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2013年北京市海淀区高三二模数学理科含答案[1]


海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科) 2013.5

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项.
1.集合 A
?

?x

| ( x ? 1) ( x ? 2 ) ? 0 ? , B ?

?x

x ? 0 ? ,则 A ? B ?

A. ( ? ? , 0 ] B. ( ? ? ,1]

C. [1, 2 ]

D. [1, ? ? )

2.已知数列 ? a n ? 是公比为 q 的等比数列,且 a 1 ? a 3 ? 4 , a 4 ? 8 ,则 a 1 ? q 的值为 A. 3 B. 2 C. 3 或 ? 2 D. 3 或 ? 3

3. 如图,在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ? . 向正方形内随机撒豆子,若 撒在图形 ? 内和正方形内的豆子数分别为 m , n ,则图形 ? 面积的估计值为 A.
ma n

?

B.

na m

C.

ma n

2

D.

na m

2

4.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 A. 1 8 0 C. 2 7 6 D. 3 0 0
?R

5

B. 2 4 0
主视图 6 左视图

6

5.在四边形 A B C D 中, ? ? “
ABCD

,使得 A B

??? ?

???? ???? ??? ? ? ? D C, A D ? ? B C

6

”是“四边形
俯视图

为平行四边形”的 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

6.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,且 5 不排在百位,2,4 都不排在个 位和万位,则这样的五位数个数为 A. 3 2 B.
36

C.

42

D. 4 8
? 4x

7.双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,且 F 2 恰为抛物线 y 2

的焦点,设双曲线 C 与该抛

物线的一个交点为 A ,若 ? A F1 F 2 是以 A F1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为 A.
2

B. 1 ?

2

C. 1 ?

3

D. 2 ?

3

高三数学(理科)试题第 1 页(共 4 页)

8. 若数列 { a n } 满足:存在正整数 T ,对于任意正整数 n 都有 a n ? T ? a n 成立,则称数列 { a n }
? a n ? 1, ? 已知数列 { a n } 满足 a 1 ? m ( m ? 0 ) , a n ? 1 = ? 1 , ?a ? n a n ? 1, 0 ? an ? 1.

为周期数列,周期为 T .

则下列结论中错误的是 .. A. 若 a 3 ? 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值 B. 若 m ?
2

,则数列 { a n } 是周期为 3 的数列
? 2
? 2

C. ? T ? N * 且 T D. ? m ? Q 且 m

,存在 m

? 1 , { a n } 是周期为 T

的数列

,数列 { a n } 是周期数列

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.在极坐标系中,极点到直线 ? 10.已知 a
? ln 1 2 , b ? s in 1 2 ,c ? 2
?

cos? ? 2
1 2

的距离为_______.

,则 a , b , c 按照从大到小排列为______. ....

11.直线 l 1 过点 ( ? 2 , 0 ) 且倾斜角为 3 0 ? , 直线 l 2 过点 ( 2 , 0 ) 且与直线 l 1 垂直, 则直线 l 1 与直线 l 2 的交点坐标为____. 12.在 ? A B C 中, ? A
? 30 ,? B ? 45 , a ?
? ?

2

,则 b

? _____; S ?ABC ? _ _ _ _ _ .

13.正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 的棱长为 1 ,若动点 P 在线段 B D 1 上运动,则 D C ? A P 的取值 范围是______________. 14.在平面直角坐标系中,动点 P ( x , y ) 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 (1,1) 的距离,记 点 P 的轨迹为曲线 W . (I) 给出下列三个结论: ①曲线 W 关于原点对称; ②曲线 W 关于直线 y
? x

???? ??? ?

对称;
1 2

③曲线 W 与 x 轴非负半轴, y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 其中,所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线 W 上的点到原点距离的最小值为______.



高三数学(理科)试题第 2 页(共 4 页)

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程.
15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 1 ?
cos 2 x 2 s in ( x ? π 4 )

.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

16.(本小题满分 13 分) 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面 值为 5 元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下: (1)该福利彩票中奖率为 50%; (2)每张中奖 彩票的中奖奖金有 5 元,50 元和 150 元三种; (3)顾客购买一张彩票获得 150 元奖金的概 率为 p ,获得 50 元奖金的概率为 2 % . (I)假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求 p 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 A B C D 中, ? A B C
AD ? 4 .

