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广东省广州六中2012届高三上学期第三次月考数学(文)试题(word版含答案)


2012 届上学期高三第三次文科数学考试卷
命题:刘旭升 考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分
1 3 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.

审题:赖建旋

参考公式:锥体的体积公式 V ?

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) 的定义域为 A, g ( x ) ? A. ( 0 ,?1) B. [0 ,?1] C. (0 ,?1]
x 的定义域为 B,则 A ? B =(



D. [0 ,?1) )

2.设 ? a n ? 是等差数列,且 a 7 ? a 8 ? a 9 ? 1 5 ,则其前 15 项和 S 1 5 ? ( A.15
?

B.45
?
o

C.75
? ?

D.105
? ?

3.已知平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,且满足 ( a ? b ) ? a ? 0 ,若 | a | =1,则 | b | =(
3 2

?



A.2

B. 3

C.1

D.

4. 如图 1,M、N、P 为正方体 AC1 的棱 AA1、A1B1、A1D1 的中点,现沿截面 MNP 切去锥 体 A1-MNP,则剩余几何体的侧视图(左视图)为( ) P A1 A. B. M D A C. D. 图1 B C N B1 C1

5.若函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ? ) 的部分图象如图 2 所示,则 ? 和 ? 的取值是( A. ? ? 1, ? ? C. ? ?
1 2



?
3

B. ? ? 1, ? ? ? D. ? ?
1 2

?
3

,? ?

?
6

,? ? ?

?
6

6.已知命题“若 m=1,则直线 ( m ? 2 ) x ? y ? 1 ? 0 与直 线 ( m ? 2 ) x ? ( m ? 2 ) y ? 3 ? 0 垂直”,则其否命题、逆 命题、逆否命题中真命题共有( A. 0 个 B. 1 个 ) C. 2 个 D. 3 个
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

第 1 页 共 8 页

x

2

7.已知双曲线 a 2

?

y b

2 2

? 1( a> 0, b > 0 )

的两条渐近线均和圆 C: x 2

? y ? 6x ? 5 ? 0
2

相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为(
x
2

)
x
2

A. 5

?

y

2

?1

x

2

?

y

2

?1

x

2

?

y

2

?1

?

y

2

?1

4
3

B. 4

5

C. 3

6

D. 6 )
)?(

3

8. 曲线 f ( x ) ? x ? x 上任一点处的切线的倾斜角的范围是( A. [ 0 ,
?
2 )?[ 3? 4
2

,? )

B. [ 0 ,

?
6

]?[

5? 6

,? )

C. [

?
6

,

?
2

?
2

,

5? 6

]

D. [ ?

?
4

,

?
2

)

? x ? 4 x ?? x ? 0 2 9. 已知函数 f ( x ) ? ? , f (2 ? a ) ? f ( a) 若 2 ? 4 x ? x ,?? x ? 0

, 则实数 a 的取值范围是 (



A. ( ? ? , ? 1) ? ( 2, ? ? )

B. ( ? 1,? 2 )

C. ( ? 2,1)

D. ( ? ? , ? 2 ) ? (1, ? ? )

10. 设集合 ? 和 ? 为平面中的两个点集,若存在点 A 0 ? ? 、 B 0 ? ? ,使得对任意的点
A ? ? 、 B ? ? , 均 有 | A B |? | A 0 B 0 | , 则 称 | A 0 B 0 | 为 点 集 ? 和 ? 的 距 离 , 记 为
?x? y ?1 ? d ( ? ,? ? ) ? | A 0 B 0 | .已知集合 ? ? { ( x , y ) | x ? ( y ? 2 ) ? 1} , ? ? { ( x , y ) | ? x ? y ? 4 ?} ,则 ? y ?1 ?
2 2

d ( ? ,? ? ) ? (


3 2 2

A.

3 2 2

B.

?1

C. 5

D. 5 ? 1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.复数
1? i i

(i 为虚数单位)的虚部为

12.已知 a 为直线,? ,? ? 为两个不同平面,给出下列语句:① a ? ? ;② a ? ? ;③ ? / / ? . 现以其中两个语句作为条件,余下一个作为结论构成的命题中真命题的个数为_______ 13.设椭圆的焦点为 F1、F2,以 F1F2 为直径的圆与椭圆的一个交点为 P,若|F1F2|=2|PF2|, 则椭圆的离心率为_________ 14.已知函数 f ( x ) ?
x ?1 4 ? 2x

,则 f (

1 2012

)? f (

2 2012

) ?? ? f (

2011 2012

) ? ________

第 2 页 共 8 页

三、解答题(共六小题,共 80 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分) 已知平面直角坐标系中, A(cos x , x) , B (1 , , O A ? O B ? O C , f ( x ) ? | O C | . 1) sin
2

??? ?

