2 3,b=2,cosA=- . 2 (1)求角 B 的大小; (2)若函数 f(x)=cos2x+csin2(x+B),求函数 f(x)在(0,π)上的单调递增区间. 1 2π 3 解:(1)cosA=- ,得 A= ,sinA= .(1 分) 2 3 2



a b c 1 = = ,得 sinB= .(3 分) sinA sinB sinC 2

π π 又 0<B< ,所以 B= .(5 分) 3 6 π (2)由(1)知,C=π-A-B= ,故 c=b=2, 6 π 所以 f(x)=cos2x+2sin2(x+ ) 6 π =cos2x-cos(2x+ )+1.(6 分) 3 1 3 =cos2x- cos2x+ sin2x+1 2 2 1 3 = cos2x+ sin2x+1 2 2 π =sin(2x+ )+1.(8 分) 6 π π π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 6 2 3 6 π π 所以所求函数的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z.(10 分) 3 6 π 2π 故函数 f(x)在(0,π)上的单调递增区间为(0, )和( ,π).(12 分) 6 3 17.(本小题满分 13 分) 将编号为 1,2,3 的三个小球随意放入编号为 1,2,3 的三个纸箱中,每个纸箱内有且只有一 个小球, 称此为一轮“放球”, 设一轮“放球”后编号为 i(i=1,2,3)的纸箱放入的小球编号为 ai,定义吻合度误差为 ξ=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|.假设 a1,a2,a3 等可能地为 1、2、3 的各 种排列,求: (1)某人一轮“放球”满足 ξ=2 时的概率; (2)ξ 的数学期望. 解:(1)ξ 的所有可能结果如下: 纸箱 编号 小球 编号 2 2 纸箱 编号 小球 编号 1 1 2 3 3 2 0 2 1 2 3 ξ 1 3 3 1 2 4 1 2 3 ξ

纸箱 编号 小球 编号 3 3 1 所以 P(ξ=2)= .(6 分) 3 (2)ξ 的分布列为 ξ P 1 1 8 所以 Eξ=2× +4× = .(13 分) 3 2 3 18.(本小题满分 13 分) 0 1 6 2 1 3 4 1 2 1 2 2 1 4 4 1 2 3 ξ

已知四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形,∠BCD=60° ,AB=PB=PD=2,PC= 3,AC 与 BD 交于 O 点,E,H 分别为 PA,OC 的中点. (1)求证:PC∥平面 BDE; (2)求证:PH⊥平面 ABCD; (3)求直线 CE 与平面 PAB 所成角的正弦值. 解:(1)证明:连接 OE,因为 E,O 分别为 PA,AC 的中点,所以 EO∥PC.(1 分) 又 EO?平面 BDE,PC?平面 BDE.(2 分) 所以 PC∥平面 BDE.(3 分)

(2)证明:连接 OP,因为 PB=PD, 所以 OP⊥BD.(4 分) 在菱形 ABCD 中,BD⊥AC,又因为 OP∩AC=O, 所以 BD⊥平面 PAC. 又 PH?平面 PAC,所以 BD⊥PH.(5 分) 在直角三角形 POB 中,OB=1,PB=2,

所以 OP= 3.(6 分) 又 PC= 3,H 为 OC 的中点,所以 PH⊥OC.(7 分) 又因为 BD∩OC=O,所以 PH⊥平面 ABCD.(8 分)

(3)过点 O 作 Oz∥PH,所以 Oz⊥平面 ABCD. 如图,以 O 为原点,OA,OB,Oz 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系.(9 分) 可得,A( 3,0,0),B(0,1,0),C(- 3,0,0),P(- 3 3 3 3 ,0, ),E( ,0, ).(10 分) 2 2 4 4

