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2014届高考数学(理)第一轮复习学案——空间向量及其运算和空间位置关系


空间向量及其运算和空间位置关系(理)

[知识能否忆起] 一、空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量(平行 向量) 共面向量 共线向量定理 共面向量定理 平行于同一平面的向量. 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b?存在 λ∈R,使 a=λb. 若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面?存在唯一的有序实 数对(x,y),使 p=xa+yb. (1)定理:如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有 空间向量基本 定理 序实数组{x,y,z}使得 p=x a+y b+z c. (2)推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间一点 P 都存在唯一的 三个有序实数 x、y、z 使 OP =x OA +y OB +z OC 且 x+y+z=1. 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

二、数量积及坐标运算 1.两个向量的数量积 (1)a· b=|a||b|cos〈a,b〉 ; (2)a⊥b?a· b=0(a,b 为非零向量); (3)|a|2=a2,|a|= x2+y2+z2. 2.向量的坐标运算 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 向量和 向量差 数量积 共线 垂直 夹角 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) a· 1b1+a2b2+a3b3 b=a a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0

公式

cos〈a,b〉=

a1b1+a2b2+a3b3 2 a1+a2+a2 b2+b2+b2 2 3 1 2 3

三、平面的法向量 (1)所谓平面的法向量,就是指所在的直线与平面垂直的向量,显然一个平面的法向量 有无数多个,它们是共线向量. (2)在空间中,给定一个点 A 和一个向量 a,那么以向量 a 为法向量且经过点 A 的平面 是唯一的. [小题能否全取] 1.(课本习题改编)已知 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2)则下列结论正确 的是( ) B.a∥b,a⊥c D.以上都不对

A.a∥c,b∥c C.a∥c,a⊥b

解析:选 C ∵c=(-4,-6,2)=2a,∴a∥c.又 a· b=0,故 a⊥b. 2.(2012· 济宁一模)若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组 向量是( )

A.{a,a+b,a-b} C.{c,a+b,a-b}

B.{b,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b}

解析:选 C 若 c、a+b、a-b 共面, 则 c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b, 则 a、b、c 为共面向量,与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,故 c,a+b,a-b 可构 成空间向量的一组基底. 3.(教材习题改编)下列命题: ①若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有 AB + BC + CD + DA =0; ②若 MB =x MA +y MB ,则 M、P、A、B 共面; ③若 p=x a+y b,则 p 与 a,b 共面. 其中正确的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

????

解析:选 D 可判断①②③正确. 4.在四面体 O-ABC 中, OA =a, OB =b, OC =c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的 中点,则 OE =________(用 a,b,c 表示).

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? 1 ??? 1 ??? ? ? ? 解析:如图, OE = OA + OD 2 2

? ? ? 1 ??? 1 ??? 1 ??? = OA + OB + OC 2 4 4
1 1 1 = a+ b+ c. 2 4 4 1 1 1 答案: a+ b+ c 2 4 4 5 . 已知 ABCD- A1B1C1D1 为正 方体 ,① ( A1 A + A1 D1 + A1 B1 )2 = 3 A1 B1 2 ; ②

???? ?

?????

?????

?????

???? ????? ???? ? ? ???? ? ???? ? A1C · A1 B1 - A1 A )=0; ( ③向量 AD1 与向量 A1 B 的夹角是 60° ④正方体 ABCD-A1B1C1D1 ; ? ??? ???? ??? ? ? AA AD |.其中正确命题的序号是________. 的体积为| AB · 1 · ???? ????? ????? ? ????? 解析:设正方体的棱长为 1,①中( A1 A + A1 D1 + A1 B1 )2=3 A1 B1 2=3,故①正确; ????? ???? ???? ? ? ②中 A1 B1 - A1 A = AB1 ,由于 AB1⊥A1C,故②正确;③中 A1B 与 AD1 两异面直线所成角 ???? ???? ? ? ? ??? ???? ??? ? ? AA AD |=0.故④也不正 为 60° ,但 AD1 与 A1 B 的夹角为 120° ,故③不正确;④中| AB · 1 ·
确. 答案:①②

