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数分4-2


4.2 连续函数的一般性质
函数的连续性是通过极限 来定义的,因而有关函数极限 的诸多性质,都可以移到连续 函数中来。
一 连续函数的局部性质 二 复合函数的连续性 三 反函数的连续性

四 初等函数的连续性

一 连续函数的局部性质
Th4.2(局部有界性)若 f 在某 U ( x0 ) 有界.
Th4.3(局部保号性)若
f

在 x0 连续。则
r ? (0, f ( x0 ))

f 在 x0 连续,且

f ( x0 ) ? 0(or ? 0) 则对任何正数
(r ? ( f ( x0 ),0)) ,存在某 U ( x0 )有


f ( x) ? r ? 0( f ( x) ? ?r ? 0) .
f ( x0 ) 2



①在具体应用局部保号性时,若 f ( x0 ) ? 0 可取 r ?
0

②与极限相应的性质做比较 这里只是把“极限存在”,改为 “连续”,把 U

( x0 )改为 U ( x0 ) 其余一致。

证明连续函数的局部有界性——若 f 在 x0 处连续,则 ? M ? 0 和 ? 0 ? 0 ,使得

f ( x) ? M , x ? U ( x0 ; ?0 )


[ 证 ] 据 f 在 x0 连续的定义,
?? ? 0, ? ? ? 0, 当 x ? U( x0 ; ?) 时,

满足

f ( x) ? f ( x0 ) ? ?



现取

? ?1

相应存在 ?0 ? 0 , 当 x ? U ( x0 ; ?0 ) 时 ,就有
f ( x) ? f ( x0 ) ? f ( x) ? f ( x0 ) ? 1 , ? f ( x) ? f ( x0 ) ? 1 ? M
[ 证毕 ]

四则运算的连续性 Th4.4 若函数 f ( x ), g( x )在点 x0处连续,
f ( x) 则 f ( x ) ? g ( x ), f ( x ) ? g ( x ), ( g ( x0 ) ? 0 ) g( x ) 在点 x0处也连续.
连续是用极限定义的,本定理是极限四则 运算定理的直接结果,不证自明。 例如, sin x, cos x在(??,??)内连续,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .

二 复合函数的连续性 Th4.5 若 lim ?( x ) ? a , 函数 f ( u)在点a连续,
x ? x0

则有 lim f [?( x )] ? f (a ) ? f [ lim ?( x )].
x ? x0 x ? x0



? f (u)在点 u ? a连续,
? ? ? 0, ? ? ? 0, 使当 u ? a ? ?时, 恒有 f ( u) ? f (a ) ? ?成立.

又? lim? ( x ) ? a, x? x
0

对于? ? 0, ? ? ? 0, 使当 0 ? x ? x0 ? ? 时,

恒有 ? ( x ) ? a ? u ? a ? ? 成立.
将上两步合起来:

? ? ? 0, ? ? ? 0, 使当0 ? x ? x0 ? ? 时, f ( u) ? f (a ) ? f [? ( x )] ? f (a ) ? ? 成立.
? lim f [? ( x )] ? f (a ) x? x
0

? f[lim ? ( x )].
x ? x0

意义

1.在定理的条件下,极限符号可以与函数符 号互换,即极限号可以穿过外层函数符号直 接取在内层,

2.变量代换( u ? ?( x ))的理论依据 .



1.定理的条件:内层函数有极限,外层函数 在极限值点处连续

2.将x ? x0换成x ? ?可得类似的定理

ln(1 ? x ) . 例1 求 lim x ?0 x 1 解 原式 ? lim ln(1 ? x ) x x ?0
? ln[lim(1 ? x ) ]? ln e ? 1. x ?0
1 x

例2 解

ex ?1 求 lim . x?0 x

令 e x ? 1 ? y,

则 x ? ln(1 ? y ),

当x ? 0时, y ? 0.

y ? lim 原式 ? lim y?0 y ? 0 ln(1 ? y )
同理可得

1 ln(1 ? y )
1 y

? 1.

ax ?1 lim ? ln a . x ?0 x

Th 4.5
注意

/

设函数 u ? ?( x ) 在点 x ? x0连续, 且

?( x0 ) ? u0 , 而函数 y ? f ( u) 在点 u ? u0 连续, 则复合函数 y ? f [?( x )]在点 x ? x0也连续.

定理

Th 4.5 是定理4.5的特殊情况.

/

1 例如, u ? 在 ( ??, 0) ? (0, ? ? )内连续, x y ? sin u 在(??, ? ?)内连续,
1 ? y ? sin 在 ( ??, 0) ? (0, ? ? )内连续. x

三 反函数的连续性
定理4.8 严格单调的连续函数必有严格单调的 连续反函数.

, 例如, y ? sin x在[? , ]上单调增加且连续 2 2 故 y ? arcsin x 在[?1,1]上也是单调增加且连续 .