? ? D AB ? 90

?

,?CAB

? 30

?

, BC

? 2



把 ? D A C 沿对角线 A C 折起到 ? P A C 的位置,如图 2 所示,使得点 P 在平面 A B C

上的正投影 H 恰好落在线段 A C 上,连接 P B ,点 E , F 分别为线段 P A , A B 的中点. (I) 求证:平面 E F H
//

平面 P B C ;

(II)求直线 H E 与平面 P H B 所成角的正弦值; (III)在棱 P A 上是否存在一点 M ,使得 M 到点 P , H , A , F 四点的距离相等?请说明理由.
D

P E
C

A

图1

B

A F

H B
图2

C

高三数学(理科)试题第 3 页(共 4 页)

18.(本小题满分 13 分) 已知函数
f (x) ? e
x

,点 A ( a , 0 ) 为一定点,直线 x ? t ( t ? a ) 分别与函数 f ( x ) 的图象和 x

轴交于点 M , N ,记 ? A M N 的面积为 S ( t ) . (I)当 a ? 0 时,求函数 S ( t ) 的单调区间; (II)当 a ? 2 时, 若 ? t 0 ? [ 0 , 2 ] ,使得 S ( t 0 ) ? e , 求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 M 的四个顶点. (I)求椭圆 M 的方程; (II)直线 l 与椭圆 M 交于 A ,B 两点,且线段 A B 的垂直平分线经过点 ( 0 , ? ( O 为原点)面积的最大值.
1 2 )
:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的四个顶点恰好是一边长为 2,一内角为 6 0 ? 的菱形

,求 ? AOB

20.(本小题满分 13 分) 设 A 是由 m
? n

个实数组成的 m 行 n 列的数表, 如果某一行 (或某一列) 各数之和为负数, 1
?2

则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作” ,使得到的数表每 行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操 作”后所得的数表(写出一种方法即可) ;表 1 (Ⅱ) 数表 A 如表 2 所示,若必须经过两次“操作” ,才可使得到的数表每行的各数之和与 每列的各数之和均为非负整数,求整数 a 的所有可能值; .. (Ⅲ)对由 m
? n

2 1

3 0

?7

1

a 2? a

a ?1
2

?a a ? 2

?a a
2

2

个实数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A ,

1? a

2

能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.

表2

高三数学(理科)试题第 4 页(共 4 页)

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科) 参考答案及评分标准 2013.5
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. 2 12. 2 ;
3 ?1 2

10. c ? b ? a 13. [ 0 ,1]

11. (1,

3)

14.②③; 2

?

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 s in ( x 所以 x
? π 4 ? π 4 ? kπ, k ? Z ) ? 0

????????2 分
| x ? kπ+
2

所以函数的定义域为 { x
2

π 4

, k ? Z } ????????4



(II)因为

f (x) ? 1 ?

c o s x ? s in x s in x ? c o s x

????????6 分

= 1 ? (c o s x ? s in x )

? 1 ? sin x ? cos x
= 1? 2 s in ( x ? π 4 )

????????8 分
(2kπ ? π 2 π 2 , 2kπ ? π 2 )

又 y ? s in x 的单调递增区间为 令 解得
2kπ ? π 2 2kπ ? 3π 4 ? x ? π 4 ? x ? 2kπ ? π 4 π 4 , ? 2kπ ?

,k ? Z

????????11 分

又注意到 x

? kπ+

高三数学(理科)试题第 5 页(共 4 页)

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 2 k π

?

3π 4

, 2kπ ?