1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理;求两点间距离或 某一线段的长度,一般用向量的模来解决;解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零; 求异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应 进行转化. 2.直线的方向向量与平面的法向量的确定: (1)直线的方向向量:l 是空间一直线,A,B 是直线 l 上任意两点,则称 AB 为直线 l 的 方向向量,与 AB 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α 的
? a=0, ?n· 法向量,则求法向量的方程组为? ?n· ? b=0.

??? ?

??? ?

空间向量的线性运算

典题导入 [例 1] 如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中 G 为△A1BD 的 重心,设 AB =a, AD =b, AA1 =c,试用 a,b,c 表示 AC 1 , AG .

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

????

[自主解答] =a+b+c.

???? ??? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???? AC 1 = AB + BC + CC 1 = AB + AD + AA1

? ? ???? ???? ???? AG = AA1 + A1G ???? 1 ???? ???? ? ? ? = AA1 + ( A1 D + A1 B ) 3 ???? 1 ??? ? ? ? ? ???? 1 ??? ???? ? = AA1 + ( AD - AA1 )+ ( AB - AA1 ) 3 3
? ? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? = AA1 + AD + AB 3 3 3
1 1 1 = a+ b+ c. 3 3 3

本例条件不变,设 A1C1 与 B1D1 交点为 M,试用 a,b,c 表示 MG . 解:如图,

???? ?

? ? ???? ???? ???? ? MG = MA1 + A1G
? ???? ? 1 ????? ????? 1 ???? =- ( A1 B1 + A1 D1 )+ ( A1 D + A1 B ) 2 3

? ? ? ???? 1 ??? ???? ? 1 1 1 ??? =- a- b+ ( AD - AA1 )+ ( AB - AA1 ) 2 2 3 3
1 1 1 1 1 1 =- a- b+ b- c+ a- c 2 2 3 3 3 3 1 1 2 =- a- b- c 6 6 3

由题悟法 用已知向量表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键,要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义,灵活运用三角形法则及四边形法则. 以题试法 1.如图所示,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC,M、N 分别为 OA、BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且 MG =2 GN ,若 OG = x OA +y OB +z OC ,则 x,y,z 的值分别为________.

???? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ???? ???? 1 ??? 2 ???? ? ? ? ? ? 解析:∵ OG = OM + MG = OA + MN 2 3

? ? 1 ??? 2 ???? ???? = OA + ( ON - OM ) 2 3 ? ? 1 ??? 2 ???? 2 ???? = OA + ON - OM 2 3 3

? ? ??? ? 2 1 ??? ? 1 ??? 2 1 ??? = OA + × ( OB + OC )- × OA 2 3 2 3 2

? ? ? 1 ??? 1 ??? 1 ??? = OA + OB + OC 6 3 3
1 1 1 ∴x,y,z 的值分别为 , , . 6 3 3 1 1 1 答案: , , 6 3 3

共线、共面向量定理的应用

典题导入 [例 2] 如右图, 已知平行六面体 ABCD-A′B′C′D′, E、 F、G、H 分别是棱 A′D′、D′C′、C′C 和 AB 的中点,求证 E、F、G、H 四点共面. [自主解答] 取 ED? =a,EF =b,EH =c, HG = HB 则

???? ?

??? ?

????

????

????

??? ??? ???? ? ? ? ???? 1 ???? ? + BC + CG = D? F +2 ED? + AA? 2
1 ???? ???? ???? 1 =b-a+2a+ ( AH + HE + EA? )=b+a+ (b-a-c-a) 2 2

???? 3 1 = b- c,∴ HG 与 b、c 共面.即 E、F、G、H 四点共面. 2 2
由题悟法 应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较: 三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面

??? ? ??? ? PA =λ PB 且同过点 P
对空间任一点 O, OP = OA →+t AB

??? ?