??? ?

????

????

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和对称中心; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [ 0 , 2 ? ] 上的单调递增区间. 16. (本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心在直线 y=2x 上,且与直线 l:x+y+1=0 相切于点 P(-1,0). (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若 A(1,0),点 B 是圆 C 上的动点,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程,并说明表 示什么曲线. 17.(本小题满分 14 分) 如图 3,在直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A C ? B C , A C ? B C ? 1 ,
C C 1 ? 2 ,点 D 、 E 分别是 A A1 、 C C 1 的中点.

C

A E C1 A1
图3

B

(Ⅰ)求证: A E / / 平面 B C 1 D ; (Ⅱ)证明:平面 B C 1 D ? 平面 B C D ; (Ⅲ)求多面体 A1B1C1BD 的体积 V.

D

B1

18.(本小题满分 14 分)已知 a ? R 且 a ? 0 ,设函数 f ( x ) = ax2 +x-3alnx. (I)求函数 f ( x ) 的单调区间;(II)当 a=-1 时,证明: f ( x ) ≤2x-2.
x a
2 2

19. (本小题满分 14 分)已知椭圆

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的一个焦点 F 与抛物线 y ? 4 x
2

的焦点重合,P 为椭圆与抛物线的一个公共点,且|PF|=2,倾斜角为 4 5 的直线 l 过点 F . (1)求椭圆的方程; (2) 设椭圆的另一个焦点为 F 1 , 问抛物线 y
2

?

? 4 x 上是否存在一点 M , 使得 M 与 F 1 关

于直线 l 对称,若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 已知数列 ? a n ? ? n ? N (1)当 ? ?
?
4
*

? 满足: a

1

? 1, a n ? 1 ? sin ? ? a n ? co s 2? ? co s
2

2n

? , 其中 ? ? ? 0 ,
?

?

? ?

?. 2 ?

时,求 ? a n ? 的通项公式;
? an
2 ? cos

(2)在(1)的条件下,若数列 ? b n ? 中, b n ? s in
b1 ? 1 . 求证:对于 ? n ? N ,1 ? b n ?
*

? a n ?1
4

?n ? N

*

,n ? 2?, 且

2 恒成立;

第 3 页 共 8 页

(3)对于 ? ? ? 0 ,
?

?

? ?

4 的大小. ? , 设 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,试比较 S n ? 2 与 2 s in 2 ? 2 ?

2012 届上学期高三第三次数学(文)答案
一、选择题(共 10 题,每题 5 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 题 1 2 3 4 5 6 号 答 D C A B C B 案 11. -1 ; 12.3; 13. 3 ? 1 ; 14. 2 三、解答题:共 6 小题,共 80 分.
sin 15.解:(Ⅰ)由题设知, O A ? (co s x , x ) ,????????????????1 分 ??? ?
1 2011 ( )

7 A

8 A

9 C

1 0 D

???? ??? ??? ? ? ??? ? O B ? (1 , ,则 O C ? O A ? O B ? (1 ? co s x , ? sin x ) ???????2 分 1) 1
???? 2 2 2 f ( x ) ? | O C | ? (1 ? co s x ) ? (1 ? sin x )
? 3 ? 2 (sin x ? co s x ) ??????????????????4 分

? 3? 2

2 s in ( x ?

?
4

) ??????????????????5 分

故最小正周期为 2 ? ??????????????????6 分 对称中心横坐标满足 x ? 对称中心是 ( k ? ? (Ⅱ)当 2 k ? ? 即 2k? ?
3? 4

?
4

? k ? , k ? Z ,即 x ? k ? ?

?
4

,k ? Z

?
4

, , k ? Z ??????????????????8 分 3)

?
2

? x?

?
4

? 2k? ?

?
2

, k ? Z 时 f ( x ) 单增,?????9 分

? x ? 2k? ?

?
4

, k ? Z ??????????????10 分

又 x ? [0, 2 ? ] ,故 f ( x ) 的递增区间为 [0 ,

?
4

] 和[

5? 4

, 2 ? ] ?????????12分

16.解:(Ⅰ)设圆心 C(a,b)半径为 r,则有 b=2a,…………………1 分 又 C 落在过 P 且垂直于 l 的直线 y=x+1 上,…………………3 分 故有 b=a+1,解得 a=1,b=2,从而 r= 2 2 …………………5 分 ∴圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 8 ……………………………………6 分
2 2