3 3 3 → 5 3 3 → → 所以AB=(- 3,1,0),AP=(- ,0, ),CE=( ,0, ).(11 分) 2 2 4 4 → ?- 3x+y=0 ?n· =0 ? ? AB 设 n=(x,y,z)是平面 PAB 的一个法向量,则? ,即? 3 3 3 , → ? AP ?- 2 x+2z=0 ?n· =0 ? 令 x=1,则 n=(1, 3, 3).(12 分) 4 → 设直线 CE 与平面 PAB 所成的角为 θ,可得 sinθ=|cos〈n,CE〉|= . 7 4 所以直线 CE 与平面 PAB 所成角的正弦值为 .(13 分) 7 19.(本小题满分 14 分) lnx 已知函数 f(x)= , x (1)求函数 f(x)的最大值; (2)若 a>0,求函数 f(x)在区间[2a,4a]上的最小值. 1-lnx lnx 解:(1)因为 f(x)= ,所以 f′(x)= 2 .(1 分) x x 当 x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)在区间(0,e)上单调递增; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在区间(e,+∞)上单调递减;(3 分) 1 故当 x=e 时,[f(x)]max= .(4 分) e e (2)①当 4a≤e,即 0<a≤ 时,由(1)可知此时函数 f(x)在区间[2a,4a]上单调递增,所以函 4 数 f(x)在区间[2a,4a]上的最小值为 f(2a).(6 分) e ②当 2a≥e,即 a≥ 时,由(1)可知此时函数 f(x)在区间[2a,4a]上单调递减,所以函数 f(x) 2 在区间[2a,4a]上的最小值为 f(4a).(8 分)

e e ③当 2a<e<4a, <a< 时, 即 由(1)可知此时函数 f(x)在区间[2a, e]上单调递增; 在区间[e,4a] 4 2 上单调递减,函数 f(x)在区间[2a,4a]上的最小值为 min{f(2a),f(4a)}.(10 分)
2 ln2a ln4a ln4a -ln4a lna f(2a)-f(4a)= - = = .(11 分) 2a 4a 4a 4a

e 当 <a≤1 时,lna≤0,f(2a)≤f(4a), 4 此时函数 f(x)在区间[2a,4a]上的最小值为 f(2a).(12 分) e 当 1<a< 时,lna>0,f(2a)>f(4a), 2 此时函数 f(x)在区间[2a,4a]上的最小值为 f(4a).(13 分) ln4a 综上可知:当 a>1 时,函数 f(x)在区间[2a,4a]上的最小值为 f(4a)= ;当 0<a≤1 时, 4a ln2a 函数 f(x)在区间[2a,4a]上的最小值为 f(2a)= .(14 分) 2a 20.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,过 F 的直线交 y 轴正半轴于点 P,交抛物线于 A、 B 两点,其中点 A 在第一象限. (1)求证:以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切; → → → → λ1 1 1 (2)若FA=λ1AP,BF=λ2FA, ∈[ , ],求 λ2 的取值范围. λ2 4 2 p 2 解:(1)证明:由已知 F( ,0),设 A(x1,y1),则 y1=2px1, 2 2x1+p y1 2x1+p 圆心坐标为( , ),圆心到 y 轴的距离为 ,(2 分) 4 2 4 2x1+p |FA| 1 p 圆的半径为 = ×|x1-(- )|= ,(4 分) 2 2 2 4 所以,以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切.(5 分) → → → → (2)方法 1:设 P(0,y0),B(x2,y2),由FA=λ1AP,BF=λ2FA, p p p 得(x1- ,y1)=λ1(-x1,y0-y1),( -x2,-y2)=λ2(x1- ,y1),(6 分) 2 2 2 p p p 所以 x1- =-λ1x1,y1=λ1(y0-y1), -x2=λ2(x1- ),y2=-λ2y1,(8 分) 2 2 2
2 2 由 y2=-λ2y1,得 y2=λ2y2.又 y2=2px1,y2=2px2,所以 x2=λ2x1.(10 分) 2 2 1 1

p p p 2 p p 代入 -x2=λ2(x1- ),得 -λ2x1=λ2(x1- ), (1+λ2)=x1λ2(1+λ2), 2 2 2 2 2 p 整理得 x1= ,(12 分) 2λ2 p p p λ1p 1 λ1 代入 x1- =-λ1x1,得 - =- ,所以 =1- .(13 分) 2 2λ2 2 2λ2 λ2 λ2 λ1 1 1 4 因为 ∈[ , ],所以 λ2 的取值范围是[ ,2].(14 分) λ2 4 2 3

