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2013年广东文科数学高考试题及答案


2013 年广东文科数学高考试题(A 卷)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. 已知集合 S ? x x 2 ? 2 x ? 0, x ? R ,T ? x x 2 ? 2 x ? 0, x ? R , 则 S T ?( A.{0} 2.函数 y ? A. B.{0,2}
lg ? x ? 1? 的定义域是( x ?1

?

?

?

?



C.{-2,0} ) C. ? ?1,1?

D. {-2,0,2}

? ?1, ???

B. ? ?1, ???

?1, ???


D. ??1,1? D. 5

?1, ???

3.若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则 x+yi 的模是( A. 2 B. 3 C. 4
? 5? ? 1 ? ? ? ? ,那么 cos? ? ( 4.已知 sin ? ? 2 ? 5

) D.
2 5

A. ?

2 5

B. ?

1 5

C.

1 5

5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是( A. 1 B. 2 C.4 D.7
开始



输入n

2

i=1,s=1

1
i?n Y S=S+(i-1) 输出S N

1

主视图

左视图

图2

结束 i=i+1
图1

俯视图

6.某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是( 1 1 2 A. B. C. D. 1 6 3 3



2 2 7.垂直于直线 y=x+1 且与圆 x ? y ? 1相切于第一象限的直线方程是(

)

A. x ? y ? 2 ? 0

B. x ? y ? 1 ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 2 ? 0

8.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A. 若 l // ? , l // ? ,则 ? // ? ,则 ? // ? C. 若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? B.



若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ?

D. 若 ? ? ? , l // ? ,则 l ? ?
1 ,则 C 的方程是 2

9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ( )

x2 y 2 ?1 A. ? 3 4

x2 y 2 ? ?1 B. 4 3

x2 y 2 ? ?1 C. 4 2

x2 y 2 ? ?1 D. 4 3

10.设 a 是已知的平面向量且 a≠0。关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c; ②给定向量 b 和 c,总存在实数 ? 和 ? ,使 a= ? b+ ? c; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a= ? b+ ? c; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a= ? b+ ? c。 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题: (本大共 5 小题.考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题) 11.设数列 ?an ? 是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 12.曲线 y ? ax ? ln x 在点 ?1, a ? 处的切线平行于 x 轴,则 a ?
2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.已知变量 x,y 满足约束条件 ? ?1 ? x ? 1 ,则 z=x+y 的最大值是 ?y ?1 ?
(二)选做题(14-15 题,只能做其中一个,两题全答只计前一题得分) 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? 。以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐 标系,则曲线 C 参数方程是 15.(几何证明选讲选做题) 如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3,BC ? 3,BE ? AC , 垂足为 E, 则 ED= 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分. )
A 图3 E D B C

16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?

(1)求 f ?

?? ? ? 的值; ?3? 3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

(2)若 cos ? ?

?? ? f ? ? ? ? 的值. 6? ?

17.(本题满分 13 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 只,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

?80,85?
5

?85,90?
10

?90,95?
20

?95,100?
15

(1)根据频数分布表计算苹果的重量在 ?90,95? 的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在

?80,85? 的有几个?
(3)在(2)中抽出的 4 苹果中,任取 2 个,求重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有一个的概 率.

18.(本题满分 14 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E,分别为 AB,AC 上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥 A-BCF,其 中 BC ?

2 。 2
A A

(1)证明:DE//平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; (3)当 AD=

2 时,求三棱锥 F-DEG 3
D B

G G E C F 图4 B 图5 D F

E C

的体积 V.

19.(本题满分 14 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn,满足 4Sn ? an?12 ? 4n ? 1 , n ? N ,且
*

a2 , a5 , a14 构成等比数列。
(1)证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)证明:对一切的正正数 n,有

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? . a1a2 a2 a3 a3 a4 an an?1 2

20.(本题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F ( 0, c) (c>0) 到直线 L:x-y-2=0 的距离为 P 为直线 L 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点。 (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P(x0,y0)为直线 L 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 L 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

3 2 . 设 2

21.(本题满分 14 分) 设函数f(x)= x ? kx ? x (k∈R).
3 2

(1) 当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2) 当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.


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