? ?

同理 y ? arccos x 在[?1,1]上单调减少且连续 ; y ? arctan x, y ? arc cot x 在[??,??]上单调且连续 .
反三角函数在其定义域内皆连续.

Th 4.8 若函数 f 在?a, b? 上严格递增( 或减 )且

连续, 则其反函数 f ?1 在相应的定义域? f (a), f (b)?
(或 ? f (b), f (a)?) 上连续.
证明 不妨设 f 在?a, b? 上严格递增. 此时 f 的 值域即反函数 f ?1的定义域为? f ? a ? , f ? b??.任取

? a ? , f ? b? ? , 设x0 ? f ?1 ? y0 ? , 则x0 ? ? a, b ? . y0 ? ? f
可在 于是对任给的? >0, ? a, b?内x0的两侧各取
异于 x0的点 x1, x2 ? x1 < x0 < x2 ? , 使它们与 x0 的距离

小于? ?如下图?

设与 x1 , x2 对应的函数值分别为 y1, y2 ,由 f 的严格增 性知 y1 < y0 < y2 . 令 则当 y ?U ? y0 ;? ? 时,对应的

? ? min ? y2 ? y0 , y0 ? y1 ? ,

x? f

?1

? y ? 的值都落在x1 与 x2

之间,故有

f ?1 ? y ? ? f ?1 ? y0 ? ? x ? x0 < ? , ?1 y0 连续,从而 f ?1 这就证明了 f 在点 f ?在? a ? , f ?b? ? 内连续. 类似地可证 f ?1 在其定义区间的端点 f ? a与 f ?b? 分 ? ?1 别为右连续与左连续.所以 f 在 ? f (a), f (b)?上连续.

四 初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的.

★ 指数函数 y ? a x

(a ? 0, a ? 1)

在(??,??)内单调且连续 ;

★ 对数函数 y ? loga x

(a ? 0, a ? 1)

在(0,??)内单调且连续;



y ? x ? ? a ? log

ax

y ? a , u ? ? loga x.
u

在(0, ? ?)内连续,

讨论?不同值,

(均在其定义域内连续 )

Th4.12

基本初等函数在定义域内是连续的.

Th4.13 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间.

注意

1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续; 例如, y ? cos x ? 1, D : x ? 0,?2?,?4?,? 这些孤立点的邻域内没有定义.
y? x ( x ? 1) ,
2 3

D : x ? 0, 及x ? 1,

在0点的邻域内没有定义.

函数在区间 1,??)上连续. [
注意
x ? x0

2. 初等函数求极限的方法代入法.

lim f ( x ) ? f ( x0 )

( x0 ? 定义区间 )

例3 求 lim ln sin x
x?

?

2

解 y ? ln sin x是初等函数
它的一个定义区间是 (0,? )
? lim ln sin x ? ln sin
x?

而 x0 ?

?
2

? ( 0, ? )

?
2

?

?0

1? x2 ? 1 例4 求 lim . x ?0 x

2

( 1 ? x 2 ? 1)( 1 ? x 2 ? 1) 解 原式 ? lim x ?0 x( 1 ? x 2 ? 1) x 0 ? lim ? ? 0. 2 x ?0 1? x ?1 2

lim arcsin( x x 2 ? 1 ? x ) 例5 求
x ? ??



当x ? ??时,x x 2 ? 1和x 2都 ? ??
不能应用差的极限运算法则,须变形 ——先分子有理化,然后再求极限
x ???

lim x( x2 ? 1 ? x)

x( x 2 ? 1 ? x )( x 2 ? 1 ? x ) ? lim x ? ?? x2 ? 1 ? x x 1 ? lim ? lim 2 x ? ?? x ? 1 ? x x ? ?? 1 1? 2 ?1 x 1 ? 2

?

x ? ??

lim arcsin( x x 2 ? 1 ? x )
x ? ??

? arcsin[ lim ( x x 2 ? 1 ? x )]
1 ? ? arcsin ? 2 6

五、小结
连续函数的局部性质
反函数的连续性. 复合函数的连续性. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.

思考题
设 f ( x ) ? sgn x , g ( x ) ? 1 ? x ,试研
2

究复合函数 f [ g ( x )]与 g[ f ( x )]的连续性.

思考题解答
? g( x ) ? 1 ? x ?
2

f [ g ( x )] ? sgn(1 ? x 2 ) ? 1

? ?1, ? f ( x ) ? ?0, ?1, ?

x?0 x?0 x?0

f [ g ( x )]在( ?? ,?? ) 上处处连续

? 2, g[ f ( x )] ? 1 ? ?sgn x ? ? ? ?1,
2

x?0 x?0

g[ f ( x )]在(??,0) ? (0,?? ) 上处处连续

x ? 0 是它的可去间断点


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