π 4

)



k?Z

???????13 分

16. 解: (I)设至少一张中奖为事件 A 则 P ( A)
? 1 ? 0 .5 ? 0 .7 5
2

???????4 分

(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ? 则 ? 可以取 5, 0, ? 4 5, ? 1 4 5 ???????6 分
? 的分布列为

?
P

5 50 %

0
50 % ? 2 % ? p

?45 2%

?145
p

???????8 分 所以 ? 的期望为 E ?
? 2 .5 ? 9 0 % ? 1 4 5 p
? 5 ? 50 % ? 0 ? ( 50 % ? 2 % ? p ) ? ( ? 4 5 ) ? 2 % ? ( ? 1 4 5 ) ? p

???????11 分 时,即 p
? 8 725

所以当 所以当 0

1 .6 ? 1 4 5 p ? 0
8 725

???????12 分

? p ?

时,福彩中心可以获取资金资助福利事业???????13 分

17.解: (I)因为点 P 在平面 A B C 上的正投影 H 恰好落在线段 A C 上 所以 P H
?

平面 A B C ,所以 P H

? AC

???????1 分
?

因为在直角梯形 A B C D 中, ? A B C
BC ? 2

? ? D AB ? 90

,?CAB

? 30

?



, AD

? 4

所以 A C ? 4 , ? C A B 所以 H 是 A C 中点,

? 60

?

,所以 ? A D C 是等边三角形, ???????2 分

所以 H E / / P C ???????3 分 同理可证 E F / / P B 又 HE
? EF ? E ,CP ? PB ? P

所以平面 E F H / / 平面 P B C ???????5 分 (II)在平面 A B C 内过 H 作 A C 的垂线 如图建立空间直角坐标系, 则 A(0, ?2, 0) , P (0, 0, 2
3)

,B(

3 ,1, 0 )

???????6 分

高三数学(理科)试题第 6 页(共 4 页)

因为 E ( 0 , ? 1,

3)

,HE

????

z
? ( 0 , ? 1,
?

3)

P E A
3)

设平面 P H B 的法向量为 n
???? 因为 H B ? (

? ( x, y, z)

???? 3 ,1, 0 ) , H P ? ( 0 , 0 , 2

H F x B

C

y

???? ?HB ? 所以有 ? ???? ?HP ?

? ?n ? 0 ? ?n ? 0

,即 ?

? ?

3x ? y ? 0

?z ? 0 ?
? ? (



令x

?

3,

则 y ? ? 3, 所以 n

3 , ? 3, 0 )

???????8 分

? ???? cos ? n, H E ??

? ???? n ?HE 3 ? ????? ? ? ? | n | ?| H E | 2 ?2 3

3 4

???????10 分
3 4

所以直线 H E 与平面 P H B 所成角的正弦值为 (III)存在,事实上记点 E 为 M 即可 因为在直角三角形 P H A 中, E H 在直角三角形 P H B 中,点 P B
? PE ? EA ? 1 2

???????11 分 ???????12 分

1 2

PA ? 2

,???????13 分

? 4, E F ?

PB ? 2

所以点 E 到四个点 P , O , C , F 的距离相等???????14 分 18.解: (I) 因为 S ( t ) 当 a ? 0 , S (t )
? ? 1 2 1 2 |t |e 1 2
t

|t ? a |e

t

,其中 t

? a

???????2 分

,其中 t ? 0 , S '( t )
? 1 2 ( t ? 1) e
t

当 t ? 0 时, S ( t )

?

te

t



所以 S '( t ) ? 0 ,所以 S ( t ) 在 ( 0 , ? ? ) 上递增,???????4 分 当 t ? 0 时, S ( t ) 令 S '( t ) 令 S '( t )
? ? 1 2 ? ? 1 2 ( t ? 1) e ? 0
t

? ?

1 2

te

t

, S '( t )

? ?

