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一道“超难”高考数学题的因由分析及命题的改进建议


  ZHONGXUESHUXUEZAZHI                   

 

       

中学数学杂志  2015 年第 1 期

一道 “ 超难 ” 高考数学题的因由分析及命题的改进建议
江苏省无锡市第一中学    214031    李广修
    全面的多角度的分析高考数学试题中的 “ 超级难 题” 的因由,探讨如何进一步科学、 规范命题, 进而促进 中学数学教学更加合理、 有效, 是一件很有意义的事情. 玉. 本文以江苏省 2014 年高考数学附加题的压轴题 ( 以下 简称苏题) 为例,试图作出一些分析和讨论, 以期抛砖引 1  “ 超级难题” 的因由分析 f n - 1( x) 的导数,n ∈ N .
?

因有三:一是运算量大、运算要求高. 求函数列{ f n( x) } 的 前两项的运算较为简单, 但求第三项、 第四项的运算就 很复杂了,要用到正弦函数、 余弦函数、 幂函数三种类型 能归纳出函数列{ f n( x) } 的通项表达式. 有些学生可能需 前 四 项 依 次 为:f 1( x) = - x - 2 sin x + x - 1 cosx,f 2( x) = 2 x - 3 sin x - 2 x - 2 cosx - x - 1 sin x,f 3( x) = - 6 x - 4 sin x + 6 x - 3 cosx + 3 x - 2 sin x - x - 1 cosx,f 4( x) = 24 x - 5 sin x - 函数的导数,要用到和、积导数运算法则. 使用归纳法, 避 不开算出前几项, 只有准确无误地算出前几项, 才有可 要算出第五项,才有可能发现函数列通项的端倪.. 二是 很不容易概括函数列{ f n( x) } 的通项的表达式. 函数列的

苏题  

已知函数 f 0( x) =

sin x ( x > 0) , 设 f n( x) 为 x

(1) 求 2 f 1 ?

2 ?π? π ?π? nf n - 1 ? ÷ + f n ? ÷ = 成立. 2 è4? 4 è4?

(2) 证 明:

π ?π? ?π? ÷ + f 2 ? ÷ 的值; è2? 2 è2?

对 任 意 的 n ∈ N ,
?

等 式

函数列{ f n( x) } 的通项的表达式,需要综合地分析、 评判 出函数列{ f n( x) } 的前四项中的三角函数、 幂函数、 排列 数、正负号的组织结构; 需要作出合适变形, 以形成统一 -n - 1 性. 能够正确地获得 f n( x) 的表达式( - 1) -n [ A n sin x nx - An n A1 x -n cosx - 1 An n A2 x -n + 1 sin x + … + 2 An n A
n n

24 x - 4 cosx - 12 x - 3 sin x + 4 x - 2 cosx + x - 1 sin x,要想概括出

力及运用数学归纳法的推理论证能力. 该题满分 10 分, 但省均分不足 2 分;几十万考生,少见能够做出第二小题 的;数学教师中的解题高手, 也大都做不出来第二小题. 1 .1  那么,第二小题缘何成为“ 超级难题” ? 情景较为陌生 苏题通过数列记号、 导数、 三角函数来表征函数列.

该题旨在考查简单的复合函数的导数, 考查探究能

x - 1 sin( x -

着实不易的. 三是考试时间不足. 江苏省高考理科考生需

nπ ) ] ,是 2

要做附加题, 要在 30 分钟时间内做四道解答题, 其中选 做题两道,必做题两道. 选做的两道题是从平面几何、 不 等式、 矩阵与几何变换、 极坐标与参数方程 ( 各一道题 ) 这四道题中自主选取两道. 尽管两道选做题很容易, 但也 要耗费一些时间.2014 年江苏高考数学附加题必做题的 第一题,考查排列与组合、 离散型随机变量数学期望, 需 要缜密的分类、正确的运算求解, 耗时也不少. 对于绝大 多数理科考生,做完前三题, 剩余时间不多. 对于第四题 苏题,求函数列{ f n( x) } 的通项运算繁复, 比如算函数列 的第四项,需要算导数 8 次, 合并同类项三次, 能力极强 的考生用此方法也难以在考试时限内完全解答出第二 1 .3  小题. 高考对于数列的考查,通常是考查求通项公式、 前 n 考生缺少探寻函数列的递推关系的意识和能力

函数列{ f n( x) } 在本质上属于二元函数,其自变量为 x 和 一下子让他们懂得其意义,是不现实的. 对于用符号与变 元表征的对象,从感知到理解,再到运用,需要一定过程. 再者,考生对证明函数恒等式这样的命题结构也不甚习

n ,绝大多数考生对于二元函数的认知几乎是一张白纸,

?π? π ?π? 惯. 还有, 因为要证明的等式 nf n - 1 ? ÷ + f n ? ÷ = è4? 4 è4?

