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江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三模拟数学试卷(21)


江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模拟试卷 (21)
一、填空题: 1.设集合 A={x|y=ln(x﹣3) , ,则 A∩B=__________.

2.已知 q 是等比数列{an}的公比,则“q<1”是“数列{an}是递减数列”的__________条件. 3.下列说法错误的是__________. ①命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”; ②“sinθ= ”是“θ=30°”的充分不必要条件; ③若命题 p:?x∈R,x ﹣x+1=0,则¬p:?x∈R,x ﹣x+1≠0; ④若命题“¬p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题. 4.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a13 成等比数列,若 a1=1,Sn 是数列{an}前 n 项的和,则 的最小值为__________.
2 2

5.已知函数 对称轴完全相同.若

和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的 ,则 f(x)的取值范围是__________.
2 2

6.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ﹣b = 则 A=__________.

bc,sinC=2

sinB,

7.函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(﹣x) ,且 xf'(x)<0,设 c=f(2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是__________.
16

8.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是两个不同的平面,则下列四个命题中真命题是: __________. ①若 m?β,α⊥β,则 m⊥α; ②若 α∥β,m?α,则 m∥β; ③若 n⊥α,n⊥β,m⊥α,则 m⊥β; ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α⊥β.

9.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

给定,若 M(x,y)为 D

上的动点,点 A 的坐标为

,则

的最大值为__________.

10.函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的 解集为__________.

11.设 F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若

|PF1|+|PF2|=6a,且△ PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为__________. 12.设 x,y 为实数,若 4x +y +xy=1,则 2x+y 的最大值是__________.
2 2

13.已知 O 是△ ABC 的外心,若 AB=AC,∠CAB=30°,且 λ1λ2=__________.

=λ1

+ λ2

,则

14.已知函数 f(x)=x|x﹣a|+2x,若存在 a∈[﹣3,3],使得关于 x 的方程 f(x)=tf(a)有 三个不相等的实数根,则实数 t 的取值范围是__________.

二、解答题: 15.已知命题“p:?a∈[1,2]|m﹣5|≤ ”;命题“q:函数 f(x)=x +mx +(m+6)x+1
3 2

在 R 上有极值”.求使“p 且¬q”为真命题的实数 m 的取值范围.

16.已知 =(2cosx+2

sinx,1) , =(cosx,﹣y) ,且 ⊥ .

(1)将 y 表示为 x 的函数 f(x) ,并求 f(x)的单调增区间; (2)已知 a,b,c 分别为△ ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边长,若 f( )=3,且 a=2, b+c=4,求△ ABC 的面积. 17. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, PA=PB, 且侧面 PAB⊥平面 ABCD, 点 E 是棱 AB 的中点. (Ⅰ)求证:CD∥平面 PAB; (Ⅱ)求证:PE⊥AD; (Ⅲ)若 CA=CB,求证:平面 PEC⊥平面 PAB.

18.已知函数 f(x)=x +ax +bx+4, (x∈R)在 x=2 处取得极小值. (Ⅰ)若函数 f(x)的极小值是﹣4,求 f(x) ; (Ⅱ)若函数 f(x)的极小值不小于﹣6,问:是否存在实数 k,使得函数 f(x)在[k,k+3] 上单调递减.若存在,求出 k 的范围;若不存在,说明理由.

3

2

19.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0) ,设左顶点为 A,上顶点为 B,



,如图.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 F(1,0) ,过 F 的直线 l 交椭圆于 M,N 两点,试确定 的取值范围.

20.称满足以下两个条件的有穷数列 a1,a2,…,an 为 n(n=2,3,4,…)阶“期待数列”: ①a1+a2+a3+…+an=0;②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1. * (1)若等比数列{an}为 2k(k∈N )阶“期待数列”,求公比 q 及{an}的通项公式; * (2)若一个等差数列{an}既是 2k(k∈N )阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公 式; (3)记 n 阶“期待数列”{an}的前 k 项和为 Sk(k=1,2,3,…,n) : (i)求证:|Sk| ;

(ii)若存在 m∈{1,2,3,…,n}使 Sm= ,试问数列{Sk}能否为 n 阶“期待数列”?若能, 求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模 拟试卷(21)
一、填空题: 1.设集合 A={x|y=ln(x﹣3) , ,则 A∩B=(3,4) .