??? ?

??? ?

对空间任一点 O, OP =x OA +(1-x) OB

??? ?

??? ?

??? ?

???? ???? ???? MP =x MA +y MB ??? ???? ? ? ???? 对空间任一点 O, OP = OM +x MA + ???? y MB ??? ? ???? ? ??? ? 对空间任一点 O, OP =x OM +y OA +(1 ??? ? -x-y) OB
以题试法

2.已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、 CD、DA 的中点,用向量方法,求证: (1)E、F、G、H 四点共面; (2)BD∥平面 EFGH.

证明:(1)连接 BG,则 EG = EB + BG

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? 1 ??? ??? ? ? = EB + ( BC + BD ) 2
= EB + BF + EH = EF + EH , 由共面向量定理知: E、F、G、H 四点共面. (2)因为 EH = AH - AE

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

????

????

??? ?

? 1 ??? 1 ??? ? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? = AD - AB = ( AD - AB )= BD , 2 2 2 2
又因为 E、H、B、D 四点不共线,所以 EH∥BD. 又 EH?平面 EFGH,BD?平面 EFGH, 所以 BD∥平面 EFGH.

利用空间向量证明平行或垂直

典题导入 [例 3] (2012· 湖南模拟)已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, △ACD 为等边三角形,边长为 2a,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE. [自主解答] 依题意,以 AC 所在的直线为 x 轴,AB 所在的直线 为 z 轴,过点 A 且垂直于 AC 的直线为 y 轴,建立如图所示的空间直 角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a, 3a,0), E(a, 3a,2a). 3 3 ∵F 为 CD 的中点,∴F? a, a,0?. 2 2 ? ?

??? ? ???? 3 ??? ? 3 (1)易知, AF =? a, a,0?, BE =(a, 3a,a), BC =(2a,0,-a), 2 ?2 ? ? ???? 1 ??? ??? ? ∵ AF = ( BE + BC ),AF?平面 BCE, 2
∴AF∥平面 BCE.

??? ? ???? 3 ??? ? 3 (2)∵ AF =? a, a,0?, CD =(-a, 3a,0), ED =(0,0,-2a), 2 ?2 ? CD ∴ AF · =0, AF · =0, ED ? ???? ???
???? ??? ?

∴ AF ⊥ CD , AF ⊥ ED ,即 AF⊥CD,AF⊥ED. 又 CD∩ED=D,∴AF⊥平面 CDE. 又 AF∥平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE. 由题悟法 利用直线的方向向量与平面的法向量,可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面 的平行和垂直. (1)设直线 l1 的方向向量 v1=(a1,b1,c1),l2 的方向向量 v2=(a2,b2,c2). 则 l1∥l2?v1∥v2?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R). l1⊥l2?v1⊥v2?a1a2+b1b2+c1c2=0. (2)设直线 l 的方向向量为 v=(a1,b1,c1),平面 α 的法向量为 n=(a2,b2,c2),则 l∥α ?v⊥n?a1a2+b1b2+c1c2=0. l⊥α?v∥n?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2). (3)设平面 α 的法向量 n1=(a1,b1,c1),β 的法向量为 n2=(a2,b2,c2),则 α∥β?n1∥ n2,α⊥β?n1⊥n2. 以题试法 3.(2012· 汕头模拟) 如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,BB1= 2,M 是线段 B1D1 的中 点. (1)求证:BM∥平面 D1AC; (2)求证:D1O⊥平面 AB1C. 证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则点 O(1,1,0)、D1(0,0, 2), ∴ OD1 =(-1,-1, 2), 又点 B(2,2,0),M(1,1, 2), ∴ BM =(-1,-1, 2), ∴ OD1 = BM , 又∵OD1 与 BM 不共线, ∴OD1∥BM. 又 OD1?平面 D1AC,BM?平面 D1AC, ∴BM∥平面 D1AC.