1 2

( t ? 1) e

t



( t ? 1) e ? 0
t

,解得 t ? ? 1 ,所以 S ( t ) 在 ( ? ? , ? 1) 上递增 ,解得 t ? ? 1 ,所以 S ( t ) 在 ( ? 1, 0 ) 上递减?????7 分

综上, S ( t ) 的单调递增区间为 ( 0 , ? ? ) , ( ? ? , ? 1)
S (t )

的单调递增区间为 ( ? 1, 0 )
? 1 2 |t ? a |e
t

(II)因为 S ( t )

,其中 t
? 1 2

? a
t

当 a ? 2 , t ? [ 0 , 2 ] 时, S ( t )

( a ? t )e

高三数学(理科)试题第 7 页(共 4 页)

因为 ? t 0 ? [ 0 , 2 ] ,使得 S ( t 0 )
S '( t ) ? ? 1 2 [ t ? ( a ? 1) ]e
t

? e

,所以 S ( t ) 在 [ 0 , 2 ] 上的最大值一定大于等于 e

,令 S '( t ) ? 0 ,得 t ? a ? 1 ???????8 分

当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时
S '( t ) ? ? 1 2 [ t ? ( a ? 1)]e ? 0
t

对 t ? ( 0 , 2 ) 成立, S ( t ) 单调递增
? 1 2 ( a ? 2 )e
2

所以当 t ? 2 时, S ( t ) 取得最大值 S ( 2 ) 令
1 2 ( a ? 2 )e ? e
2

,解得 a

?

2 e

? 2



所以 a ? 3 ???????10 分 当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时
S '( t ) ? ? 1 2 S '( t ) ? ? 1 2 [ t ? ( a ? 1)]e ? 0
t

[ t ? ( a ? 1)]e ? 0
t

对 t ? (0, a 对 t ? (a

? 1)

成立, S ( t ) 单调递增 成立, S ( t ) 单调递减
? 1) ? 1 2 e
a ?1

? 1, 2 )

所以当 t ? a ? 1 时, S ( t ) 取得最大值 S ( a 令 S (a
? 1) ? 1 2 e
a ?1

? e

,解得 a ? ln 2 ? 2

所以 ln 2 ? 2 ? a ? 3 ???????12 分 综上所述, ln 2 ? 2 ? a ???????13 分 19.解:(I)因为椭圆 M :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的四个顶点恰好是一边长为 2,

一内角为 6 0 ? 的菱形的四个顶点, 所以 a
? 3,b ? 1

,椭圆 M 的方程为

x

2

? y

2

? 1 ???????4 分
1 2
? ? x 2 , y1 ? y 2

3

(II)设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 因为 A B 的垂直平分线通过点 ( 0 , ?

)

, 显然直线 A B 有斜率,

当直线 A B 的斜率为 0 时,则 A B 的垂直平分线为 y 轴,则 x 1
1 2 x1 3
2

所以 S ? A O B = 因为
2

| 2 x 1 || y 1 |? | x 1 || y 1 |? | x 1 |

1?

?

x 1 (1 ?
2

x1 3

2

) ?

1 3

x1 ( 3 ? x1 )
2 2

x1 ( 3 ? x1 ) ?
2

x1 ? ( 3 ? x1 )
2 2

?

3 2

, 时, S ? A O B 取得最大值为
3 2

2
|?

所以 S ? A O B

?

3 2

,当且仅当 | x 1

6 2

??????7 分

当直线 A B 的斜率不为 0 时,则设 A B 的方程为 y ? k x ? t
高三数学(理科)试题第 8 页(共 4 页)

? y ? kx ? t ? 2 2 2 所以 ? x 2 ,代入得到 (3 k ? 1) x ? 6 k tx ? 3 t ? 3 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 3

当?

? 4(9 k

2

? 3 ? 3t ) ? 0
2

,

即 3k 2

?1? t ①
2

方程有两个不同的解 又 x1 所以
? x2 ? y1 ? y 2 2
y1 ? y 2 ? 1

?6kt 3k ? 3k
2

?1 t
2



x1 ? x 2 2

?

? 3k t 3k
2

?1

???????8 分

?1





2 0?

2 ? ? 1 x1 ? x 2 k 2

,化简得到 3 k 2 ? 1 ? 4 t



代入 ① ,得到 0 ? t ? 4 ???????10 分
|t | k
2

又原点到直线的距离为 d

?

?1

| A B |?

1? k

2

| x 1 ? x 2 |?