了,考生需要先去证明一个加强的命题, 进而再证明一 个弱化的命题,这也增加了推理难度. 有部分考生曾经做 过: 已 知 函 数 f( x) = sin x, 记 f 1( x) = f′( x) ,f 2( x) = f 1 ′( x) …, f n + 1( x) = f n ′( x) ,则 f n( x) =         ,陌生感可 1 .2  能会小一些. 弄明白了符号表征的考生, 按惯常的思路, 先算出 探究函数列{ f n( x) } 的通项表达式比较困难

2 是用具体值包装的,把本质性的一般化关系给掩盖住 2

项和、最大( 小 ) 项, 证明数列的性质如单调性、 等差、 等 比等. 如果涉及递推数列, 通常会给出递推关系. 而解答 苏题的最有效方法是通过寻求函数列 { f n( x) } 的递推关 系来解决. 求数列的递推关系, 对学生来说是异常困难 由 1,2,3,…,n 排成的数列满足:任意一项要么都大于它 之前的所有项, 要么都小于它之前的所有项, 这样的数 的. 笔者曾经让学生解答“ 对于给定的大于 2 的正整数 n ,

函数列{ f n( x) } 的前几项, 通过归纳得出函数列通项表 达式,再用数学归纳法证明, 基本上都是无功而返. 其原
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列有多少个? ” ,学生们找到递推关系用了很长时间. 况 且,对于递推数列的教学要求,2002 年的《 普通高中教学 大纲》 曾明确规定,“ 了解递推公式是给出数列的一种方 法,并能根据递推公式写出数列的前几项 ” , 而新的 《 普 通高中课程标准 ( 实验 ) 》 则对递推数列没有提出明确 的教学要求. 从这种角度讲,考生缺少探寻数列的递推关 1 .4  系的意识和能力,是正常的. 该题探寻函数列的递推关系最为技巧、 有效的解 法是命题组所给出的参考方法:由已知,得 xf 0( x) = sin x, 等式两边分别对 x 求导, 得 f 0( x) + x f′0( x) = cosx, 即 π ) ,2 f 1( x) + xf 2( x) = - 2 sin x = sin( x + π) ,3 f 2( x) + xf 3( x) = - cosx = sin( x + f 0( x) + xf 1( x) = cosx = sin( x +

是为了考查考生的应变能力、创新能力. 但这样的愿望往 往很难实现. 因为考试限定了考试时间,所用的解决问题 的知识必须是中学所学的, 所用的解决问题的方法也必 着显著区别. 一般地,考试只能考查出和创新能力密切相 质. 如果高考命题一味地想设计出其解法是中学没有用 须是中学生能够理解的,这和创新的本质要求之一 — — — 用什么知识、 用什么方法来解决问题是无法预判的, 有 关的迁移能力、 综合应用知识能力、 突破思维定势的品 过的试题,很容易剑走偏锋, 命制出偏题、 怪题来, 使得 题目越来越难. 再者, 考中学很少用过的方法, 这样的方 法必是“ 冷僻” 的方法,而绝大多数非常优秀的考生也会 成绝大多数数学优秀的考生的资质、 投入与考试成绩非 夫,还不如集中精力做基础题、中档题” . 现在许多老师确 和数学比较差的考生一样, 在考试时想不到, 这就会造 正相关,考试信度差, 影响高考数学的公平公正. 长此以 往,给人感觉 “ 难题反正做不出来, 再努力也是白搭功 实受此影响, 不是去想方设法促进学生跳一跳摘桃子, 而是去反反复复训练基本题、 中档题, 不断地给学生灌 输, 在高考时看都不要看 × × 题,对 × × 大题只做第一小 题,罔顾学生思维水平的发展、提高了. 而且, 考查考生的 信息的捕捉与筛选, 新颖设问的应对, 不同领域知识的 2 .2  有机融合等方面去挖掘,去设计出新颖考试题. 如果高考考查中学生没有用过的方法, 就要增设铺 π ) , 其余不变. 变动后, 有三点 2 考查中学从没有用过的方法要适当的铺垫.

