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数学第2章点、直线、平面之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系教材梳理素材新人教A版必修2


2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 疱丁巧解牛 知识·巧学 1.直线和平面的位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线和平面平行. (1)当直线与平面有无数个公共点时,我们称直线在平面内,记作 l ? α ,如图 2-1-20①. (2)当直线与平面只有一个公共点时, 我们称直线与平面相交, 记作 l∩α =A, 如图 2-1-20②. (3)当直线与平面没有公共点时,我们称直线与平面平行,记作 l∥α ,如图 2-1-20③. 图 2-1-20 画一条直线与已知平面平行时, 通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外 面,并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形的一条线段平行. 方法点拨 直线与平面间的位置关系通过直线与平面交点的个数的多少来确定,当直线与平 面无公共点时,直线与平面平行;当直线与平面有且仅有一个公共点时,直线与平面相交; 当直线与平面有无数公共点时,直线在平面内. 2.直线与平面的距离 直线与平面平行时, 直线上任一点到平面的距离都相等, 这点到平面的距离称为直线与 平面的距离. 3.直线与平面所成的角 直线与平面斜交时, 直线上的所有点在平面上的射影的集合组成了一条直线, 这条直线 与原直线所成的角我们称为直线与平面所成的角. 4.射影 直线与平面斜交时, 斜线与平面的交点称为斜足, 过斜线上不与斜足重合的点向平面引 垂线,垂线与平面的交点称为垂足.垂足与斜足之间的连线称为斜线在平面内的射影. 问题·探究 问题 1 空间直线与平面位置关系划分的依据是什么? 探究:否定了其中一种还有两种情况.在推证线面关系时,不能忽视直线在平面外这一条件. 问题 2 能不能说直线在平面外,就是直线与平面平行? 探究:不能.因为直线与平面位置关系有三种:直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平 面内,直线在平面外包括两种情况:一是直线与平面平行,二是直线与平面相交. 典题·热题 例 1 如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的一点,则此直线和平面相交. 思路解析:问题的实质就是证明直线 a 与平面 α 除点 A 以外,不存在其他公共点,于是有 下面的证明思路:否定性命题,用反证法. 解:已知:A∈α ,A∈a,B ? α ,B∈a,求证:直线 a 与平面 α 相交. 如图 2-1-21,假设直线 A 和平面 α 不相交, 即 a∥α 或 a ? α .假设 a∥α , 就与 A∈α , A∈a 矛盾.假设 a ? α ,就与 B ? α ,B∈a 矛盾.∴假设不成立.∴直线 a 与平面 α 相交. 1 图 2-1-21 方法归纳 利用反证法证明, 反证法是一种常用的证明方法.首先作出与结论相反的假设, 再 导出与题设或定理、 公理矛盾, 或导出两个互相矛盾的结论, 否定假设, 从而原题结论正确. 例 2 下列命题中正确的命题的个数为( ) ①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则 l∥α ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α ③若直线 a∥b,直线 b ? α ,则 a∥α ④若直线 a∥b,b ? 平面 α ,那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线 A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析:对于①,∵直线 l 虽与平面 α 内无数条直线平行,但 l 有可能在平面 α 内(若 改为 l 与 α 内任何直线都平行,则必有 l∥α ),∴①是假命题. 对于②,∵直线 a 在平面 α 外,包括两种情况:a∥α 和 a 与 α 相交,∴a 与 α 不一定平 行.∴②为假命题. 对于③,∵a∥b,b ?


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