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:利用函数的定义域和交集的定义求解. 解答: 解:∵集合 A={x|y=ln(x﹣3)={x|x﹣3>0}={x|x>3}, ={x|﹣4+5x﹣x >0}={x|1<x<4}, ∴A∩B={x|3<x<4}=(3,4) . 故答案为: (3,4) 点评: 本题考查交集的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意函数的定义域的合理运用. 2.已知 q 是等比数列{an}的公比,则“q<1”是“数列{an}是递减数列”的既不充分也不必要条 件. 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据充分必要条件的定义,结合等比数列的性质,从而得出答案. 解答: 解:由 q<1 推不出等比数列{an}是递减数列, 如首项是﹣1,公比 q=0.5,是递增数列, 由等比数列{an}是递减数列,推不出 q<1, 如首项是﹣1,公比 q=2 是递减数列, 故答案为:既不充分也不必要. 点评:本题考查了充分必要条件,考查了等比数列的性质,是一道基础题. 3.下列说法错误的是②. ①命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”; ②“sinθ= ”是“θ=30°”的充分不必要条件; ③若命题 p:?x∈R,x ﹣x+1=0,则¬p:?x∈R,x ﹣x+1≠0; ④若命题“¬p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题. 考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑.
2 2 2

分析: 直接写出命题的否命题判断①; 由 θ=30°, 得 sinθ= ; 反之, 由 sinθ= 不一定有 θ=30° 判断②; 直接写出特称命题的否定判断③;由复合命题的真值表判断④. 解答: 解:对于①,命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”,命题①正 确; 对于②,由 θ=30°,得 sinθ= ;反之,由 sinθ= 不一定有 θ=30°, ∴“sinθ= ”是“θ=30°”的必要不充分条件,命题②错误; 对于③,若命题 p:?x∈R,x ﹣x+1=0,则¬p:?x∈R,x ﹣x+1≠0,命题③正确; 对于④,命题“¬p”为真命题,则 p 为假命题;同时命题“p 或 q”是真命题,那么命题 q 一定 是真命题,命题④正确. 故答案为:②. 点评:本题考查了命题的真假判断与应用,考查了命题的否定,训练了充分必要条件的判定 方法,是中档题. 4.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a13 成等比数列,若 a1=1,Sn 是数列{an}前 n 项的和,则 的最小值为 4.
2 2

考点:等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差 d,代入等差数列的通项公 式、前 n 项和公式求出 an、Sn,代入 式子的最小值. 解答: 解:因为 a1,a3,a13 成等比数列,所以 又 a1=1,所以(1+2d) =1×(1+12d) , 解得 d=2 或 d=0(舍去) , 所以 an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,Sn= =n ,
2 2

利用分离常数法化简后,利用基本不等式求出





=

= ﹣2≥2

= ﹣2=4,

=

当且仅当 故答案为:4.

时取等号,此时 n=2,且

取到最小值 4,

点评:本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式,等比中项的性质,基本不等式求最 值,解题的关键是利用分离常数法化简式子,凑出积为定值.

5.已知函数 对称轴完全相同.若

和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的 ,则 f(x)的取值范围是 .

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:计算题;压轴题. 分析:先根据函数 图象的对称轴完全相同确定 ω 的值,再由 x 的范围确定 数的图象和性质可得到答案. 解答: 解:∵函数 的图象的对称轴完全相同, ∴由题意知,ω=2, 因为 f(x)的最小值为 所以 f(x)的取值范围是 故答案为: . . ,所以 ,最大值为 ,由三角函数图象知: , 和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的 的范围,最后根据正弦函

点评:本题考查三角函数的图象与性质,考查了数形结合的数学思想. 6.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ﹣b = 则 A=30°.
2 2

bc,sinC=2

sinB,

考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析:已知 sinC=2 sinB 利用正弦定理化简,代入第一个等式用 b 表示出 a,再利用余弦 定理列出关系式,将表示出的 c 与 a 代入求出 cosA 的值,即可确定出 A 的度数. 解答: 解:将 sinC=2 sinB 利用正弦定理化简得:c=2 b, 2 2 2 2 2 代入得 a ﹣b = bc=6b ,即 a =7b , ∴由余弦定理得:cosA= ∵A 为三角形的内角, ∴A=30°. 故答案为:30° = = ,

点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关 键. 7.函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(﹣x) ,且 xf'(x)<0,设 c=f(2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是 c<b<a.
16

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析:由由 xf′(x)<0 可得 f(x)在(0,+∞)上是减函数,再由 f(x)=f(﹣x)可得 f ( )=f(﹣log23)=f(log23) ;从而比较大小.