????

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????

??? ?

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OB OD AC =(-1, (2)连接 OB1.∵ OD1 · 1 =(-1, -1, 2)· (1,1, 2)=0, 1 · -1, 2)· (-
2,2,0)=0,

???? ???? ?

???? ??? ? ?

∴ OD1 ⊥ OB1 , OD1 ⊥ AC , 即 OD1⊥OB1,OD1⊥AC, 又 OB1∩AC=O,∴D1O⊥平面 AB1C.

???? ?

????

???? ?

??? ?

1. (2013· 大同月考)若直线 l 的方向向量为 a, 平面 α 的法向量为 n, 能使 l∥α 的是( A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析:选 D 若 l∥α,则 a· n=0.而 A 中 a· n=-2, B 中 a· n=1+5=6,C 中 a· n=-1, 只有 D 选项中 a· n=-3+3=0.

)

2.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a,b,c 三向量共面,则实 数 λ 等于( 62 A. 7 60 C. 7 ) 63 B. 7 65 D. 7

解析:选 D 由题意得 c=t a+μ b=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),

?7=2t-μ, ? ∴?5=-t+4μ, ?λ=3t-2μ. ?

? ? 17 ∴?μ= 7 , ?λ=65. ? 7
33 t= , 7

3.如图所示, 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, 为 A1C1 与 B1D1 M 的交点.若 AB =a, AD =b, AA1 =c,则下列向量中与 BM 相等的 向量是( ) 1 1 B. a+ b+c 2 2 1 1 D. a- b+c 2 2

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

1 1 A.- a+ b+c 2 2 1 1 C.- a- b+c 2 2 解析:选 A

? ? ???? ???? ????? ???? 1 ??? ? ? ??? ? BM = BB1 + B1 M = AA1 +2( AD - AB )

1 1 1 =c+ (b-a)=- a+ b+c. 2 2 2

4.(2013· 晋中调研)如图所示,已知空间四边形 OABC,OB=OC,且∠

??? ??? ? ? π AOB=∠AOC= ,则 cos〈 OA , BC 〉的值为( 3
A.0 C. 3 2 1 B. 2 D. 2 2

)

解析:选 A 设 OA =a, OB =b, OC =c, π 由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉= ,且|b|=|c|, 3

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? OA · =a· BC (c-b)=a· c-a· b ??? ??? ? ? 1 1 = |a||c|- |a||b|=0,∴cos〈 OA , BC 〉=0. 2 2
5.(2012· 舟山月考)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 AB 、 AD 、 AA1 两两的夹 角均为 60° ,且| AB |=1,| AD |=2,| AA1 |=3,则| AC 1 |等于( A.5 C.4 B.6 D.8

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

)

解析:选 A 设 AB =a, AD =b, AA1 =c,则 AC 1 =a+b+c,

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

???? ? AC 1 2=a2+b2+c2+2a· c+2b· c+2c· a=25, ???? ? 因此| AC 1 |=5.
6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为正方形 A1B1C1D1 四边上的 动点,O 为底面正方形 ABCD 的中心,M,N 分别为 AB,BC 的中点, 点 Q 为平面 ABCD 内一点,线段 D1Q 与 OP 互相平分,则满足 MQ = λ MN 的实数 λ 的值有( A.0 个 C.2 个

???? ?

???? ?

) B.1 个 D.3 个

解析:选 C 建立如图所示的坐标系,设正方体的棱长为 2, 则 P(x,y,2),O(1,1,0), ∴OP 的中点坐标为

?x+1,y+1,1?, 2 ? 2 ?
又知 D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+1,0),

而 Q 在 MN 上,∴xQ+yQ=3, ∴x+y=1,即点 P 坐标满足 x+y=1. ∴有 2 个符合题意的点 P,即对应有 2 个 λ. 7.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是________.

