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2.2用样本估计总体(三)


2.2 用样本估计总体
第三课时
高一一部数学备课组

问题提出
1. 对一个未知总体, 我们常用样本的频率分布估 计总体的分布,其中表示样本数据的频率分布的 基本方法有哪些?

问题提出
1. 对一个未知总体, 我们常用样本的频率分布估 计总体的分布,其中表示样本数据的频率分布的 基本方法有哪些?

频率分布直方图、频率分布表、 频率分布折线图、茎叶图

问题提出
2. 美国 NBA 在 2006——2007 年度赛季中,甲、 乙两名篮球运动员在随机抽取的 12 场比赛中的 得分情况如下: 甲运动员得分:12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49. 乙运动员得分:8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39.

问题提出
甲运动员得分:12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49. 乙运动员得分:8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39.

问题提出
甲运动员得分:12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49. 乙运动员得分:8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39.

如果要求我们根据上面的数据,估计、比较 甲,乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定,就得 有相应的数据作为比较依据,即通过样本数据对 总体的数字特征进行研究,用样本的数字特征估 计总体的数字特征.

知识探究(一) :众数、中位数和平均数

思考 1:以上两组样本数据如何求它们的众数、 中位数和平均数?

知识探究(一) :众数、中位数和平均数
思考 2:在城市居民月均用水量样本数据的频 率分布直方图中,你认为众数应在哪个小矩形 内?由此估计总体的众数是什么?
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

知识探究(一) :众数、中位数和平均数
思考 2:在城市居民月均用水量样本数据的频 率分布直方图中,你认为众数应在哪个小矩形 内?由此估计总体的众数是什么?
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

知识探究(一) :众数、中位数和平均数
思考 2:在城市居民月均用水量样本数据的频 率分布直方图中,你认为众数应在哪个小矩形 内?由此估计总体的众数是什么?
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

取最高矩形下端 中点的横坐标 2.25 作为众数.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

知识探究(一) :众数、中位数和平均数

思考 3:中位数左右两侧的直方图的面积应 有什么关系?
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

知识探究(一) :众数、中位数和平均数

思考 4:在城市居民月均用水量样本数据的频 率分布直方图中, 从左至右各个小矩形的面积 分别是 0.04,0.08,0.15,0.22,0.25, 0.14,0.06,0.04,0.02. 由此估计总体的中位数是什么? 频率
组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

知识探究(一) :众数、中位数和平均数

思考 4:在城市居民月均用水量样本数据的频 率分布直方图中, 从左至右各个小矩形的面积 分别是 0.04,0.08,0.15,0.22,0.25, 0.14,0.06,0.04,0.02. 由此估计总体的中位数是什么? 频率
组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01, 0.01÷0.5=0.02, 中位数是 2.02.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

知识探究(一) :众数、中位数和平均数

思考 5:平均数是频率分布直方图的“重心” , 从直方图估计总体在各组数据内的平均数分 别为多少?
频率 组距

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

知识探究(一) :众数、中位数和平均数

思考 5:平均数是频率分布直方图的“重心” , 从直方图估计总体在各组数据内的平均数分 别为多少?
频率 组距

0.25,0.75,1.25,1.75,2.25, 2.75,3.25,3.75,4.25.

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

知识探究(一) :众数、中位数和平均数
思考 6: 将频率分布直方图中每个小矩形的 面 积与小矩形底边中点的横坐标之积相加, 就 是样本数据的估值平均数. 由此估计总体的 平均数是什么?

知识探究(一) :众数、中位数和平均数
思考 6: 将频率分布直方图中每个小矩形的 面 积与小矩形底边中点的横坐标之积相加, 就 是样本数据的估值平均数. 由此估计总体的 平均数是什么?

0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15 +1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14 +3.25× 0.06+3.75×0.04+4.25×0.02 =2.02(t). 平均数是 2.02.

知识探究(一) :众数、中位数和平均数
思考 7:从居民月均用水量样本数据可知,该 样本的众数是 2.3,中位数是 2.0,平均数是 1.973,这与我们从样本频率分布直方图得出 的结论有偏差,你能解释一下原因吗?

知识探究(一) :众数、中位数和平均数
思考 7:从居民月均用水量样本数据可知,该 样本的众数是 2.3,中位数是 2.0,平均数是 1.973,这与我们从样本频率分布直方图得出 的结论有偏差,你能解释一下原因吗?

频率分布直方图损失了一些样本数据, 得到 的是一个估计值,且所得估值与数据分组有关.

知识探究(一) :众数、中位数和平均数
思考 7:从居民月均用水量样本数据可知,该 样本的众数是 2.3,中位数是 2.0,平均数是 1.973,这与我们从样本频率分布直方图得出 的结论有偏差,你能解释一下原因吗?

频率分布直方图损失了一些样本数据, 得到 的是一个估计值,且所得估值与数据分组有关.
注: 在只有样本频率分布直方图的情况下,我 们可以按上述方法估计众数、 中位数和平均数, 并由此估计总体特征.

知识探究(一) :众数、中位数和平均数
思考 8 (1)一组数据的中位数一般不受少数 几个极端值的影响, 这在某些情况下是一个优 点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺 点,你能举例说明吗?

知识探究(一) :众数、中位数和平均数
思考 8 (1)一组数据的中位数一般不受少数 几个极端值的影响, 这在某些情况下是一个优 点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺 点,你能举例说明吗?
如:样本数据收集有个别差错不影响中位 数;大学毕业生凭工资中位数找单位可能收 入较低.