(Ⅱ)设 M(x,y),B(x0,y0),则有

1 ? x0 2

? x,
2

y0 2

? y ,????????8 分
2

解得 x 0 ? 2 x ? 1, y 0 ? 2 y ,代入圆 C 方程得 ( 2 x ? 2 ) ? ( 2 y ? 2 ) ? 8 ,????10 分

第 4 页 共 8 页

化简得 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 ?????11 分
2 2

表示以(1,1)为圆心, 2 为半径的圆.???12 分 17.(Ⅰ)证明:在矩形 A C C 1 A1 中, 由 C1 E / / A D , C1 E ? A D 得 A E C 1 D 是平行四边形。???????1 分 所以 A E / / D C 1 , ???????2 分 又 A E ? 平面 B C 1 D , C 1 D ? 平面 B C 1 D , 所以 A E / / 平面 B C 1 D ???????4 分

C B E C1

A

D

A1

? (Ⅱ)证明:直三棱柱 A B C ? A B1 C1 中, C C 1 ? 面 A B C , B C ? C C 1 , A C ? B C , 1 C C 1 ? A C ? C ,所以 B C ? 平面 A C C 1 A1 ,???????6 分

图3

B1

而 C 1 D ? 平面 A C C 1 A1 ,所以 B C ? C 1 D 。???????7 分 在矩形 A C C 1 A1 中, D C ? D C 1 ? 所以 C 1 D ? D C ,
2 , C C 1 ? 2 ,从而 D C ? D C 1 ? C C 1 ,
2 2 2

???????8 分 ???????9 分 ???????10 分

又 D C ? B C ? C ,所以 C 1 D ? 平面 B C D , 而 C 1 D ? 平面 B C 1 D ,所以平面 B C 1 D ? 平面 B C D

(Ⅲ)取 A1B1 中点 F,由 A1C1=B1C1 知 C1F⊥A1B1,?????11 分 又直三棱柱中侧面 ABA1B1⊥底面 A1B1C1 且交线为 A1B1,故 C1F⊥面 A1B1BD,??12 分 ∴V=
1 3 S A B BD ? C1 F ?
1 1

1 1 ? (1 ? 2 ) ? 3 2
3a x

2?

2 2
2

?

1 2

???????14 分

18.解:(I) f ? ( x ) ? 2 a x ? 1 ?

?

2 ax ? x ? 3a x

( x ? 0 ) ??????????1 分

令 f ? ( x ) ? 0 解得 x1 ? 列表如下:

?1 ?

1 ? 24a 4a

2

? 0, x2 ?

?1 ?

1 ? 24a 4a

2

( 舍 ) ???????3 分

x
f ?( x ) f (x)

(0, x1 ) +
?

( x1 , ? ? ) ?

???????6 分 故 f ( x ) 的单调递增区间为(0,
? ? )???????7 分
?1 ? 1 ? 24a 4a
2

)、递减区间为(

?1 ?

1 ? 2 4a 4a

2



(II) f ( x )的 定 义 域 为 (0, ? ? ) ,a=-1 时, f ( x ) ? x ? x 2 ? 3 ln x .

第 5 页 共 8 页

设 g ( x ) ? f ( x ) ? ( 2 x ? 2 ) ? 2 ? x ? x 2 ? 3 ln x , ????????????9 分 则
g ?( x ) ? 1 ? ? 2 x ? 3 x ? ? ( x ? 1)( 2 x ? 3) x .

????????10 分

当 0 ? x ? 1时 , g ? ( x ) ? 0; 当 x ? 1时 , g ? ( x ) ? 0 . 所 以 g ( x ) 在 (0 ,1) 单 调 增 加 , 在 (1, ? ? ) 单 调 减 少 .

????????12 分 ????????14 分

而 g (1) ? 0, 故 当 x ? 0时 , g ( x ) ? 0, 即 f ( x ) ? 2 x ? 2 . 19.解:(1)抛物线 y 设 P(x,y)则|PF|= x ? ∴ ∴ ∴
2

2

? 4 x 的焦点为 F (1, 0 ) ,?????????1 分

p 2

? 2 ,故 x=1,y= ? 2 ???????3 分

2 a ? | P F | ? | P F1 | ? 2 ? 2

2 ,a ? 1?

2

???????5 分

b ? a ?1 ? 2 ? 2 2
2

???????6 分
2

该椭圆的方程为
?

x

3?2

? 2
?

y

2

2?2

?1 2

???????7 分

(2)∵ 倾斜角为 4 5 的直线 l 过点 F , ∴ 直线 l 的方程为 y ? tan 45 ( x ? 1) ,即 y ? x ? 1 ,???????8 分 由(1)知椭圆的另一个焦点为 F1 ( ? 1, 0 ) ,设 M ( x 0 , y 0 ) 与 F 1 关于直线 l 对称,???9 分
? y0 ? 0 ? 1 ? ?1 ? ? x0 ? 1 则得 ? x 0 ? ( ? 1) ? y0 ? 0 ? ?1 ? 2 2 ?

???????10 分

解得 ?