1? k

2

4(9 k

2

? 3 ? 3t )
2 2

3k

?1
2

所以 S ? A O B =

1 2

| A B || d |?

1 2

|t | k
2

1? k

2

4(9 k

? 3 ? 3t )
2 2

2

?1

3k

?1

化简得到 S ? A O B =

1 4

3( 4 t ? t )

???????12 分
7 3

因为 0 ? t ? 4 ,所以当 t ? 2 时,即 k
3 2

? ?

时, S ? A O B 取得最大值

3 2

综上, ? A O B 面积的最大值为 20.(I)解:法 1:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1

???????14 分

????? ?

改 变 第 4列

1 ?2

2 1

3 0

7 ?1

????? ?

改 变 第 2行

1 2

2 ?1

3 0

7 1

法 2:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改 变 第 1列

?1 2

2 1

3 0

?7 1

????? ?

改 变 第 4列

?1 2

2 1

3 0

7 ?1

???????3 分 (II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ? 2 ,0,每一行所有数之和分别为 ? 1 ,1;
高三数学(理科)试题第 9 页(共 4 页)

①如果首先操作第三列,则
a 2? a a ?1
2

a 2? a

?a a
2

2

1? a

2

则第一行之和为 2 a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2 a , 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 a 当a
? 1 2
?a 2? a 1? a 1? a
2

?

1 2

或a

?

5 2

时,则接下来只能操作第一行,
?a 2? a a a
2

2

2

此时每列之和分别为 2 ? 必有 2 ? 2 a 2 ? 0 ,解得 a 当a
a a ? 2

2a,2 ? 2a ,2 ? 2a,2a
2

2

? 0, ? 1

?

5 2

时,则接下来操作第二行
a ?1
2

a a ? 2

?a ?a

2

a ?1
2

2

此时第 4 列和为负,不符合题意. ②如果首先操作第一行
?a 2? a 1? a 1? a
2

???????6 分

a a ? 2

a a

2

2

2

则每一列之和分别为 2 ? 2 a , 2

? 2a

2

, 2a ? 2 , 2a 2

当 a ? 1 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当 a ? 1 时, 2 ? 2 a , 2 a ? 2 至少有一个为负数, 所以此时必须有 2 ? 2 a 2
? 0

,即 ? 1 ? a ? 1 ,所以 a ? 0 或 a ? ? 1

经检验, a ? 0 或 a ? ? 1 符合要求 综上: a
? 0 , ? 1 ???????9



(III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。 证明如下: 记数表中第 i 行第 j 列的实数为 c ij( i
a 1 , a 2 ,? , a m

? 1, 2 , ? , m ; j ? 1, 2 , ? , n

) 各行的数字之和分别为 ,
B , ? b1 ? b 2 ? ? ? b n

, 各列的数字之和分别为 b1 , b 2 , ? , b n ,A 个实数之和为 S ,则 S ? A ? B 。记

? a1 ? a 2 ? ? ? a m



数表中 m

? n

高三数学(理科)试题第 10 页(共 4 页)

K ? m in

1? i ? m

?k c
1

i1

? k 2 c i 2 ? ? ? k n c in

|k

l

? 1或 ? 1( l ? 1, 2 , ? , n ) 且 k 1 c i 1 ? k 2 c i 2 ? ? ? k n c in ? 0

?

T ? m in t1 c 1 j ? t 2 c 2 j ? ? ? t m c m j
1? j ? n

?

|t

s

? 1或 ? 1( s ? 1, 2 , ? , m ) 且 t1 c 1 j ? t 2 c 2 j ? ? ? t m c m j ? 0

?

? ? m in ? K , T

?.

按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起 A (和 B ) 增大,从而也就使得 S 增加,增加的幅度大于等于 2 ? ,但是每次操作都只是改变数表中某 行(或某列)各数的符号, 而不改变其绝对值,显然,S 必然小于等于最初的数表中 m
?n



实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行和与 所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号, S 就又会继续上升,导致 矛盾,故结论成立。???????13 分

高三数学(理科)试题第 11 页(共 4 页)


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