解答: 解:由 xf′(x)<0 知, 当 x>0 时,f′(x)<0; 即 f(x)在(0,+∞)上是减函数, 又∵f(x)=f(﹣x) , ∴f( )=f(﹣log23)=f(log23) ;

且 f(log47)=f(log2 ) ; 16 ∵0<log2 <log23<2 , 16 故 f(2 )<f(log23)<f(log2 ) ; 即 c<b<a; 故答案为:c<b<a. 点评: 本题考查了导数在判断函数的单调性时的应用及函数性质的应用及对数的化简, 属于 中档题. 8.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是两个不同的平面,则下列四个命题中真命题是: ②③. ①若 m?β,α⊥β,则 m⊥α; ②若 α∥β,m?α,则 m∥β; ③若 n⊥α,n⊥β,m⊥α,则 m⊥β; ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α⊥β. 考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:①若 m?β,α⊥β,则 m 与 α 相交、平行或 m?α,故①错误; ②若 α∥β,m?α,则由平面与平面平行的性质,得 m∥β,故②正确; ③若 n⊥α,n⊥β,m⊥α, 则由平面与平面垂直的判定定理和直线与平面垂直的判定定理,得 m⊥β,故③正确; ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α 与 β 平行或相交,故④错误. 故答案为:②③. 点评: 本题考查命题真假的判断, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养.

9.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

给定,若 M(x,y)为 D

上的动点,点 A 的坐标为

,则

的最大值为 4.

考点:简单线性规划;平面向量数量积的运算. 专题:数形结合. 分析:首先画出可行域,z= ? 代入坐标变为 z= x+y,即 y=﹣ x+z,z 表示斜率为

的直线在 y 轴上的截距,故求 z 的最大值,即求 y=﹣ 轴上的截距的最大值.

x+z 与可行域有公共点时在 y

解答: 解:由不等式组

给定的区域 D 如图所示:

z=

?

=

x+y,即 y=﹣

x+z

首先做出直线 l0:y=﹣ x,将 l0 平行移动,当经过 B 点时在 y 轴上的截距最大,从而 z 最大. 因为 B( ,2) ,故 z 的最大值为 4. 故答案为:4.

点评:本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识,考查运算 求解能力,考查数形结合思想,属于基础题. 10.函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的 解集为(﹣1,+∞) . 考点:利用导数研究函数的单调性;其他不等式的解法. 专题:计算题. 分析:构建函数 F(x)=f(x)﹣(2x+4) ,由 f(﹣1)=2 得出 F(﹣1)的值,求出 F(x) 的导函数,根据 f′(x)>2,得到 F(x)在 R 上为增函数,根据函数的增减性即可得到 F (x)大于 0 的解集,进而得到所求不等式的解集. 解答: 解:设 F(x)=f(x)﹣(2x+4) ,

则 F(﹣1)=f(﹣1)﹣(﹣2+4)=2﹣2=0, 又对任意 x∈R,f′(x)>2,所以 F′(x)=f′(x)﹣2>0, 即 F(x)在 R 上单调递增, 则 F(x)>0 的解集为(﹣1,+∞) , 即 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞) . 故答案为: (﹣1,+∞) 点评:本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式,解题的关键是构建函数,确定函数的单 调性,属于中档题.