nπ 纳法证明等式 nf n - 1( x) + xf n( x) = sin( x + ) ,对所有的 2 sin x n ∈ N ? 都成立 ( 下略 ) . 由 “ f 0( x) = ( x > 0) ” , 到 x “ xf 0( x) = sin x” ,再到“ 对等式 xf 0( x) = sin x 的两边分别对 x 求导” ,不断地对新得到的等式分别对 x 求导, 概括出 函数列{ f n( x) } 的递推关系, 确实是神来之笔. 然而此法 太偏,除极个别考生外根本不可能想到. 苏教版普通高中 数学教材中的阅读材料 “ 算两次 ” , 有从等式出发, 等式 所用的解法也是对含变量的等式两边分别求导, 然后再 赋值证明组合恒等式, 但这两题都有所铺垫, 都是直接 的导数运算, 部分学生还是可为之的. 《 普通高中课程标 准( 实验) 》 对于导数教学的要求是理解导数概念, 体会 导数的四则运算法则、 简单的复合函数的导数公式, 求 函数的单调区间、 最值、 极值, 求函数图象的切线, 求函 数的零点个数, 求简单的实际问题的最值, 证明简单的 不等式等. 这就是说,要求学生在导数方面仅是操作性理 解 、关 系 性 理 解 , 而 将 “ f 0 ( x ) = “ xf 0( x) = sin x” ,通过积的导数运算,巧妙地导出 f 0( x) 与 f 1( x) 的递推关系,这是对导数运算法则的灵活应用, 这 2  便是迁移性理解了,考生是难以达到这样的水平的. 命题改进的三点建议 由于高考事关社会稳定, 事关考生前途, 事关中学 sin x ( x > 0) ” 变 形 成 x 导数的思想及其内涵, 直接运用初等函数的导数公式、 两边分别对 x 求导的例子;2008 年江苏高考数学附加题,

3π ) ,4 f 3( x) + xf 4( x) = sin x = sin( x + 2π) . 下面用数学归 2

创新素养, 不只可以通过考查考生从没有用过的方法, 也可以通过其它调控手段, 比如在理性思维的深广度,

垫. 对于 苏 题, 我 们 可 以 将 第 一 小 题 的 计 算 换 成 证 明 f 0( x) + xf 1( x) = sin( x + 益处,一是第一小题变得简捷, 运算量也小了, 自然也就 提高了第一小题的得分率. 并且,第一小题的证明方法至 少有两种难易程度差不多的方法, 一种是直接对 f 0( x) 求导后代入,另一种是通过将 “ f 0( x) = sin x ( x > 0) ” 变 x

形成“ xf 0( x) = sin x” ,等式的两边分别对 x 求导; 二是为

第二小题的解决做出铺垫, 由于有第一问的 “ 脚手架 ” , 有理由相信多数非常优秀的考生会从第一小题的结论, 顿悟出直接从 f 0( x) + xf 1( x) = cosx 出发,等式两边分别 对 x 求导;三是两个小题,前后呼应,更有整体性结构. 当 然, 也可以将已知函数 f( x) = e x ,并对两个小题作相应的改动. 这样的改动, 运算会简 单一些,归纳函数列 { f n( x) } 的通项的表达式要容易一 些,且使得第 2 小题的证明方法会更多一些,既可以用归 2 3  变考查的主要目的,但却提高了考试的信度、区分度. 考题的表述应多一些平实. 现在, 高考试题中的数
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数学教学可持续发展, 事关学生学习数学的方式, 所以 高考数学命题应该以 考 纲 为 依 据, 从 中 学 生 的 学 情 出 发,通过考题准确诠释高中数学课程标准, 确保考查全 面、区分度良好、 稳妥渐进, 绝不可轻易的拿考题作 “ 试 2 .1  验田” . 我们有如下三点建议: 题组设计出其解法是中学从没有用过的题目, 或许目的 第一,不刻意设计中学从没有用过的方法. 高考命

sin x ( x > 0) 中的 sin x 换成 x

纳法,又可以用递推关系法. 上述的两种变更, 都没有改 学文化题, 数学应用题, 数学信息迁移题 ( 新定义题 ) 量

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不在少数. 这三种类型的试题, 难免附着较大文字量, 对 它们的表述就需要命题者特别注意 “ 阳春白雪 ” 和 “ 下 里巴人” 兼顾, 既保证简练、 准确、 数学味浓, 比如用符 号、集合用语叙述,又要让考生容易理解题目的意思. 比 如,信息迁移题,对考查考生继续学习的潜能很适用, 但 是不可以用过多的符号、 变元、 术语干扰考生的数学阅 读. 我们知道,对于陌生的定义,要理解它,就要能顺利地 认读、感知、 分析、 理解材料中的每个数学术语、 图表和 符号的含义, 对 问 题 的 表 征 “ 用 自 己 的 语 言 来 叙 述 出 来” ,并能根据数学原理分析它们之间的逻辑关系, 最后

 

       

中学数学杂志  2015 年第 1 期

达到对材料的本真理解,形成对问题的整体领会. 倘若用 过多的符号、变元、术语去包装题目, 考生很难有时间去 看懂它,领会它. 所以,规范的、平实易懂的表述试题是必 须的. 另外,对于数学文化题,数学应用题,数学信息迁移 题是以小题面目出现, 还是以大题面目出现, 对试题的 表述的要求不尽相同. 如果是大题,考查的目标就会多一 些,就更应该把试题表述得浅近一些. 不然的话, 想考查 的便无从考查出来. 还有, 从人文关怀角度出发, 也要让 考生能看懂试题,考生连试题都看不懂,将情何以堪?