???? ? ??? ??? ??? ? ? ? ???? 1 ??? 1 ??? 1 ??? ? ? ? ? ? ???? ???? ???? ① OM =2 OA - OB - OC ;② OM = OA + OB + OC ;③ MA + MB + MC 5 3 2
=0;④ OM + OA + OB + OC =0. 解析:∵ MA + MB + MC =0,∴ MA =- MB - MC ,则 MA 、 MB 、 MC 为 共面向量,即 M、A、B、C 四点共面. 答案:③ 8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 分别是棱 BC、 DD1 上的点,如果 B1E⊥平面 ABF,则 CE 与 DF 的和的值为________. 解析:以 D1A1、D1C1、D1D 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 设 CE=x,DF=y, 则易知 E(x,1,1),B1(1,1,0),∴ B1 E =(x-1,0,1), 又 F(0,0,1-y),B(1,1,1),∴ FB =(1,1,y), 由于 AB⊥B1E,故若 B1E⊥平面 ABF, 只需 PB ― B1 E =(1,1,y)· →· (x-1,0,1)=0?x+y=1. 答案:1 9.如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 为 PB 的中点,cos〈 DP , AE 〉=

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??? ?

??? ?

??? ?

????

????

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???? ?

??? ?

??? ?

3 ,若以 DA、DC,DP 所在直线分别为 3

x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则点 E 的坐标为________. 解析:设 PD=a,则 A(2,0,0),B(2,2,0), a P(0,0,a),E?1,1,2?. ? ?

??? ? ??? ? a ∴ DP =(0,0,a), AE =?-1,1,2?. ? ?
由 cos〈 DP , AE 〉= a2 ∴ =a 2

??? ?

??? ?

3 , 3

a2 3 2+ · ,∴a=2. 4 3

∴E 的坐标为(1,1,1). 答案:(1,1,1) 10.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,

AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明: (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE. 证明:AB、AD、AP 两两垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系,设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1). (1)∵∠ABC=60° , ∴△ABC 为正三角形. 1 3 1 3 1 ∴C? , ,0?,E? , , ?. ?2 2 ? ?4 4 2 ? 设 D(0,y,0),由 AC⊥CD,得 AC · =0, CD 2 3 2 3 ? 即 y= ,则 D?0, ,0 , 3 3 ? ?

??? ??? ? ?

??? ? ??? ? 1 3 1 3 1 ∴ CD =?- , ,0?.又 AE =? , , ?, ? 2 6 ? ?4 4 2? ? ??? ??? ? 1 1 3 3 CD ∴ AE · =- × + × =0, 2 4 6 4
∴ AE ⊥ CD ,即 AE⊥CD.

??? ?

??? ?

??? ? 2 3 ? (2)法一:∵P(0,0,1),∴ PD =?0, ,-1 . 3 ? ?
又 AE · = PD

??? ??? ? ?
??? ?

3 2 3 1 × + ×(-1)=0, 4 3 2

∴ PD ⊥ AE ,即 PD⊥AE. ∵ AB =(1,0,0),∴ PD · =0. AB ∴PD⊥AB,又 AB∩AE=A,∴PD⊥平面 AEB.

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ? ??? ? 1 3 1 法二: AB =(1,0,0), AE =? , , ?, ?4 4 2?
设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z),

?x=0, ? 则?1 3 1 ?4x+ 4 y+2z=0, ?
令 y=2,则 z=- 3,∴n=(0,2,- 3).

??? ? ??? ? 3 2 3 ? ∵ PD =?0, ,-1 ,显然 PD = 3 n. 3 ? ?
∵ PD ∥n,∴ PD ⊥平面 ABE,即 PD⊥平面 ABE. 11.已知矩形 ABCD 中,AB=6,BC=6 2,E 为 AD 的中点(图甲).沿 BE 将△ABE 折 起,使二面角 A-BE-C 为直二面角(图乙),且 F 为 AC 的中点.