11.设 F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若 .

|PF1|+|PF2|=6a,且△ PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为 考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:利用双曲线的定义求出|PF1|,|F1F2|,|PF2|,然后利用最小内角为 30°结合余弦定理, 求出双曲线的离心率. 解答: 解:因为 F1、F2 是双曲线的两个焦点,P 是双曲线上一点,且满足|PF1|+|PF2|=6a, 不妨设 P 是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a 所以|F1F2|=2c,|PF1|=4a,|PF2|=2a, ∵△PF1F2 的最小内角∠PF1F2=30°,由余弦定理, 2 2 2 ∴|PF2| =|F1F2| +|PF1| ﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2, 2 2 2 即 4a =4c +16a ﹣2c×4a× , 2 2 ∴c ﹣2 ca+3a =0, ∴c= a 所以 e= = .

故答案为: . 点评:本题考查双曲线的定义,双曲线的离心率的求法,考查计算能力.
2 2

12.设 x,y 为实数,若 4x +y +xy=1,则 2x+y 的最大值是



考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:设 t=2x+y,将已知等式用 t 表示,整理成关于 x 的二次方程,二次方程有解,判别式 大于等于 0,求出 t 的范围,求出 2x+y 的最大值. 2 2 解答: 解:∵4x +y +xy=1 2 ∴(2x+y) ﹣3xy=1 令 t=2x+y 则 y=t﹣2x 2 ∴t ﹣3(t﹣2x)x=1 2 2 即 6x ﹣3tx+t ﹣1=0 2 2 2 ∴△=9t ﹣24(t ﹣1)=﹣15t +24≥0

解得 ∴2x+y 的最大值是 故答案为 点评:本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定.

13. 已知 O 是△ ABC 的外心, 若 AB=AC, ∠CAB=30°, 且

=λ1

+ λ2

, 则 λ1λ2=



考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析:如图所示,建立直角坐标系.不妨设△ ABC 外接圆的半径 r=2.连接 OC,OB,可得 ∠BOC=60°,△ OBC 是等边三角形.得到 BC=2,OD= 1,0) ,C(1,0) ,O .再利用 =λ1 +λ2 .得到 A ,即可得出. ,B(﹣

解答: 解:如图所示,以底边 BC 所在直线为 x 轴,BC 边的垂直平分线为 y 轴,建立直 角坐标系. 不妨设△ ABC 外接圆的半径 r=2. 连接 OC,OB,则∠BOC=60°. ∴△OBC 是等边三角形. ∴BC=2. ∴OD= . ∴A ∴ ∵ ∴ = =λ1 +λ2 , = +λ2(﹣2,0) . ,B(﹣1,0) ,C(1,0) ,O , = , . .

∴ ∴λ1λ2= 故答案为:

,解得 = .

. .

点评:本题考查了向量的坐标运算、共面向量基本定理,考察了推理能力和计算能力,属于 难题. 14.已知函数 f(x)=x|x﹣a|+2x,若存在 a∈[﹣3,3],使得关于 x 的方程 f(x)=tf(a)有 三个不相等的实数根,则实数 t 的取值范围是(1, ) .

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:当﹣2≤a≤2 时,f(x)在 R 上是增函数,则关于 x 的方程 f(x)=tf(a)不可能有三 个不等的实数根;当 a∈(2,3]时和当 a∈[﹣3,﹣2)时,等价转化 f(x)的表达式,利用 函数的单调性能得到实数 t 的取值范围. 解答: 解:当﹣2≤a≤2 时,f(x)在 R 上是增函数, 则关于 x 的方程 f(x)=tf(a)不可能有三个不等的实数根, 则当 a∈(2,3]时,由 f(x)=
2



得 x≥a 时,f(x)=x +(2﹣a)x,对称轴 x=



则 f(x)在 x∈[a,+∞)为增函数,此时 f(x)的值域为[f(a) ,+∞)=[2a,+∞) , x<a 时,f(x)=﹣x +(2+a)x,对称轴 x=
2



则 f(x)在 x∈(﹣∞,

为增函数,此时 f(x)的值域



f(x)在

上为减函数,此时 f(x)的值域为(2a,

];

f(x)在

为减函数,此时 f(x)的值域为



由存在 a∈(2,3],方程 f(x)=tf(a)=2ta 有三个不相等的实根, 则 2ta∈(2a, ) ,

即存在 a∈(2,3],使得

即可.