?x0 ? 1 ? y0 ? ?2

,即 M (1, ? 2 )
2

???????11 分 ???????13 分

又 M (1, ? 2 ) 满足 y 所以抛物线 y
2

? 4 x ,故点 M 在抛物线上。

? 4 x 上存在一点 M (1, ? 2 ) ,使得 M 与 F 1 关于直线 l 对称。?????14 分

20.解:(1)当 ? ?
? a n ?1 ? 1 2

?
4

时, s in ? ?
2

1 2

, c o s 2? ? 0 ,

an ? 0, 即

a n ?1 an

?

1 2

.

?? 2 分
1 2

故数列 ? a n ? 是首项为 a 1 ? 1, 公比为 故数列 ? a n ? 的通项公式为 (2)由(1)得, a n ?
b n ? s in ? s in
an ?

的等比数列. ?????????4 分
*

1 2
n ?1

1 2
n ?1

, ? 当 n ? N , n ? 2 时,有
? s in (

? an
2

? cos

? a n ?1
4

?
2

? 2

1
n ?1

1 ? ?? ) ? cos ? ? n?2 ? ? 4 2 ?

?
2
n

? cos

?
2
n

?

? ? ? ? 2 s in ? n ? ? ???????6 分 4 ? ?2

第 6 页 共 8 页

b1 ? 1 也满足上式,故当 n ? N 时, b n ?
*

? ? ? ? 2 s in ? n ? ?. 4 ? ?2
3? 4 ;

? n ? N ,? 0 ?
*

?
2
n

?

?
2

,

?
4

?

?
2
n

?

?
4

?

?1 ?

? ? ? ? 2 s in ? n ? ?? 4 ? ?2
2 2 2

2 , 即? 1 ? b n ?
2n

2 ??????????8 分

(3)解法一:由 a n ? 1 ? sin ? ? a n ? co s 2? ? co s
2

? 得:
2n

a n ? 1 ? sin ? ? a n ? (co s ? ? sin ? ) ? co s ? a n ? 1 ? co s
2n?2

?,

? ? ( a n ? co s
?
2

2n

? ) sin ? ,
2



a n ?1 ? c o s an ? cos

2n?2 2n

?

? s in ? ,
2 2 2
2

? ?an ? cos

2n

? ? 是首项为 a 1 ? co s ? ? 1 ? co s ? ? sin ? , 公比为 s in ? 的等比
2n

数列,故 a n ? co s
2

? ? sin

2n

? , ? a n ? co s

2n

? ? sin

2n

? ??????9 分

? S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n

= ? cos ? ? cos ? ? ? ? cos
4

2n

? ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? sin
2 4

2n

?

?



c o s ? ? s in ? ? c o s
4 4 2

2n?4 2

? ? s in

2n?4

?

s in ? c o s ?
4 s in 2 ?
2

. ?????????11 分
2n?4 2

因此, S n ? 2 -
4 4



c o s ? ? s in ? ? c o s
4 4 2

? ? s in
2

2n?4

?

s in ? c o s ?

?2 -

4 s in 2 ?
2

= =

c o s ? ? s in ? ? c o s
2 2 2

2n?4

? ? s in
2 2n?4 2

2n?4 2

? ? 2 s in ? c o s ? ? 1
2 2n?4

s in ? c o s ? (c o s ? ? s in ? ) ? (c o s
2 n?2

? ? s in

? ) ?1

s in ? c o s ? (c o s

=?

? ) ? (s in
2 2 2

n?2

?)

2

s in ? c o s ?
4 s in 2 ?
2

? 0.

? Sn ? 2 <

.????????14 分
2n

解法二:同解法一得 a n ? co s

? ? sin

2n

? ????????9 分

? ? ? 2n 2n ? ? ? ? 0 , ? , 0 ? c o s ? ? 1, 0 ? s in ? ? 1; ????????11 分 2 ? ?

? S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n

= ? cos ? ? cos ? ? ? ? cos
2 4

2n

? ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? sin
2 4

2n

?

?

?

c o s ? ?1 ? c o s
2

2n

?

?

1 ? cos ?
2

?

s in ? ? 1 ? s in
2

2n

?

?

1 ? s in ?
2

? ?

cos ?
2

1 ? cos ?
2 2

?
2

s in ?
2

1 ? s in ?
2 2 2 2

?
2

c o s ? ? s in ?
4 4

s in ? c o s ?
2 2 2

(c o s ? ? s in ? ) ? 2 s in ? c o s ? s in ? c o s ?
4 s in 2 ?
2

?

1 s in ? c o s ?
2 2

?2 ?

4 s in 2 ?
2

?2

? Sn ? 2 <

.???????14 分(其他解法酌情给分)

第 7 页 共 8 页

第 8 页 共 8 页



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