p 方法 2:设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB:x=my+ , 2 p 将 x=my+ 代入 y2=2px,得 y2-2pmy-p2=0,所以 y1y2=-p2, 2 → → → → 由FA=λ1AP,BF=λ2FA, p p p 得(x1- ,y1)=λ1(-x1,y0-y1),( -x2,-y2)=λ2(x1- ,y1)(7 分) 2 2 2 p p p 所以,x1- =-λ1x1,y1=λ1(y0-y1), -x2=λ2(x1- ),y2=-λ2y1,(8 分) 2 2 2 p2 将 y2=-λ2y1 代入(*)式,得 y2= .(10 分) 1 λ2 p2 p 所以 2px1= ,x1= .(12 分) λ2 2λ2 p 1 λ1 代入 x1- =-λ1x1,得 =1- .(13 分) 2 λ2 λ2 λ1 1 1 4 因为 ∈[ , ],所以 λ2 的取值范围是[ ,2].(14 分) λ2 4 2 3 21.(本小题满分 14 分) 有 n 个首项都是 1 的等差数列, 设第 m 个数列的第 k 项为 amk(m, k=1,2,3, n, ?, n≥3), 公差为 dm,并且 a1n,a2n,a3n,?,ann 成等差数列. (1)证明:dm=p1d1+p2d2(3≤m≤n,p1,p2 是 m 的多项式),并求 p1+p2 的值; (2)当 d1=1,d2=3 时,将数列{dm}分组如下: (d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),?(每组数的个数构成等差数列). 设前 m 组中所有数之和为(cm)4(cm>0),求数列{2cmdm}的前 n 项和 Sn. 1 (3)设 N 是不超过 20 的正整数,当 n>N 时,对于(2)中的 Sn,求使得不等式 (Sn-6)>dn 50 成立的所有 N 的值. 解:(1)由题意知 amn=1+(n-1)dm. a2n-a1n=[1+(n-1)d2]-[1+(n-1)d1]=(n-1)(d2-d1), 同理,a3n-a2n=(n-1)(d3-d2),a4n-a3n=(n-1)(d4-d3),?,ann-a(n-1)n=(n-1)(dn- dn-1). 又因为 a1n,a2n,a3n,?,ann 成等差数列, 所以 a2n-a1n=a3n-a2n=?=ann-a(n-1)n. 故 d2-d1=d3-d2=?=dn-dn-1,即{dn}是公差为 d2-d1 的等差数列. 所以,dm=d1+(m-1)(d2-d1)=(2-m)d1+(m-1)d2. 令 p1=2-m,p2=m-1,则 dm=p1d1+p2d2,此时 p1+p2=1.(4 分) (2)当 d1=1,d2=3 时,dm=2m-1(m∈N*).数列{dm}分组如下: (d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),? 按分组规律,第 m 组中有 2m-1 个奇数,所以第 1 组到第 m 组共有 1+3+5+?+(2m -1)=m2 个奇数. 注意到前 k 个奇数的和为 1+3+5+?+(2k-1)=k2, 所以前 m2 个奇数的和为(m2)2=m4,即前 m 组中所有数之和为 m4,所以(cm)4=m4. 因为 cm>0,所以 cm=m,从而 2cmdm=(2m-1)·m(m∈N*). 2 (*)(6 分)

所以 Sn=1×2+3×22+5×23+7×24+?+(2n-3)·n 1+(2n-1)·n. 2 2 2 3 4 n n+1 2Sn=1×2 +3×2 +5×2 +?+(2n-3)×2 +(2n-1)×2 . + 故-Sn=2+2×22+2×23+2×24+?+2×2n-(2n-1)·n 1 2 + =2(2+22+23+?+2n)-2-(2n-1)·n 1 2 2?2n-1? + =2× -2-(2n-1)·n 1 2 2-1 =(3-2n)·n 1-6. 2 + 所以 Sn=(2n-3)2n 1+6.(9 分) + (3)由(2)得 dn=2n-1(n∈N*),Sn=(2n-3)2n 1+6(n∈N*). 1 + 故不等式 (Sn-6)>dn,就是(2n-3)2n 1>50(2n-1). 50 考虑函数 f(n)=(2n-3)2n 1-50(2n-1)=(2n-3)(2n 1-50)-100. + 当 n=1,2,3,4,5 时,都有 f(n)<0,即(2n-3)2n 1<50(2n-1). 而 f(6)=9×(128-50)-100=602>0,注意到当 n≥6 时,f(n)单调递增,故有 f(n)>0. 1 + 因此当 n≥6 时,(2n-3)2n 1>50(2n-1)成立,即 (Sn-6)>dn 成立. 50 所以,满足条件的所有正整数 N=5,6,7,?,20.(14 分)
+ + +





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