令 g(a)=



由题意,只需 t<g(a)max 即可,而 g(a)在 a∈(2,3]上是增函数, 所以 g(a)max=g(3)= ;故实数 t 的取值范围是(1, ) . ) ,

同理可求当 a∈[﹣3,﹣2)时,t 的取值范围是(1, 综上可知,实数 t 的取值范围是(1, 故答案为(1, ) ) .

点评:本题考查函数恒成立问题的应用,考查运算求解能力,推理论证能力,考查转化与化 归,分类讨论思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对能力要求较高. 二、解答题: 15.已知命题“p:?a∈[1,2]|m﹣5|≤ ”;命题“q:函数 f(x)=x +mx +(m+6)x+1
3 2

在 R 上有极值”.求使“p 且¬q”为真命题的实数 m 的取值范围. 考点:复合命题的真假. 分析:对于命题“p:?a∈[1,2],|m﹣5|≤
3 2

”,则|m﹣5|≤

,求出即可.对

于命题“q:函数 f(x)=x +mx +(m+6)x+1 在 R 上有极值”. 则 f′(x)=0 有两个不等的实根,因此△ >0,再利用要使“P 且¬Q”为真,即可得出. 解答: 解:对于命题“p:?a∈[1,2],|m﹣5|≤
3 2

”,∴|m﹣5|≤3,解得 2≤m≤8.

对于命题“q:函数 f(x)=x +mx +(m+6)x+1 在 R 上有极值”. 2 则 f′(x)=3x +2mx+m+6=0 有两个不等的实根, 2 2 ∴△=4m ﹣12(m+6)>0,即 m ﹣3m﹣18>0,解得 m>6 或 m<﹣3. 要使“P 且¬Q”为真,只需 ,

解得 2≤m≤6. 点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、二次函数有零点与判别式的关系、恒成 立问题的等价转化方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.

16.已知 =(2cosx+2

sinx,1) , =(cosx,﹣y) ,且 ⊥ .

(1)将 y 表示为 x 的函数 f(x) ,并求 f(x)的单调增区间;

(2)已知 a,b,c 分别为△ ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边长,若 f( )=3,且 a=2, b+c=4,求△ ABC 的面积. 考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性; 正弦定理;余弦定理. 专题:三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)由数量积为 0 可得方程,由三角函数的公式化简可得 f(x) ,再由 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,可得单调递增区间; )=3,进而可得 A= ,由余弦定理可得 bc=4,

(2)结合(1)可得 f( )=1+2sin(A+ 代入面积公式 S=

,计算可得答案.

解答: 解: (1)由题意可得(2cosx+2 sinx)cosx﹣y=0, 2 即 y=f(x)=(2cosx+2 sinx)cosx=2cos x+2 sinxcosx =1+cos2x+ 由 2kπ﹣ sin2x=1+2sin(2x+ ≤2x+ ≤2kπ+ ) , ≤x≤kπ+ ],k∈Z ) , )=1 ,k∈Z,

,得 kπ﹣ ,kπ+

故 f(x)的单调增区间为[kπ﹣

(2)由(1)可知 f(x)=1+2sin(2x+ 故 f( )=1+2sin(A+ 故可得 A+ =

)=3,解得 sin(A+ ,

,解得 A=
2 2 2

由余弦定理可得 2 =b +c ﹣2bccosA, 2 2 2 化简可得 4=b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc=16﹣3bc, 解得 bc=4,故△ ABC 的面积 S= = =

点评:本题考查三角函数的性质和余弦定理的应用,涉及向量的垂直的判断,属基础题. 17. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, PA=PB, 且侧面 PAB⊥平面 ABCD, 点 E 是棱 AB 的中点. (Ⅰ)求证:CD∥平面 PAB; (Ⅱ)求证:PE⊥AD; (Ⅲ)若 CA=CB,求证:平面 PEC⊥平面 PAB.

考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的性质. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)因为底面 ABCD 是菱形,推断出 CD∥AB.进而根据线面平行的判定定理推断 出 CD∥平面 PAB. (Ⅱ)因为 PA=PB,点 E 是棱 AB 的中点,可知 PE⊥AB,因为平面 PAB⊥平面 ABCD, 平面 PAB∩平面 ABCD=AB,PE?平面 PAB,推断出 PE⊥平面 ABCD,进而根据线面垂直 的性质可知 PE⊥AD. (Ⅲ)因为 CA=CB,点 E 是棱 AB 的中点,进而可知 CE⊥AB, (Ⅱ)可得 PE⊥AB,进而 判断出 AB⊥平面 PEC,根据面面垂直的判定定理推断出平面 PAB⊥平面 PEC.

