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1.4.2(1)正弦函数、余弦函数的性质(周期性)g


复习回顾 思考1.
?

正弦函数y=sinx,x∈[0, 2?]的图象中, 五个关键点是哪几个?

?

余弦函数y=cosx,x∈[0, 2?]的图象中, 五个关键点是哪几个?

复习回顾 思考1.
?

正弦函数y=sinx,x∈[0, 2?]的图象中, 五个关键点是哪几个? ? 3? (0,0), ( ,1), (? ,0), ( ,?1), (2? ,0) 2 2 余弦函数y=cosx,x∈[0, 2?]的图象中, 五个关键点是哪几个? ? 3? (0,1), ( ,0), (? ,?1), ( ,0), ( 2? ,1) 2 2

?

复习回顾 思考2.
如何利用y=cosx, x∈[0, 2?]的图 象,通过图形变换(平移、翻转等)来得 到y=-cosx,x∈[0, 2?]的图象?

复习回顾 思考2.
如何利用y=cosx, x∈[0, 2?]的图 象,通过图形变换(平移、翻转等)来得 到y=-cosx,x∈[0, 2?]的图象?

小结:
这两个图象关于x轴对称.

复习回顾 思考3.
如何利用y=cos x,x∈[0, 2?]的图 象,通过图形变换(平移、翻转等)来得 到y=|cosx|,x∈[0, 2?]的图象?

复习回顾 思考3.
如何利用y=cos x,x∈[0, 2?]的图 象,通过图形变换(平移、翻转等)来得 到y=|cosx|,x∈[0, 2?]的图象?

小结:
先作y=cosx图象,把图像在x轴下方 的部分翻折到x 轴上方,得到 y= |cosx| 的图象.

复习回顾 思考4.
不用作图, 你能判断函数 和y=cosx的图象有何关系吗?请在同一坐 标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.

复习回顾 思考4.
不用作图, 你能判断函数 和y=cosx的图象有何关系吗?请在同一坐 标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.

小结:
3 3 ? sin( x ? ? ) ? sin[( x ? ? ) ? 2? ] ? sin( x ? ) ? cos x 2 2 2

复习回顾 思考4.
3 不用作图, 你能判断函数 y ? sin( x ? ? ) 2

和y=cosx的图象有何关系吗?请在同一坐 标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.

小结:

3 3 ? sin( x ? ? ) ? sin[( x ? ? ) ? 2? ] ? sin( x ? ) ? cos x 2 2 2

?这两个函数相等,图象重合.

1、今天星期五? 7天后星期几? 14天后呢? 98天后呢? 2 、物理中的单摆振动、圆周运动, 质点运动的规律如何呢? 3、在数学当中,有没有“周而复始” 的现象呢?

讲授新课 观察正(余)弦函数的图象
x
sin x
? 2?
3? ? 2

??
0

?
-1

?
2

0

?
2

?
0

3? 2

2?
0

函数值 0

1

0 1

-1

讲授新课 观察正(余)弦函数的图象
x
函数值

? 2?
0

3? ? 2

??
0

?

?

1

2 -1

0
0

?
2 1

?
0

3? 2

2?
0

-1

sin x
y
1

? 4?

? 2?

?1

o

2?

4?

x

正弦函数y=sinx(x∈R):
y -2? 0X 2? x
X+2π

4?

自变量x连续增加或减少2π时,函数值不 断重复地出现。

是否只有当自变量x连续增加或减少2π时, 函数值才会不断重复地出现呢?
y x o 4π

y o

sin(x+2kπ)=sinx (k z)
x 6π 12π

?



讲授新课 正弦函数的性质1——周期性
(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出 现的; (2) 规律是:每隔2?重复出现一次(或者 说每隔2k?,k?Z重复出现); (3) 这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx 可以说明.

结论:象这样一种函数叫做周期函数.

定义:
一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常 数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都 有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函 数.非零常数T叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期 中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数 就叫做f(x)的最小正周期。

【说明】 ①周期函数x ? 定义域D,则必有x±T ? D; ②以后谈到三角函数周期时,若不加特别说 明,一般都是指最小正周期。

正弦函数的周期性:
Sin(x+

2kπ )=sinx

即:f(x+2kπ) =f(x)

f(x+T)=f(x)

正弦函数y=sinx(x∈R)是周期函 数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期。 最小正周期是2π。

余弦函数的周期性
y -2? 0X

y=cosx(x∈R)
2? x
X+2π

4?

自变量x增加2π时函数值不断重复地出现。
cos(x+2kπ)=cosx (k

? z)

余弦函数y=cosx(x∈R)是周期函 数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期。 最小正周期是2π。

? ? ? (1)观察等式sin( ? ) ? sin 是否成立? 4 2 4 ? 如果成立,能不能说 是y=sinx的周期? 2

对于f(x+T)=f(x)中每一个x都要成立

x x (2)由诱导公式 cos( ? 2?) ? cos ,是否可 3 3

x 以说 y ? cos 的周期为2π? 3

x 思考: f ( x) ? cos 3 x ? 6? cos 则f ( x ? 6? ) ? 3

x ? cos( ? 2? ) 3

? f ( x ? 6? ) ? f ( x)
f(x+T)=f(x)
x 故 : 2?不是 y ? cos 的周期 , 其周期为 6? . 3

x x (2)由诱导公式 cos( ? 2?) ? cos ,是否可 3 3

x 以说 y ? cos 的周期为2π? 3

x x x ? 6? cos ? cos( ? 2? ) ? cos 3 3 3

针对f(x+T) =f(x)中自变量x本身 所加的常量T才是周期。

(3)T(T≠0)是f(x) 的周期,kT(k∈Z且k≠0) 是f(x) 的周期? 周期函数的周期不止一个,若T是周 期,则kT(k∈Z且k≠0)一定也是周期。

(4) 是不是所有的周期函数都有最小正周期?

考虑函数f ( x) ? c (c为常数)

周期函数必有周期,但不一定有最 小正周期。

求下列函数的周期:
(1)y=3cosx(x∈R)

(2)y=sin2x(x∈R) 令u ? 2x ? y ? sin u

1 ? (3)y ? 2 sin( x ? ),x ? R 2 6

? y ? sin(u ? 2? ) ? sin 2 x ? ? ) ( ? 周期为T=?

y ? A sin(?x ? ? ),A ? 0, ? ? 0, x ? R 的(最小正)周期与哪个量有关 ?

2? T? ?

若? ? 0呢?

2? T? |? |

求下列函数的周期: 3 ( )y ? sin x,x ? R 1 4 (2)y ? cos 4 x,x ? R 1 (3)y ? cos x,x ? R 2 1 ? (4)y ? sin( x ? ),x ? R 3 4

小结:
1、一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零 常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x)=f(x+T),那么函数f(x)就叫做周期函 数.非零常数T叫做这个函数的周期. 2、正弦函数和余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它们的周期。最小正周期是2π。. 3、 函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数 y=Acos(ωx+ φ),x∈R(其中A,ω, φ为常数,且

A≠0,ω>0)的周期

T?

2? |? |


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