知识探究(一) :众数、中位数和平均数

思考 8 (2) 样本数据的平均数大于 (或小于) 中位数说明什么问题?

知识探究(一) :众数、中位数和平均数

思考 8 (2) 样本数据的平均数大于 (或小于) 中位数说明什么问题?

平均数大于(或小于)中位数,说明样 本数据中存在许多较大 (或较小) 的极端值.

知识探究(一) :众数、中位数和平均数

思考 8 (2) 样本数据的平均数大于 (或小于) 中位数说明什么问题?

平均数大于(或小于)中位数,说明样 本数据中存在许多较大 (或较小) 的极端值.
思考 8 (3)你怎样理解“我们单位的收入水 平比别的单位高”这句话的含义?

知识探究(一) :众数、中位数和平均数

思考 8 (2) 样本数据的平均数大于 (或小于) 中位数说明什么问题?

平均数大于(或小于)中位数,说明样 本数据中存在许多较大 (或较小) 的极端值.
思考 8 (3)你怎样理解“我们单位的收入水 平比别的单位高”这句话的含义?

这句话具有模糊性甚至蒙骗性,其中收 入水平是员工工资的某个中心点,它可以是 众数、中位数或平均数.

样本的众数、中位数和平均数常用来表示样 本数据的 “中心值” 其中众数和中位数容易计算, , 不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数 据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息,但受样本中 每个数据的影响,越极端的数据对平均数的影响 也越大. 当样本数据质量比较差时,使用众数、中位 数或平均数描述数据的中心位置,可能与实际情 况产生较大的误差,难以反映样本数据的实际状 况,因此,我们需要一个统计数字刻画样本数据 的离散程度.

知识探究(二) :标准差
思考 1:在一次射击选拔赛中,甲、乙两名运 动员各射击 10 次,每次命中的环数如下: 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环?

知识探究(二) :标准差
思考 1:在一次射击选拔赛中,甲、乙两名运 动员各射击 10 次,每次命中的环数如下: 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环?

知识探究(二) :标准差
思考 2:甲、乙两人射击的平均成绩相等,观察 两人成绩的频率分布条形图,你能说明其水平差 异在那里吗?
频率 0.4 0.3 0.2 0.1 O

(甲)

频率

(乙)

0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 环数 O

4 5 6 7 8 9 10 环数

知识探究(二) :标准差
思考 2:甲、乙两人射击的平均成绩相等,观察 两人成绩的频率分布条形图,你能说明其水平差 异在那里吗?
频率 0.4 0.3 0.2 0.1 O

(甲)

频率

(乙)

0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 环数 O

4 5 6 7 8 9 10 环数

甲的成绩比较分散,极差较大,乙的成绩相对 集中,比较稳定.

知识探究(二) :标准差
思考 3:对于样本数据 x1,x2,?,xn,设想通过 各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的 分散程度,那么这个平均距离如何计算?

知识探究(二) :标准差
思考 3:对于样本数据 x1,x2,?,xn,设想通过 各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的 分散程度,那么这个平均距离如何计算?

知识探究(二) :标准差
思考 4:反映样本数据的分散程度的大小,最常 用的统计量是标准差,一般用 s 表示.假设样本数 据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,则标准差的计 算公式是:

知识探究(二) :标准差
思考 4:反映样本数据的分散程度的大小,最常 用的统计量是标准差,一般用 s 表示.假设样本数 据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,则标准差的计 算公式是:

知识探究(二) :标准差
思考 4:反映样本数据的分散程度的大小,最常 用的统计量是标准差,一般用 s 表示.假设样本数 据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,则标准差的计 算公式是:

那么标准差的取值范围是什么?标准差为 0 的样本数据有何特点?
2 2

(x1 ? x) ? (x2 ? x) ? ?? (xn ? x s? n

知识探究(二) :标准差
思考 4:反映样本数据的分散程度的大小,最常 用的统计量是标准差,一般用 s 表示.假设样本数 据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,则标准差的计 算公式是:

那么标准差的取值范围是什么?标准差为 0 的样本数据有何特点?
2 2

(x1 ? x) ? (x2 ? x) ? ?? (xn ? x s≥0,标准差为 0 的样本数据都相等. s? n

知识探究(二) :标准差
思考 5: 对于一个容量为 2 的样本:x1,x2(x1<x2),

x1 ? x2 x2 ? x1 ,s ? 则 x? 2 2

在数轴上,这两个统计数据有什么几何意 义?由此说明标准差的大小对数据的离散程度有 何影响?

知识探究(二) :标准差
思考 5: 对于一个容量为 2 的样本:x1,x2(x1<x2),

x1 ? x2 x2 ? x1 ,s ? 则 x? 2 2

在数轴上,这两个统计数据有什么几何意 义?由此说明标准差的大小对数据的离散程度有 何影响?
标准差越大离散程度越大,数据较分散; 标准差越小离散程度越小,数据较集中在平均数 周围.

知识迁移
计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准 差,比较其射击水平的稳定性. 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

知识迁移
计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准 差,比较其射击水平的稳定性. 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

s 甲=2,s 乙=1.095.

课堂小结
1. 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等 统计数据,估计总体相应的统计数据.

课堂小结
1. 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等 统计数据,估计总体相应的统计数据.

2. 平均数对数据有“取齐”的作用,代表一 组数据的平均水平.

课堂小结
1. 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等 统计数据,估计总体相应的统计数据.

2. 平均数对数据有“取齐”的作用,代表一 组数据的平均水平.
3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅 度.在实际应用中,我们常综合样本的多个 统计数据,对总体进行估计,为解决问题 作出决策.


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