解答: 解: (Ⅰ)因为底面 ABCD 是菱形, 所以 CD∥AB. 又因为 CD?平面 PAB, 所以 CD∥平面 PAB. (Ⅱ)因为 PA=PB,点 E 是棱 AB 的中点, 所以 PE⊥AB, 因为平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,PE?平面 PAB, 所以 PE⊥平面 ABCD, 因为 AD?平面 ABCD, 所以 PE⊥AD. (Ⅲ)因为 CA=CB,点 E 是棱 AB 的中点, 所以 CE⊥AB, 由(Ⅱ)可得 PE⊥AB, 所以 AB⊥平面 PEC, 又因为 AB?平面 PAB, 所以平面 PAB⊥平面 PEC. 点评:本题主要考查了线面平行,线面垂直,面面垂直的判定定理及性质.要求对满足的条 件全面.

18.已知函数 f(x)=x +ax +bx+4, (x∈R)在 x=2 处取得极小值. (Ⅰ)若函数 f(x)的极小值是﹣4,求 f(x) ; (Ⅱ)若函数 f(x)的极小值不小于﹣6,问:是否存在实数 k,使得函数 f(x)在[k,k+3] 上单调递减.若存在,求出 k 的范围;若不存在,说明理由. 考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)根据已知条件: 出 a,b,从而求出 f(x) . (Ⅱ)先假设存在实数 k,并设方程 f′(x)=3x +2ax+b=0 的两根为 x1,x2 且 x1<x2,则 , ,并且函数 f(x)在[ ]单调递减,所以
2

3

2

即可建立关于 a,b 的两个方程,解方程即可求

根据已知条件及假设可得到:

解不等式便可求出 a=﹣2,b=﹣6,

所以函数 f(x)在[﹣1,2]上单调递减,这时候得限制 k 为: 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=3x +2ax+b; 由已知条件得:
3 2 2

,这样求出 k 即可.?

,解得:a=﹣2,b=﹣4;

∴f(x)=x ﹣2x ﹣4x+4. (Ⅱ)假设存在实数 k,使得函数 f(x)在[k,k+3]上单调递减; 设方程 f′(x)=3x +2ax+b=0 的两根为 x1,x2,且 x1<x2,则 x2=2; ∴
2 2



; ; ]上单调递减;

∴解 3x +2ax+b<0 得: ∴函数 f(x)在[

由已知条件及 f(x)在[k,k+3]上单调递减得:

,解得



∴函数 f(x)在[﹣1,2]单调递减; ∴ ,解得 k=﹣1.

∴存在实数 k=﹣1,使得函数 f(x)在[k,k+3]上单调递减.

点评:考查函数的极值和导数的关系,及极值的概念,函数导数符号和函数单调性的关系, 一元二次方程根与系数的关系.

19.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0) ,设左顶点为 A,上顶点为 B,



,如图.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 F(1,0) ,过 F 的直线 l 交椭圆于 M,N 两点,试确定 的取值范围.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知条件得 A(﹣a,0) ,B(0,b) ,F(1,0) ,由 出 b ﹣a﹣1=0,由此能求出椭圆方程. (Ⅱ)若直线 l 斜率不存在,则 l:x=1, = ;若直线 l 斜率存在,设 l:y=k(x 的取值范围.
2

,推导

﹣1) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,利用韦达定理能求出 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆 C: +

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0) ,

设左顶点为 A,上顶点为 B, ∴A(﹣a,0) ,B(0,b) ,F(1,0) , ∵
2


2 2 2

∴b ﹣a﹣1=0,∵b =a ﹣1,∴a ﹣a﹣2=0,解得 a=2, 2 2 ∴a =4,b =3, ∴椭圆 .…

(Ⅱ)①若直线 l 斜率不存在,则 l:x=1, 此时 , , = ;