从近年的高考试题谈数学选择题考查动向
安徽省五河县高级中学    233300    刘瑞美
1  近年考查动向 从近几年的数学高考题中可以看出, 用直接法解答 的试题比例不断地增加, 经统计大约占 70 % ~ 80 % , 另 有 20 % 左右的选择题可以用画图、取特殊值、代入验证、 估算、特征分析、反面排除等特殊方法来巧妙解答. 充分 利用题干和选择支所提供的信息作出判断, 是解答选择 题的基本策略,并且要注意以下几点: (1) 全面审题,不但要审清题干给出的条件,还要考 查 4 个选项所提供的信息; (2) 通过审题对可能存在的各种解法进行比较, 包 括其思维的难易度、 运算量的大小等, 初步确定解题的 切入点; (3) 要对解题所用时间进行监控, 善于根据题目情 况对解题方法进行调整. 从近几年的高考数学试题来看, 选择题基本稳定在 10 ~ 12 道,分值大约为 50 ~ 60 分左右, 占总分的 30 % ~ 40 % ,对数学知识的考查, 注重学科的内在联系和知 识的综合性; 对数学思想和方法的考查, 注重与数学知 识考查相结合;对数学能力的考查, 注重创新意识, 主要 采用设计比较新颖的问题, 构造有一定深度和广度的数 学问题来实现. 分散“ 压轴” 已经成为好多省、市接受并采纳的高考 数学命题策略,因此选择题中的最后 1 ~ 2 道题往往难 度较大. 在这个位置的题目往往注重多个知识点的小型 综合,渗透多种数学思想和方法. 因此, 考生能否在选择 题上获得高分,对高考成绩有着举足轻重的影响. 2  典例剖析 2 .1  直接求解策略 这是选择题最基本、 最常用的方法. 但必须注意的 是:(1) 切忌一拿到题目, 不分条件和要求, 一味埋头演 算;(2) 注重等价转化,灵活运用技巧;(3) 在考试时, 要 优先考虑用特殊方法求解,然后再考虑用直接法求解.
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例 1  ( 江西理 5 题) 设函数 f( x) = g ( x) + x 2 ,曲线 y = g ( x) 在点(1,g (1) ) 处的切线方程为 y = 2 x + 1,则曲 线 y = f( x) 在点(1,f(1) ) 处切线的斜率为(     ) . 1 1 A.4    B . -     C .2    D - . 4 2 分析   本题的关键是要理解函数在某点处导数的 几何意义,正确运用导数的几何意义进行解题. 解   因为曲线 y = g ( x) 在点(1,g (1) ) 处的切线方 程为 y = 2 x + 1,所以 g′(1) = 2,而 f′( x) = g′( x) + 2 x,所 以 f′(1) = g′(1) + 2 = 4, 因而曲线 y = f( x) 在点 (1, f(1) ) 处切线的斜率为 4 . 故选 A. 点评   本题主要考查函数在某点处导数的几何意 义,考查学生对复合函数知识的理解, 考查学生的整体 意识和等价转化意识. 解答本题的关键是正确理解函数 在某点处导数的几何意义. 考生的难点是:不能灵活运用 导数的几何意义,从而不能正确地求导转化. 因而, 在教 学中要重视对数学定义的过程教学, 使学生真正理解数 学的本质,培养学生的应变能力. 例 2  ( 北京文 14 题) 设 A 是整数集的一个非空子 集,对于 k ∈ A,如果 k - 1 ? A,那么 k 是 A 的一个“ 孤立 元” . 给定 S = {1,2,3,4,5,6,7,8,} ,由 S 的 3 个元素构成 的所有集合中,不含“ 孤立元” 的集合共有         个. 分析   本题主要考查考生运用集合知识解决问题 的能力以及阅读理 解 能 力, 首 先 应 弄 清 楚 什 么 是 孤 立 元,这是解决问题的关键. 依题意可知, 孤立元必须是没 有与 k 相邻的元素,因而无“ 孤立元” 是指在集合中有与 k 相邻的元素. 因此,符合题意的集合是:{1,2,3} ,{2,3, 4} ,{3,4,5} ,{4,5,6} , {5,6,7} , {6,7,8} 共 6 个. 故应 填 6. 点评   这是一道关于信息迁移的创新型试题,意在 考查集合的运算以及对新颖题的理解能力, 这类试题的 难度不大,但要求考生有较强的阅读理解能力和信息迁


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