??? ?

??? ?

(1)求证:FD∥平面 ABE; (2)求证:AC⊥BE. 证明:(1)如图 1,设 M 为 BC 的中点,连接 DM、MF.∵F 为 AC 的 中点,M 为 BC 的中点,∴MF∥AB. 又∵BM 綊 DE,∴四边形 BMDE 为平行四边形,∴MD∥BE. ∵MF∩MD=M,AB∩BE=B, ∴平面 DFM∥平面 ABE. 又∵PD?平面 DFM,FD?平面 ABE, ∴FD∥平面 ABE. (2)在矩形 ABCD(如图 2)中,连接 AC,交 BE 于 G.

? ? ??? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? AC ( BE · =( BA + AE )· AB + BC ) ? ??? ? ??? ??? ? =- AB 2+ AE · =-36+36=0. BC
∴AC⊥BE. ∴在图 3 中,AG⊥BE,CG⊥BE. 又∵AG∩GC=G, ∴BE⊥平面 AGC. 又∵AC?平面 AGC,∴AC⊥BE.

12. (2012· 长春模拟)如图, 在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,PD⊥平面 ABCD,AD=1,AB= 3, BC=4. (1)求证:BD⊥PC; (2)设点 E 在棱 PC 上, PE =λ PC ,若 DE∥平面 PAB,求 λ 的值. 解:(1)证明:如图,在平面 ABCD 内过点 D 作直线 DF∥AB,交 BC 于点 F,以 D 为坐标原点,DA、DF、DP 所在的直线分别为 x、y、 z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),B(1, 3,0),D(0,0,0), C(-3, 3,0). (1)设 PD=a,则 P(0,0,a), BD =(-1,- 3,0), PC =(-3, 3,-a),

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

PC ∵ BD · =3-3=0,∴BD⊥PC.

? ??? ??? ?

(2)由题意知, AB =(0, 3,0), DP =(0,0,a), PA =(1,0,-a), PC =(-3, 3, -a), ∵ PE =λ PC ,∴ PE =(-3λ, 3λ,-aλ),

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ??? ? ? DE = DP + PE =(0,0,a)+(-3λ, 3λ,-aλ)
=(-3λ, 3λ,a-aλ).

??? ? ? AB · n=0, 设 n=(x,y,z)为平面 PAB 的法向量,则? ??? ? n=0, ? PA ·
即?

? 3y=0, ?x-az=0.
??? ?

令 z=1,得 x=a,∴n=(a,0,1), ∵DE∥平面 PAB,∴ DE · n=0, ∴-3aλ+a-aλ=0,即 a(1-4λ)=0, 1 ∵a≠0,∴λ= . 4

1.已知 AB =(1,5,-2), BC =(3,1,z),若 AB ⊥ BC , BP =(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x,y,z 分别为( 33 15 A. ,- ,4 7 7 40 C. ,-2,4 7 ) 40 15 B. ,- ,4 7 7 40 D.4, ,-15 7

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

BC 解析:选 B ∵ AB ⊥ BC ,∴ AB · =0,
即 3+5-2z=0,得 z=4.

??? ?

??? ?

? ??? ??? ?

??? ? ? ??x-1?+5y+6=0, 又 BP⊥平面 ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC, BC =(3,1,4),则? 解 ? ?3?x-1?+y-12=0,

?x= 7 , 得? 15 ?y=- 7 .
40 2.设空间四点 O,A,B,P 满足 OP = OA +t AB ,其中 0<t<1,则有( A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的延长线上 C.点 P 在线段 BA 的延长线上 D.点 P 不一定在直线 AB 上

??? ?

??? ?