②若直线 l 斜率存在,设 l:y=k(x﹣1) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,

则由

消去 y 得: (4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0,

2

2

2

2








2

=(x1﹣1,y1)?(x2﹣1,y2)

=(1+k )[x1x2﹣(x1+x2)+1] =

∵k ≥0,∴ ∴ ∴ 综上, ,

2



, 的取值范围为 . …

点评:本题考查椭圆的方程的求法,考查线段乘积取值范围的求法,解题时要认真审题,注 意分类讨论思想的合理运用. 20.称满足以下两个条件的有穷数列 a1,a2,…,an 为 n(n=2,3,4,…)阶“期待数列”: ①a1+a2+a3+…+an=0;②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1. * (1)若等比数列{an}为 2k(k∈N )阶“期待数列”,求公比 q 及{an}的通项公式; * (2)若一个等差数列{an}既是 2k(k∈N )阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公 式; (3)记 n 阶“期待数列”{an}的前 k 项和为 Sk(k=1,2,3,…,n) : (i)求证:|Sk| ;

(ii)若存在 m∈{1,2,3,…,n}使 Sm= ,试问数列{Sk}能否为 n 阶“期待数列”?若能, 求出所有这样的数列;若不能,请说明理由. 考点:数列与不等式的综合. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)由 n 阶“期待数列”的定义,结合已知条件①求得等比数列的公比 q=﹣1,代入 ②求得 ,则等比数列的通项公式可求; 求出首项,则等

(2)设出等差数列的公差,结合①②求出公差,再由前 k 项和等于 差数列的通项公式可求;

(3) (i)由 n 阶“期待数列”{an}的前 k 项和中所有项之和为 0,所有项的绝对值的和为 1, 求得所有非负数项的和 ,所有负数项的和为 ,从而得到答案; ,

(ii)借助于(i)的结论知,数列{Sk}(k=1,2,3,…,n)的前 k 项和为 Tk 满足 再由 ,

得到|S1|+|S2|+|S3|+…+|Sn|=S1+S2+S3+…+Sn.从而说明 S1+S2+S3+…+Sn=0 与 |S1|+|S2|+|S3|+…+|Sn|=1 不能同时成立. 解答: (1)解:若 q=1,由①得,a1?2k=0,得 a1=0,矛盾; 若 q≠1,则由①, 由②得, 或 , , ; ,得 q=﹣1,

∴q=﹣1,数列{an}的通项公式是 或

(2)解:设等差数列 a1,a2,a3,…,a2k(k≥1)的公差为 d,d>0, ∵a1+a2+…+a2k=0,∴ ,

∴a1+a2k=ak+ak+1=0, ∵d>0,由 a1+ak+1=0 得,ak<0,ak+1>0, 由①②得, 两式相减得,k d=1,∴
2

, ,





,得



∴数列{an}的通项公式是 ai=a1+(i﹣1)?d=

=



(3)证明:记 a1,a2,…,an 中所有非负数项的和为 A,所有负数项的和为 B, 则 A+B=0,A﹣B=1,得 A= ,B= (i) ,即 ,由前面的证明过程知: ,

(ii)若存在 m∈{1,2,3,…,n}使

a1≥0,a2≥0,…,am≥0,am+1≤0,am+2≤0,…,an≤0,





如果{Sk}是 n 阶“期待数列”, 记数列{Sk}(k=1,2,3,…,n)的前 k 项和为 Tk , 则由(i)知, ∴ ∴S1=S2=…=Sm﹣1=0,从而 又 , , ,而 , .

则 Sm+1,Sm+2,…,Sn≥0. ∴|S1|+|S2|+|S3|+…+|Sn|=S1+S2+S3+…+Sn. S1+S2+S3+…+Sn=0 与|S1|+|S2|+|S3|+…+|Sn|=1 不能同时成立. ∴对于有穷数列 a1,a2,…,an(n=2,3,4,…) ,若存在 m∈{1,2,3,…,n}使 ,

则数列{ai}的和数列{Sk}(k=1,2,3,…,n)不能为 n 阶“期待数列”. 点评:本题是新定义题,考查了数列与不等式的结合,解答此题的关键是明确题意,充分借 助于题设中给出的两个条件,明确数列中的非负数项和负数项,是难度较大的题型.


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