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)

解析:选 A ∵0<t<1,∴P 点在线段 AB 上. 3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点.求证: (1)FC1∥平面 ADE; (2)平面 ADE∥平面 B1C1F. 证明:(1)如图所示,建立空间直角坐标系 D-xyz, 则有 D(0,0,0)、 A(2,0,0)、 C(0,2,0)、 1(0,2,2)、 C E(2,2,1)、 F(0,0,1), 所以 FC 1 =(0,2,1), DA =(2,0,0), AE =(0,2,1). 设 n1=(x1,y1,z1)是平面 ADE 的一个法向量,则 n1⊥ DA , n1⊥ AE ,

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??? ? ?n1· =2x1=0, DA 即? ??? ? AE ?n1· =2y1+z1=0.
? ?x1=0, 解得? ?z1=-2y1. ?

令 z1=2,则 y1=-1,所以 n1=(0,-1,2). 因为 FC 1 · 1=-2+2=0,所以 FC 1 ⊥n1. n 又因为 FC1?平面 ADE,所以 FC1∥平面 ADE. (2)由(1)得 B1(2,2,2), C1 B1 =(2,0,0). 设 n2=(x2,y2,z2)是平面 B1C1F 的一个法向量, 则 n2⊥ FC 1 ,n2⊥ C1 B1 ,

???? ?

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?????

???? ?

?????

???? ? ?n2· 1 =2y2+z2=0, FC ?x2=0, ? ? 即? ????? 解得? ? ?z2=-2y2. ?n2· 1 B1 =2x2=0. ? C
令 z2=2,则 y2=-1,所以 n2=(0,-1,2). 因为 n1=n2,所以平面 ADE∥平面 B1C1F.

1.已知在一个 60° 的二面角的棱上,如图有两个点 A,B,AC, BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于 AB 的线段,且 AB =4 cm,AC=6 cm,BD=8 cm,则 CD 的长为________. 解析:设 BD =a, AB =b, AC =c, 由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6, 〈a,b〉=90° 〈b,c〉=90° 〈a,c〉=60° , , ,

??? ?

??? ?

??? ?

| CD |2=| CA + AB + BD |2=|-c+b+a|2 =a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c=68, 则| CD |=2 17. 答案:2 17 cm 2.如图所示,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形, 且∠C1CD=∠C1CB=∠BCD=60° . (1)求证:C1C⊥BD; (2)当 CD 的值是多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?请给出证明. CC1

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??? ?

??? ?

??? ?

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解:(1)证明:设 CD =a, CB =b, CC 1 =c, 由已知|a|=|b|,且〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60° ,

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??? ?

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???? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? (a-b)=c· a-c· b BD = CD - CB =a-b, CC 1 · =c· BD ???? ??? ? ? 1 1 = |c||a|- |c||b|=0,∴ C 1C ⊥ BD ,即 C1C⊥BD. 2 2
(2)若 A1C⊥平面 C1BD, 则 A1C⊥C1D, CA1 =a+b+c, C 1 D =a-c.

????

???? ?

C ∴ CA1 · 1 D =0,即(a+b+c)· (a-c)=0.
整理得:3a2-|a||c|-2c2=0, (3|a|+2|c|)(|a|-|c|)=0, ∴|a|-|c|=0,即|a|=|c|. CD |a| 即当 = =1 时,A1C⊥平面 C1BD. CC1 |c| 3.如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,△PAD 是 直角三角形,且 PA=AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中 点.求证:PB∥平面 EFG. 证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 且 ABCD 为正方形, ∴AB、AP、AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0). ∴ PB =(2,0,-2), FE =(0,-1,0),

???? ???? ?

??? ?

??? ?

??? ? FG =(1,1,-1), ??? ? ??? ? ??? ? 设 PB =s FE +t FG ,
即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),

?t=2, ? ∴?t-s=0, 解得 s=t=2. ?-t=-2, ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ PB =2 FE +2 FG , ? ? ??? ??? ? ??? ??? ??? ? ? 又∵ FE 与 FG 不共线,∴ PB 、 FE 与 FG 共面.
∵PB?平面 EFG,∴PB∥平面 EFG.


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